Una trattazione elementare Calcolo combinatorio Una trattazione elementare
Definizione Oggetto del calcolo combinatorio è quello di determinare il numero dei modi mediante i quali possono essere raggruppati, secondo prefissate regole, gli elementi di uno stesso insieme o di più insiemi. Il problema, all’apparenza, sembra banale: ciò è vero se il numero degli elementi presi in considerazione è piccolo, ma quando questo numero è elevato si presentano delle difficoltà nel formare tutti i raggruppamenti possibili, con e senza considerare ripetizioni. Ci si può, per esempio, chiedere:
Esempi In quanti modi diversi si possono scegliere tre libri da una libreria che ne contiene 12? Quante parole di 5 lettere posso formare con un alfabeto formato da 21? Nel menù di un ristorante si può scegliere tra cinque primi piatti, sei secondi e sette dessert: quanti tipi di pasti, con almeno una portata diversa, può somministrare il ristoratore?
Diapositiva sommario Disposizioni semplici Disposizioni con Ripetizione Permutazioni semplici Permutazioni con oggetti identici Combinazioni Semplici Combinazioni con Ripetizione
Premessa Calcolo Combinatorio Consideriamo un insieme di n oggetti: G={a1,a2,a3,…an} con nÎÀ0, di natura qualunque ma perfettamente distinguibili l’uno dall’altro in base a qualche caratteristica, ad esempio palline di diverso colore; lettere dell’alfabeto; numeri diversi; ecc. . Il “calcolo combinatorio” ha per scopo la costruzione e la misurazione del numero di raggruppamenti che, secondo un’assegnata definizione, si possono formare con una prefissata quantità degli n oggetti di G.
Disposizioni semplici
Disposizioni semplici
Disposizioni semplici Quante parole di 5 lettere posso formare con un alfabeto formato da 21 (senza ripetere mai la stessa lettera in ogni parola)? - Se cambia una lettera cambia la parola - Ordine diverso delle lettere -> parola diversa! D21,5 = D21,5 = 21*20*19*18*17*…….*6 = 2.441.880
Osservazioni sulle Disposizioni Semplici
Disposizioni con Ripetizione
Disposizioni con ripetizione
Disposizioni con ripetizione Quante parole di 5 lettere posso formare con un alfabeto formato da 21 (ripetendo anche più volte la stessa lettera in ogni parola)? - Se cambia una lettera cambia la parola - Ordine diverso delle lettere -> parola diversa! - Stesse lettere ma con numero di ripetizioni diverse (es. aaabb e aabbb sono diverse) D21,5 = 215 D21,5 =21*21*21*21*21=4084101 ovviamente sono più del caso senza ripetizioni!
Osservazioni sulle Disposizioni con Ripetizione
Esercizi In quanti modi diversi 7 persone si possono sedere su 5 poltrone allineate di un cinema? con o senza ripetizioni??? [D(7,5)] Quanti numeri di tre cifre, anche uguali tra loro, si possono costruire con i primi cinque numeri naturali? con o senza ripetizioni??? [D’(5,3)] Quante colonne d diverse si possono compilare nel gioco del totocalcio? con o senza ripetizioni??? [D’(3,13)] Se volessi giocare un sistema tenendo 4 fisse e 9 doppie, quante colonne verrebbero fuori?
Permutazioni semplici
Permutazioni con oggetti identici
Esercizi
Combinazioni Semplici
Osservazioni sulle Combinazioni Semplici 1/3
Osservazioni sulle Combinazioni Semplici 2/3
Osservazioni sulle Combinazioni Semplici 3/3
Combinazioni con Ripetizione
Esercizi
RICAPITOLAZIONE! DISPOSIZIONI SEMPLICI 1) Senza ripetizioni; 2) Ordine diverso = raggruppamento diverso Dn,k= DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONI 1) Con ripetizioni (sono presenti più volte gli stessi elementi) D1n,k=nk
PERMUTAZIONI SEMPLICI 1) Numero max di elementi (n) 2) differiscono solo per l’ordine: ordine diverso = raggruppamento diverso 3) TUTTI GLI ELEMENTI SONO DIVERSI TRA LORO Pn = n! PERMUTAZIONI CON ELEMENTI COINCIDENTI 1) Con ripetizioni (sono presenti più volte gli stessi elementi) 2) Ordine diverso = raggruppamento diverso
RICAPITOLAZIONE! COMBINAZIONI SEMPLICI 1) Senza ripetizioni; 2) Ordine diverso = stesso raggruppamento Dn,k= = COMBINAZIONI CON RIPETIZIONI 1) Con ripetizioni (sono presenti più volte gli stessi elementi) 2) Ordine diverso = raggruppamento diverso cioè