Lopera Elementi di Euclide Euclide (300 a.C.) riorganizza la geometria in forma sistematica di tipo ipotetico-deduttivo Raccoglie tutte le conoscenze dei matematici in 13 libri Nei primi 4 vi sono i concetti fondamentali della geometria piana

Il Primo Libro degli Elementi 23 definizioni: descrizione intuitiva dei concetti geometrici con riferimento al reale Punto è ciò che non ha parti Assiomi o nozioni comuni: verità di carattere generale che hanno validità universale 5 postulati: verità evidenti, caratteristiche della geometria

Costruzione della geometria euclidea DEFINIZIONIPOSTULATIASSIOMI TEOREMI

La geometria euclidea si basa su 5 postulati I )Si può tracciare una retta da un punto ad un qualsiasi altro punto II )Si può prolungare in maniera indefinita una linea retta III )Si può descrivere un cerchio con qualsiasi centro e qualsiasi raggio IV) Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro V) Se una retta, incontrandone altre due, produce 2 angoli adiacenti dalla stessa parte minore di 2 angoli retti, quelle rette, prolungate indefinitamente, si incontreranno dalla stessa parte in cui stanno gli angoli minori dei due retti Il V postulato attrasse linteresse di molti studiosi in quanto sembrava meno ovvio degli altri molti hanno tentato di dimostrarne la necessità ma arrivarono solo a dimostrare che esso è equivalente ad altre affermazioni: Proclo ( D.C.): Data una retta e un punto fuori di essa, per il punto dato è possibile tracciare una e una sola retta parallela alla retta data Legendre ( D.C.): la somma degli angoli interni di un triangolo è 180° (o π radianti)

Il gesuita Saccheri ( ) Opera: Euclide emendato da ogni macchia (1733) Opera: Euclide emendato da ogni macchia (1733) Tenta di dare una dimostrazione per assurdo del quinto postulato Tenta di dare una dimostrazione per assurdo del quinto postulato Ammettiamo i primi 4 postulati e neghiamo il quinto: se si ottiene il teorema T e il nonT allora il V è valido! Ammettiamo i primi 4 postulati e neghiamo il quinto: se si ottiene il teorema T e il nonT allora il V è valido! Trovò teoremi poco intuibili, ma logicamente validi, e credette di aver trovato la contraddizione! Senza accorgersene getta, invece, le basi per le geometrie non euclidee. Trovò teoremi poco intuibili, ma logicamente validi, e credette di aver trovato la contraddizione! Senza accorgersene getta, invece, le basi per le geometrie non euclidee.

Allinizio del 1800 Gauss, Bolyai e Lobatchevski crearono una nuova geometria sostituendo al V post. Di Euclide il nuovo postulato: Per ogni punto esterno ad una retta passano infinite rette parallele alla retta data o, equivalentemente La somma degli angoli interni di un triangolo è minore di 180° Essi dimostrarono che questa soluzione dava luogo ad una geometria diversa da quella euclidea, con teoremi diversi, ma perfettamente valida, autoconsistente e senza contraddizioni Nasce la geometria iperbolica o a curvatura negativa

Gauss (1824) afferma che una geometria fondata sui primi 4 postulati e sulla negazione del V non è contraddittoria, ma non ha il coraggio di pubblicare la sua opera Lobatceskij nel 1829 fonda la geometria iperbolica quasi contemporaneamente all'ungherese Boljai

Il ragionamento di Lobatceskij r t sP O AB l l Per P passano secanti e non secanti: l e l sono le due rette parallele ad r ( ) è langolo di parallelismo La somma degli angoli interni di un triangolo è minore di due retti -( + + )= è il difetto angolare Indicata con A larea di triangolo, la quantità k=( + + )/A viene chiamata curvatura dello spazio. Per la geometria iperbolica esso è un valore costante negativo

Il ragionamento di Lobatceskij Se A tende a 0, δ tende a zero e la somma degli angoli interni di un triangolo vale π Allora la geometria euclidea è il limite della geometria iperbolica al tendere di A a zero La geom. euclidea vale su scala terrestre e astronomica

Riemann ( ) Costruisce la geometria ellittica Assioma di Riemann: Due rette hanno sempre in comune un punto, quindi non esistono rette parallele o, equivalentemente: la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di 180° La geometria ellittica ha curvatura costante positiva Viene modificato il postulato dellinfinità della retta, introducendo il concetto di ILLIMITATO: una curva può essere finita (ossia la sua lunghezza è finita, ossia non infinita) ma illimitata (cioè senza bordo). Una circonferenza ad esempio è finita (lunghezza 2 πR ) ma non ha termine. Riemann introduce il concetto di GEODETICA ossia della curva che congiunge 2 punti con la minima distanza. La geodetica sostituisce la retta nelle geometrie non euclidee. Ad esempio un triangolo è individuato da tre punti dello spazio e dalle tre parti di geodetica che li uniscono. Nel caso dello spazio euclideo le geodetiche coincidono con le rette.

Modelli di geometrie non euclidee in 2D Il più semplice esempio di geometria non euclidea è quella costruita sulla superficie di una sfera (geometria ellittica di Riemann) Le rette di questa geometria (geodetiche) sono circonferenze di raggio massimo. Un modo pratico di realizzare gli archi geodetici (parti di geodetica) è di ritagliare una strisciolina rettilinea di carta e appli- carla sulla superficie in modo che aderisca senza pieghe. Ecco qui a fianco un triangolo sulla sfera. I lati sono archi geodetici, analogamente al caso euclideo in cui i lati sono segmenti rettilinei

Per realizzare una superficie iperbolica basta prendere una superficie circolare e inserire un settore circolare come mostrato qui sopra. Attenzione!!! Quella che abbiamo così costruita è solo una parte della superficie iperbolica in quanto essa è infinita al pari del piano euclideo!

Un triangolo su una superficie sferica 95° +67° +80° =242° > 180° ! Curvatura positiva Un triangolo su una superficie iperbolica 38° +41° +42° =121° < 180° ! Curvatura negativa

Come individuare la curvatura di una superficie? Se riusciamo a appiattire la superficie senza lacerazioni o sovrapposizioni -> Curvatura nulla Esempi: Piano, Cilindro, Toro Se, per appiattirla, operiamo lacerazioni -> Curvatura positiva (cè meno superficie di quanto serve per appiattirla) Se, per appiattirla, operiamo pieghe e sovrapposizioni -> Curvatura negativa (cè più superficie di quanto serve per appiattirla)