Tutte le strade portano… al quadrato: Tutte le strade portano al quadrato (alcune definizioni di quadrato) Castel San Pietro Terme (BO) 5 – 6 – 7 novembre 2010 Sezione Mathesis Pesaro Anna Maria Facenda – Janna Nardi – Daniela Rivelli – Daniela Zambon

Costruzione della definizione di quadrato con riferimento: Il percorso Costruzione della definizione di quadrato con riferimento: Ai lati e agli angoli Alle diagonali Utilizzando, in modo integrato, modelli dinamici e figure Cabri Le Classi coinvolte: Due terze di scuola primaria Due quinte di scuola primaria Una prima secondaria di 1° grado Per un totale di 114 alunni Tempo impiegato (in ciascuna classe): 8 ore

Premesse su cui si fonda la proposta: Approccio di tipo costruttivista e uso di materiali Consapevolezza che gli oggetti della matematica sono accessibili solo attraverso le loro rappresentazioni Considerazione che Modelli dinamici e figure Cabri sono rappresentazioni Valorizzazione della discussione e in genere della “componente” verbale (interpretazione, valutazione, giustificazione … delle immagini osservate…)

La matematica è attività del pensiero. La sua didattica deve prevedere: La centralità dell’alunno L’utilizzazione di materiali La centralità dell’allievo si concretizza attraverso: l’assunzione (da parte dell’alunno) di un ruolo da protagonista nel processo di costruzione della conoscenza l’utilizzazione dei materiali in funzione euristica il recupero, la rielaborazione e l’ affinamento dell’esperienza personale e percettiva anche attraverso l’interazione sociale, cioè il dialogo e il confronto con i compagni e con il docente

L’uso di materiali facilita la costruzione di immagini concettuali, lo sviluppo di processi logici, la generalizzazione, attraverso: l’attenzione prevalente al processo, invece che al prodotto le sollecitazioni percettive la discussione la constatazione e l’analisi dei limiti dell’esperienza percettiva “Se muovi le mani, muovi il cervello”

E allora … una didattica di tipo costruttivo (laboratoriale) comporta: Centralità dell’azione Attenzione per le risorse, il sapere, gli ostacoli … Uso di congetture, messa in relazione, argomentazioni Attenzione ai linguaggi Mutamento del ruolo dell’insegnante (deve essere aperto a modifiche, mediatore, garante della correttezza scientifica) Cabri e modelli dinamici, utilizzati in forma integrata: suggeriscono nuove domande sollecitano la formulazione di congetture invitano l’allievo a validare le sue intuizioni con strategie opportune (controesempi, nuovi modelli, trascinamento, argomentazioni…)

1. Costruzione del quadrato con legnetti, viti e bulloni Tappe del lavoro: 1. Costruzione del quadrato con legnetti, viti e bulloni 2. Analisi delle figure ottenute nel movimento e perché un solo quadrato 3. Definizione di quadrato rispetto a lati e angoli 4. Costruzione della figura Cabri corrispondente al modello dinamico – Verifica del quadrato e nuova riflessione sulla definizione 5. Montaggio delle diagonali sul primo modello e costruzione del secondo modello (partendo dalle diagonali) 6. Ripetizione dei punti 2 – 3 - 4 Primo modello Secondo modello

Utilizzazione prevalente della funzione “circonferenza” Cosa è accaduto Primo Modello La costruzione è indipendente dai materiali consegnati (4 di una misura e 4 di un’altra, oppure 3 e 5) Prima Figura Cabri Utilizzazione prevalente della funzione “circonferenza” Utilizzazione minoritaria della funzione di “trasporto di misura” Validazione del quadrato Con il modello In maggioranza, fanno riferimento a lati e angoli; dopo la discussione prevale il riferimento agli angoli solamente “… l’angolo è dritto… retto (V el.)”; “E’ il mio cervello che me lo dice (V el.); “Nel quadrato i lati sono perpendicolari … (I media)”; “.. Ha quattro angoli uguali …” (III el.); “La figura al posto giusto” (III el) Con la figura Cabri Molti usano la misura, poi, dopo essere tornati al modello, adottano la perpendicolare “ Nel modello immagino una perpendicolare.. in Cabri c’è (V el.)” (per scoprire l’uso di retta perpendicolare è stato utile , nelle III el, usare del materiale concreto: asticciole incernierate per rappresentare l’angolo retto su cui appoggiare il modello articolabile)

Validazione del quadrato Secondo modello Costruzione corretta (“.. Un rettangolo con diagonali perpendicolari e lati uguali..”) (V el) Seconda figura Cabri Uso della funzione circonferenza e di due rette per il centro Validazione del quadrato Con il modello Colgono correttamente le proprietà - “IR: E per avere un rettangolo? Sofia: Legnetti uguali e li devo attaccare in mezzo. Diletta: Per il quadrato devono essere uguali, attaccati al centro e perpendicolari” (III el) - “Quando sono perpendicolari le diagonali” (I med) Con la figura Cabri In prima battuta usano la misura (angolo tra le diagonali …) – Poi usano in prevalenza la perpendicolare ad una diagonale condotta per il centro (alcuni anche per un vertice della figura, ed… è necessario discutere a quale diagonale deve essere perpendicolare, altrimenti….)

Definire il quadrato Varia la figura di riferimento (è un poligono.., un quadrilatero.., un parallelogramma.., un rombo.. ecc.), si affina così la capacità di mettere in relazione e si arricchiscono le capacità e il senso critico -In base a lati e angoli “.. È un quadrilatero che ha lati e angoli uguali…” (V el) “IR: .. Il quadrato è un rombo che ha…. A (Salem): 4 lati uguali. IR: I rombi hanno i lati uguali, ho bisogno di dirlo? A (Pietro): Due coppie di angoli uguali. A (Giulia R): Ha angoli retti (oppure uguali)” (III el)

-In base alle diagonali Definire il quadrato -In base alle diagonali “E’ un parallelogramma con diagonali uguali e perpendicolari” (I med) “IR: Un rombo che ha le diagonali … Alcuni: Che si bisecano … no, anche nel rombo si bisecano … Francesco: Sono uguali” (V el) “Sofia: E’ un poligono che ha le diagonali uguali… Luca S: Si incontrano al centro… Sofia: Perpendicolari (IR fa riflettere sulla necessità di dire quante sono le diagonali ….) Ilaria: Bisogna dire due diagonali.” (III el) È necessario discutere su come selezionare le proprietà necessarie e sufficienti e servirsi di controesempi Si avrà un progressivo affinamento della definizione

Osservazioni 1. Durante l’attività di scoperta e discussione diventano visibili i misconcetti A (Andrea G): Il parallelogramma mi è venuto in mente girando il rombo. A (Domenico): Se formi un rombo formi anche un parallelogramma. A (Gianluca): Il rombo è anche un parallelogramma (perché ha i lati paralleli….). IR: Il quadrato è un parallelogramma? A (Gianluca): Sì, perché ha i lati paralleli… A (Giorgia): No, non è così: non mi viene da dire che questo è un parallelogramma… (V el)

Osservazioni 2. Conquista di un linguaggio essenziale e non ambiguo (saper indicare cosa serve o non serve significa anche collocare la figura in una rete di relazioni) IR: Se dico angoli retti devo aggiungere uguali? A (alcuni): No, perché sono tutti retti. A (Domenico): Non è sbagliato ma inutile (V el) E ancora IR: Abbiamo dato altre 5 definizioni di quadrato. Se partiamo da poligono dobbiamo elencare 4 caratteristiche.. se partiamo da rettangolo o rombo ne basta una… Alcuni: Rettangolo e rombo sono più speciali… IR: Hanno già delle proprietà.. Alcuni: Se partiamo da quadrilatero o da parallelogramma siamo una via di mezzo …(V el))

Osservazioni 3. Controesempi (l’uso costante riduce il rischio di considerare caratterizzanti per una figura delle proprietà che tali non sono) Diego… (il quadrato) è un parallelogramma che ha gli angoli uguali… (viene mostrato il modello parallelogramma/ rettangolo per comprendere che non è una caratteristica sufficiente per il quadrato) (I med) IR: E’ un parallelogramma che ha… incertezza. Si mostra allora un modello che nell’articolazione genera parallelogrammi e un rombo. Notano che le diagonali sono diverse e unite al centro. Poi viene mostrato un modello dove le diagonali non si incontrano al centro e non si formano parallelogrammi. Se una è bisecata si osserva un deltoide.(I med) In dettaglio

Osservazioni In dettaglio IR: E’ un rombo che ha… Si osserva il modello che genera parallelogrammi e un rombo.. (diagonali diverse che si bisecano…) Maddalena: Per essere rombo deve avere le diagonali perpendicolari… e si incontrano al centro.(V el) IR mostra un modello che genera parallelogrammi e un rombo. Con questo modello non si genera un quadrato, perché? Rachele: Perché le diagonali sono diverse. IR mostra un modello con diagonali uguali, perpendicolari che non si bisecano. Rachele: Non si ha il quadrato perché non si incontrano a metà. Giacomo: Viene un deltoide. IR Mostra una situazione con diagonali che si bisecano e non perpendicolari. (I media) …….

Osservazioni 4. Da ciò che si vede a ciò che accade (che è al di fuori e quindi forse più convincente… aumenta il livello di riflessione) Si osserva il movimento del primo modello … quando il quadrato? Niccolò: Quando vedo tutti gli angoli retti. Alessandro: Quando vedo due segmenti perpendicolari. Giulia: Dico di fermare il modello quando “vedo” le due semirette che mi segnalano l’angolo retto. Alessandro: Quando un lato va sopra la perpendicolare si crea un quadrato. (III el) 5. Acquisizione di nuove conoscenze Il caso della nozione di angolo (e non solo), in III el … Vengono fatte delle osservazioni sugli angoli servendosi di due aste incernierate …. 6. “Ritorno al concreto” ( come hanno proceduto alla validazione con Cabri in III e V el) Utilizzando due aste incernierate si costruisce l’angolo retto (che riconoscono), su un lato dell’angolo si appoggia un lato del modello; quando nell’articolazione il lato consecutivo si dispone sull’altro lato dell’angolo la figura che si forma è un quadrato, perché tutti gli angoli sono retti

Aspetti qualificanti Avvio alla costruzione di concetti Il dinamismo dei materiali e la discussione permettono la costruzione corretta delle immagini mentali e dei concetti. Le definizioni vengono verificate passo dopo passo.. è una costruzione della conoscenza sempre più ampia ed organizzata Acquisizione di nuove conoscenze – Approfondimenti Dover definire una particolare figura ha messo gli alunni di fronte alla necessità di ricorrere a nuovi elementi di conoscenza e dominarli La discussione apre continue “finestre” attorno al tema centrale che offrono spunti di approfondimento e arricchimento

Aspetti qualificanti Forte stimolo al ragionamento Costruire definizioni secondo un riferimento di partenza variabile (poligono ecc.) è stata una bella “ginnastica mentale”: dovevano tenere sotto controllo e valutare le caratteristiche necessarie e sufficienti, verbalizzare e argomentare Sviluppo di una immagine dinamica della geometria Gli alunni hanno constatato che per arrivare alla meta sono possibili più strade, più rappresentazioni, di cui una è migliore delle altre … o è la sola corretta. L’approccio “dinamico” favorisce la flessibilità del pensiero e migliora le prestazioni “Costruzione cumulativa (e collettiva)” delle definizioni (e dei concetti) Dato un intervento un altro se ne aggiunge, più ricco e preciso, … e così via

Bibliografia Bartolini Bussi M. G., Mariotti M. A. (2009). Mediazione semiotica nella didattica della matematica: artefatti e segni nella tradizione di Vygotskij. L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate A-B, 3, 269 – 294. Facenda A.M., Fulgenzi P., Gabellini G., Masi F., Nardi J., Paternoster. F. (2003). I modelli dinamici: costruzioni di immagini mentali e avvio alla deduzione. L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate. 26 A-B, 6. Facenda A. M., Fulgenzi P., Gabellini G., Masi F., Nardi J., Paternoster F. (2006). Uso integrato di modelli dinamici e Cabri a proposito di Triangoli. Atti XXV Convegno Nazionale UMI-CIIM. Notiziario UMI n. 11/b. Laborde C. (2006). L’ingresso nel mondo della geometria con Cabri-géomètre nella scuola primaria e media. In: D’Amore B., Sbaragli S. (2006).Il Convegno del ventennale. Bologna: Pitagora. Mariotti M.A. (2005). La geometria in classe. Riflessioni sull’insegnamento e apprendimento della geometria. Bologna: Pitagora.

Facenda A. M. , Fulgenzi P. , Nardi J. , Paternoster F. , Rivelli D Facenda A.M., Fulgenzi P., Nardi J., Paternoster F., Rivelli D., Zambon D. (2007). Parallelogrammi inscritti in quadrilateri. Prima parte. L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate. A, 5, 550 – 571. Facenda A.M., Fulgenzi P., Nardi J., Paternoster F., Rivelli D., Zambon D. (2008). Parallelogrammi inscritti in quadrilateri. Seconda parte. L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate. A, 1, 13 – 31. Facenda A.M., Fulgenzi P., Nardi J., Paternoster F., Rivelli D., Zambon D. (2008). Uso integrato di Cabri e modelli dinamici: resoconto di una esperienza sui parallelogrammi. Terza parte. L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate. A, 5, 429 – 444.