TRASMISSIONE DEL CALORE I.T.I.S. "S. Cannizzaro" I BILANCI e la TRASMISSIONE DEL CALORE Prof. Ernesto Trinaistich 1

equazioni di bilancio e equazioni di trasferimento. Per risolvere i problemi relativi agli impianti chimici è necessario fare uso di equazioni, esse vengono classificate in : equazioni di bilancio e equazioni di trasferimento. -Le equazioni di bilancio si basano sul principio di conservazione della massa e dell’energia in sistemi chiusi ( stazionari) e vengono utilizzate per determinare portate, composizioni, quantità di calore. -Le equazioni di “ trasferimento “ sono in genere relative al trasferimento del calore da un sistema ad un altro. Si definiscono “operazioni unitarie” le lavorazioni industriali che non portano a variazioni nella natura delle sostanze (interessano fenomeni fisici). Sono operazioni unitarie la concentrazione, l’evaporazione, la distillazione, la filtrazione, l’estrazione con solvente ecc. Si definiscono “ processi unitari” le lavorazioni che portano ad una variazione nella natura delle sostanze trattate (interessano fenomeni chimici). Sono processi unitari le Sintesi industriali. 2

Ritornando alle equazioni di bilancio si può dire che il sistema è in regime stazionario se non si ha accumulo. Per capire il concetto consideriamo un recipiente alimentato da una portata entrante di liquido F.in. ed una uscente F.us. Se Fi – Fu = 0 cioè Fi = Fu tanto liquido entra tanto ne esce, quindi non si ha accumulo. Se Fi – Fu ≠ 0 cioè Fi ≠ Fu si ha accumulo e precisamente Se Fi > Fu l’accumulo è positivo Se Fi < Fu l’accumulo è negativo Fin Fus 3

Portata entrante – Portata uscente = Accumulo Possiamo dire: Portata entrante – Portata uscente = Accumulo Esprimendo l’accumulo come variazione di volume nel tempo si ha: ∆ V Fi – Fu = ∆ t L’ unità di misura è in genere litri / minuti oppure m3 / sec 4

En entrante – En uscente = Accumulo di energia BILANCIO DI ENERGIA Possiamo scrivere: En entrante – En uscente = Accumulo di energia In un sistema stazionario l’Accumulo è zero. En entrante – En uscente = 0 Le forme di energie associate ai componenti del sistema sono molteplici, si va dalla energia cinetica a quella potenziale al contenuto termico o Entalpia H ; Pertanto: En.( Interna+Potenziale+Cinetica ) iniziale – En (I+P+C) finale + Calore assorbito dall’esterno – Lavoro fatto = Accumulo di energia Considerando l’energia solamente come contenuto termico ,se il sistema è conservativo o stazionario non c’é scambio con l’esterno pertanto il Contenuto termico iniziale, come somma di quello di tutti i partecipanti è uguale al Contenuto termico finale. 5

Contenuto termico entrante – Contenuto termico uscente = 0 Il Contenuto termico Q (o Entalpia H ) rappresenta il calore necessario per portare la massa da 0°C alla temperatura considerata cioè: Q = m ۰ cp ۰ (t - 0) = m ۰ cp ۰ t . Il calore così definito non è altro che l’H della sostanza. Il contenuto termico a 0° C è posto = 0. L’unità di misura del calore è la Kcal o nel S.I. il Joule. Cp rappresenta il calore specifico, cioè il calore necessario per innalzare di un grado la temperatura dell’unità di massa della sostanza. Q Kcal Joule Cp = = ; nel S.I. = m*Δ t Kg ۰°C Kg۰ K 6

Cv è il calore specifico a volume costante Cp si considera a pressione costante, cioè comprensivo dell’energia spesa per il lavoro di espansione risulta quindi: Cp > Cv Cv è il calore specifico a volume costante Il calore necessario a provocare una variazione di temperatura nel sistema da t1 a t2 è: Q = m * Cp * ( t1 - t2 ). Analizziamo il bilancio di energia nella miscela di due liquidi. Considerando due liquidi aventi massa m1 e m2 , alle temperature t1 e t2 , miscelandoli in condizioni stazionarie avremo: Hi di m1 + Hi di m2 = Hf di m1 + Hf di m2 - dove Hi e Hf sono le entalpie iniziali e finali - tf rappresenta la temperatura finale uguale per entrambi. Possiamo scrivere: m1 cp1( t1 – 0 ) + m2 cp2( t2 – 0 ) = m1 cp1( tf – 0 ) + m2 cp2( tf – 0 ) ( si consideri t1 > t2 ) da cui m1 cp1 t1 + m2 cp2 t2 = m1 cp1 tf + m2 cp2 tf 7

La somma dei contenuti termici iniziali è uguale a quella finale. L’equazione rappresenta un bilancio di energia applicato ad una miscela. L’equazione può essere scritta : m1 cp1 ( t1 - tf ) = m2 cp2 ( tf - t2) Δ H1= Δ H2 Il primo membro rappresenta l’energia o calore ceduto dal primo liquido più caldo , mentre il secondo membro il calore acquistato dal liquido più freddo. L’equazione scritta costituisce un bilancio di trasferimento. Con semplici passaggi si ottiene: m1 cp1 t1 + m2 cp2 t2 Tf= m1 cp1 + m2 cp2 8

TRASFERIMENTO DEL CALORE: CONDUZIONE – CONVEZIONE - IRRAGGIAMENTO. Le equazioni di trasferimento si riferiscono al trasporto di calore o di materia tra un sistema ed un altro. Una equazione di trasferimento mette in relazione la grandezza oggetto del trasferimento ( energia o massa ) con le grandezze fisiche che la influenzano.. Ad esempio il trasferimento del calore tra due corpi dipende dalla loro differenza di temperatura e dalle caratteristiche costruttive ( materiali, forma). L’equazione di trasferimento è del tipo: Forza spingente Portata della grandezza trasferita = Resistenza al trasferimento La forza spingente è la causa che determina il trasferimento ( esempio la differenza di temperatura). La resistenza dipende dal mezzo attraverso cui avviene il trasferimento.

TRASFERIMENTO DEL CALORE. Condizione indispensabile è che i due corpi abbiano diversa temperatura. Lo studio del trasferimento si propone di descrivere quali grandezze influenzano lo scambio, così pure il ruolo della forma geometrica dei corpi interessati. Il trasferimento del calore tra due corpi può avvenire per: CONDUZIONE CONVEZIONE IRRAGGIAMENTO. 10

LA CONDUZIONE Il meccanismo della conduzione non implica spostamento di materia. I metalli in genere sono buoni conduttori del calore e questo è da attribuire alla grande mobilità che hanno gli elettroni di muoversi nella materia. Consideriamo il trasferimento del calore attraverso una superficie piana isolata dall’ambiente esterno. T1 > T2 interno T1 Parete 2 Parete 1 Q calore scambiato esterno T2 Profilo della temperatura (rappresentazione grafica del valore della t°): Maggiore è l’inclinazione minore è la conducibilità termica del materiale. 11

Q = K * A * Q rappresenta la quantità di calore scambiata L’equazione di trasferimento del calore per conduzione è l’equazione di Fourier: Δ T Q = K * A * Q rappresenta la quantità di calore scambiata s nell’unità di tempo Kcal / h o W nell’ S.I. K rappresenta la conducibilità termica del materiale in Kcal / h∙ m ∙ °C. Capacità del materiale a condurre il calore. A è la superficie di scambio perpendicolare al Flusso. In m2 ΔT differenza di temperatura T1 - T2 in Kelvin. s è lo spessore in m. Il rapporto è definito Gradiente termico ( spinta ) s ( che rappresenta la condizione sufficiente affinché si manifesti il trasferimento). 12

Il profilo della temperatura sarà tanto più inclinato in funzione della differenza di temperature tra le due facce. Considerando la quantità di calore scambiato Q come rapporto tra una forza spingente e la resistenza si ha: Δ T forza spingente Q = s resistenza K * A Se la parete è composta da più materiali, considerando sempre il sistema isolato, a regime la quantità di calore che attraversa la parete 1 è uguale a quella della 2 e a quella della tre, cioè il trasferimento è da considerarsi un flusso. 13

Q3 = K3 * A * Profilo della temperatura Quindi: T1 Ta Tb T2 Q1 = Q2 = Q3 = Q T1 – Ta Q1 = K1 * A * s1 Ta - Tb Q2 = K2 * A * s2 Tb – T2 Q3 = K3 * A * Profilo della temperatura s3 Ricavando le differenze di temperature dalle tre equazioni si ha: Q * s1 Q * s2 Q * s3 T1 – Ta = ; Ta – Tb = ; Tb – T2 = K1 * A K2 * A K3 * A 14

Sommando e semplificando viene : Q s1 s2 s3 T1 – T2 = * + + A K1 K2 K3 Da cui : Δ T Q = s1 s2 s3 + + K1A K2 A K3 A 15

La superficie interna sarà: Si = 2 π ∙ ri ∙ L e la Se = 2 π ∙ re ∙ L Interessante è il caso di conduzione attraverso una parete cilindrica cava ( tubo). Il tubo ha raggio interno ri , superficie interna Si , e all’esterno: re e Se. La lunghezza del tubo è L. La superficie interna sarà: Si = 2 π ∙ ri ∙ L e la Se = 2 π ∙ re ∙ L Si consideri Ti interna > di Te esterna La superficie interna è minore di quella esterna pertanto è necessario adattare la formula di Fourier. Si può ovviare considerando lo spessore come somma di infinitesimi a cui si associa una differenza estremamente piccola di temperatura. Il calcolo matematico ci permette di ricavare una formula adattabile al nostro caso: Δ T Q= 2 π * K* L re ri re ln ri Ti Te 16

Il trasferimento del calore avviene a seguito di spostamento di massa LA CONVEZIONE Il trasferimento del calore avviene a seguito di spostamento di massa ( moti convettivi) . Si può avere convezione naturale e forzata. E come moto può essere laminare o turbolento. A stretto contatto con la parete è presente un film di liquido per il quale non si ha convezione ma si può considerare presente solo conduzione. Il calore trasferito Q è uguale = A ∙ h ∙ ( t2 – t1 ) h rappresenta il coefficiente di trasferimento per convezione o coefficiente di pellicola. ( W / m2 * K ) Maggiore è la turbolenza maggiore è la quantità di calore trasferito. A contatto della parete il moto è laminare poi si passa a turbolento. Il coefficiente h dipende dalle proprietà fisiche del liquido e dalle condizioni operative ( velocità, diametro e superficie) Il valore dell’h, coefficiente di pellicola, non è di facile reperibilità. Un metodo è l’analisi dimensionale. Il meccanismo consiste nell’individuare le grandezze che influenzano il fenomeno (temperatura, forma e dimensioni, velocità, cp, viscosità, densità, espansione termica ecc.). 17

Si scrive poi l’equazione come h = funzione di (….). del tipo: h = Ψ ( Δta * Lb * Ve * Kd * Cpe * ρf * μg * ( β * g ) *h Cioè il coeff. di pellicola è uguale ad una costante Ψ moltiplicata per le varie grandezze che influenzano il trasferimento, elevata ognuna ad un opportuno esponente. β dipende dall’aumento di volume per grado Kelvin. L’analisi dimensionale si basa sul principio di omogeneità tra il primo e il secondo membro. Ne viene fuori una equazione dove figurano gruppi di quantità dimensionali. L Calore complessivo scambiato Numero di Nusselt = Nu = h * = K Calore trasferito per conduzione. ρ * vel * L Q. di moto con meccanismo turbolento Numero di Reynolds = = μ Quantità di moto con meccanismo viscoso 18

Cp * μ Q. di moto con meccanismo viscoso Numero di Prandtl = Pr = = K Calore trasferito per conduzione β*g*Δt*L3*ρ2 Forza ascensionale Numero di Grashov = Gr = Re = μ2 Forza viscosa Si può scrivere Nu = Ψ * (Re α * Pr β * Gr γ ) Dove Ψ, α, β, γ assumono valori dipendenti dalle caratteristiche del sistema. Prove sperimentali hanno dimostrato che il numero di Gr non ha influenza nella convezione forzata, mentre Re non ha influenza nella convezione naturale. 19

Pareti solide immerse in aria Δt 1/4 -Cilindri orizzontali h = 3,58 * Convezione naturale Vediamo alcuni casi : Pareti solide immerse in aria Δt 1/4 -Cilindri orizzontali h = 3,58 * D Δt 1/4 -Piani verticali h = 3,72 * L (L è l’altezza in cm) Piani orizzontali faccia superiore: h = 2,149 * Δt 1/4 Piani orizzontali faccia inferiore : h = 1,131 * Δt 1/4 Pareti solide immerse in acqua Δt 1/4 -Cilindri orizzontali h = 62,87* -Piani verticali h = 345,47* ( D, diametro, è in cm) L Le temperature sono in gradi C° . 20

La parete avrà una propria conducibilità K e spessore s. Consideriamo il caso della trasmissione del calore attraverso una parete (conduzione) a contatto con due fluidi a temperature diverse. E’ praticamente il caso di una parete di un appartamento a contatto con l’ambiente interno e con l’esterno. La parete avrà una propria conducibilità K e spessore s. In regime stazionario il flusso del calore che attraversa la parete è unico, per cui T1 il calore trasferito dal fluido 1 alla parete per convezione, quello che attraversa la parete per conduzione e quello che viene T’ trasferito dalla pare al fluido 2 per Fluido 1 T” Convezione, sono uguali: T2 Q = Q1 = Q2 = Q3 parete Fluido 2 21

da fluido 1 a parete : convezione Q = h1 * A * (T1 – T’ ) Analizziamo i tre casi: da fluido 1 a parete : convezione Q = h1 * A * (T1 – T’ ) K * A * (T’ – T” ) 2) attraverso la parete : conduzione Q = s 3) da parete a fluido 2 : convezione Q = h2 * A * (T” – T2 ) Q 1 s 1 ∆ T = T1 – T2 = * + + A h1 K h2 A contatto della parete si ha moto laminare poi, attraverso una zona di transizione, si ha moto nettamente turbolento. 22

(Il calore trasmesso fa riferimento all’unità oraria) La formula può essere scritta come rapporto tra forza spingente e resistenza. A * ( Ti – Te) Q = 1 s 1 + + hi K he (Il calore trasmesso fa riferimento all’unità oraria) Il denominatore rappresenta la resistenza al passaggio del calore attraverso la parete (convezione, conduzione, convezione). 1 s 1 1 Resistenza= + + ; che si indica = hi K he U Dove U, coefficiente 1 globale di scambio è = 1 s 1 hi K he 23

Q = A * U * Δt ; dove la Δt è la differenza Pertanto la formula che permette il calcolo del calore, che prende il nome di “Equazione globale di scambio” diventa: Q = A * U * Δt ; dove la Δt è la differenza ( t° fluido 1 - t° fluido 2). Il coefficiente U ( si misura in W m-2 K-1 ) , viene ottenuto sperimentalmente e ciò evita il calcolo di hi e he, coefficienti di pellicola interno ed esterno, difficili da determinare. A seguito della presenza di incrostazioni, alla resistenza vista vanno aggiunti dei fattori (di sporcamento) quantificati sperimentalmente: 1 1 = + R1 + R2 UD U 24

Nel caso di un tubo contenente un fluido 1 a contatto all’esterno con un fluido 2, si procede come nel caso precedente considerando però per il tubo la superficie curva. Il flusso di calore sarà unico: Q = Q1 = Q2 = Q3 Le formule sono scritte come rapporto tra forza spingente e resistenza. Fluido 2 ri re Fluido 1 25

1) Convezione interna: Q = 1 hi ∙ Ai (T’ – T” ) (Ti – T’ ) 1) Convezione interna: Q = 1 hi ∙ Ai (T’ – T” ) 2) conduzione parete curva: Q = De ln Di 2 π ∙ K∙ L (T” – Te ) 3) Convezione esterna: Q = he * Ae 26

Ti – Te Globalmente Q = De ln 1 Di 1 + + hi * Ai 2 π * K* L he * Ae + + hi * Ai 2 π * K* L he * Ae Il denominatore rappresenta la resistenza complessiva allo scambio termico. 27

Dove U rappresenta il coefficiente globale di scambio In pratica la resistenza dovuta alla conduzione è trascurabile perché i tubi di uno scambiatore sono di materiale ad alta conducibilità termica. Pertanto la formula relativa alla resistenza risulta funzione solamente dei fenomeni convettivi: 1 1 1 Resistenza = + cioè = hi * Ai he * Ae U * Ae Dove U rappresenta il coefficiente globale di scambio 1 1 1 = + U * Ae hi * Ai he * Ae 28

Che con semplici passaggi diventa: 1 Ae 1 = + U hi * Ai he Essendo il rapporto delle superfici uguale a quello dei rispettivi diametri, si può scrivere: 1 De 1 U hi * Di he L’equazione globale di scambio è: Q = A * U * Δ t 29

TRASMISSIONE DEL CALORE PER IRRAGGIAMENTO: La trasmissione del calore avviene in assenza di materia interposta, per mezzo di radiazioni elettromagnetiche. Le radiazioni rientrano: nel campo del visibile: tra 0,4 – 0,7 μm di lunghezza d’onda ( 10-6 m) ( frequenza circa 1015 sec-1) nell’infrarosso: da 0,7 μm a 102 mm ( 10-5m) Lunghezza d’onda e frequenza sono legate dalla relazione λ = c / ν , λ rappresenta la lunghezza d’onda cioè la lunghezza di una oscillazione completa, c è la velocità della luce mentre ν (ni) è la frequenza cioè il numero di oscillazioni nell’unità di tempo. Il tempo di una oscillazione completa prende il nome di periodo T. 30

τ – fattore di trasmissione (tau) come rapporto tra l’Energia Emissione ed assorbimento delle radiazioni. L’energia emessa da un corpo per irraggiamento è legata alla frequenza da; E= h * ν dove h costante di Planck vale 6,6 * 10 -27 , ed è tanto più grande quanto maggiore è la ν e più piccola λ. Le radiazioni che colpiscono un corpo vengono in parte assorbite, in parte riflesse e in parte attraversano il corpo. Indicando con: α - fattore di assorbimento come rapporto tra l’Energia assorbita / l’E totale incidente; ρ – fattore di riflessione (ro) come rapporto tra l’Energia riflessa / l’E totale incidente; τ – fattore di trasmissione (tau) come rapporto tra l’Energia trasmessa / l’E totale incidente Indicando con Ei l’energia incidente sul corpo essa risulterà uguale alla somma delle tre forme di energia: assorbita = α * Ei , energia riflessa = ρ * Ei , energia che attraversa il corpo = τ * Ei Ei = α * Ei + ρ * Ei + τ * Ei 31

Corpo riflettente – α = 0 mentre ρ = 1 e τ = 0 Si definisce corpo nero un sistema capace di assorbire tutta l’energia incidente, Corpo nero – α = 1 mentre ρ = 0 e τ = 0 Corpo riflettente – α = 0 mentre ρ = 1 e τ = 0 Corpo trasparente – α = 0 mentre ρ = 0 e τ = 1 Si definisce corpo opaco un sistema che non si lascia attraversare, per cui vale: α + ρ = 1 Un corpo nero può essere una sfera cava con un foro dal quale entra la radiazione. A seguito delle numerose riflessioni che si hanno all’interno il raggio non può più fuoriuscire. L’assorbimento in genere varia con la lunghezza d’onda λ della radiazione incidente, questo perché l’energia, da parte della sostanza, non viene assorbita in maniera continua perché, così come si ha per l’emissione, sono fenomeni che avvengono in maniera discontinua ( per pacchetti- Planck) . Un corpo è definito grigio se assorbe in maniera costante al variare della λ . 32

I corpi neri, oltre ad assorbire tutta la radiazione incidente, se messi in condizione di emettere energia, emettono secondo la legge Q = σ * T4 Legge di Stefan – Boltzmann. La sigma σ è = 5,672 * 10-8 W/ m2 * K4 oppure = 4,878 * 10-8 Kcal / m2 * h *K4 . Q rappresenta l’energia totale emessa nell’unità di tempo per unità di superficie ( W / m2 ). Per ogni temperatura esiste una λ a cui si ha il massimo di emissione. La relazione tra la Temp.e la lunghezza d’onda è la legge di Wien: T * λmax = 2,8 * 10-3 m*K La quale mostra come la λ di massima emissione diminuisce all’aumentare della T. Per corpi diversi dal corpo nero l’energia emessa è una frazione di quella calcolata con la legge di Stefan-Boltzmann, cioè Q = ε * σ * T4 ( ε epsilon ) 33

la ε è detto fattore di emissività ed è definito come rapporto: Energia emessa da un corpo non nero ε = ed è < 1 Energia emessa da un corpo nero alla stessa temperatura Trasmissione per irraggiamento tra due pareti piane. 1 2 T1 T2 34

Q1 = σ *A * T1 4 ( energia emessa da 1 nell’unità di tempo) Consideriamo due pareti piane 1 e 2 di uguale superficie, rispettivamente alle temperature T1 e T2. Se si comportano da corpi neri, l’energia emessa dalla parete 1 è interamente assorbita dalla parete 2 e viceversa. Q1 = σ *A * T1 4 ( energia emessa da 1 nell’unità di tempo) Q2 = σ *A * T2 4 ( energia emessa da 2 nell’unità di tempo) Se la T1 è > T2 si avrà trasferimento di calore da 1 a 2 , dato dalla differenza : Q1 - Q2 = Q netto = σ *A * ( T1 4 - T2 4 ) dove Q netto è il calore scambiato tra le due pareti nell’unità di tempo. L’espressione vale per i corpi neri. Per i corpi non neri è necessario scrivere: Q netto = ε * σ *A * ( T1 4 - T2 4 ) Vale per un corpo sottoposto a irraggiamento. 35

Si dimostra sperimentalmente che per ogni materiale vale la legge di Kirchhoff che afferma: per un corpo non nero i coefficienti di emissione ε e di assorbimento α sono uguali. La legge di Stefan-Boltzmann può essere scritta con una equazione analoga a quelle usate per la conduzione e per la convezione, introducendo un coefficiente per irraggiamento hirr: Q = hirr. *A * ( T1 - T2 ) ; ε * σ * ( T1 4 - T2 4 ) con hirr. = T1 - T2 36

FINE 37