1 Lezione IX – terza parte Avviare la presentazione col tasto “Invio”

2 Riepilogo III

3 Le forze d’attrito

4 F = F 1  a = 0 F = F 2  a = 0 F = F 3  a = 0 F = F 4  a ≠ 0 Supponiamo di applicare una forza F 1 ad un corpo posizionato su di una superficie non perfettamente liscia: Non succede niente ! Aumentiamo la forza: F 2 > F 1 Aumentiamo la forza: F 3 > F 2 Aumentiamo la forza: F 4 > F 3

5 F = F 1  a = 0 F = F 2  a = 0 F = F 3  a = 0 In base alle Leggi di Newton possiamo affermare che esiste una forza eguale a –F 1 applicata al corpo cosicché essendo la risultante delle forze F 1 – F 1 = 0, risulta a = 0. Chiameremo questa forza f s (Forza di attrito Statico)

6 F = F 4  a ≠ 0 Se osserviamo in dettaglio il moto nel caso F 4 scopriamo che se manteniamo applicata la forza, il corpo si muove di moto accelerato Tuttavia, se facciamo delle misure scopriamo che a < F 4 / m Evidentemente, esiste una forza contraria tale che la risultante F r obbedisce alla relazione F r = m a F r = F 4 – f k = m a Chiameremo questa forza f k (Forza di attrito Dinamico)

7 Va da sé che una volta «sbloccato» il corpo dalla posizione di quiete, se vogliamo semplicemente che mantenga uno stato di moto uniforme ( a = 0 ), dobbiamo smorzare la forza F 4 fino a eguagliare in modulo f k F 4 = - f k fk fk

8 Quindi, in sostanza, se misuriamo in funzione del tempo la forza F necessaria per sbloccare il corpo dalla sua posizione di quiete e poi mantenerlo in uno stato di moto uniforme ( a = 0 ), otteniamo un grafico di questo tipo: Tempo (s) Forza F applicata F > f s f k

9 Si osserva che la forza di attrito f è proporzionale alla forza normale N che mantiene a contatto la massa in questione con la superficie su cui si trova. Di norma l’attrito è quantificato attraverso l’introduzione del cosiddetto coefficiente d’attrito μ Definiremo pertanto il coefficiente d’attrito statico in base alla formula: f s = μ s N E definiremo il coefficiente d’attrito dinamico (o cinetico) in base alla formula f c = μ c N

Per pervenire alla formulazioni delle nostre Leggi e per sviluppare un approccio metodologico che ci consenta di prevedere l’esito degli esperimenti, vi ricordo che eravamo partiti dallo studio di: Cinematica e Dinamica che ci hanno anche indirizzato verso applicazioni del calcolo differenziale (derivate e integrali) e ci siamo dovuti anche impratichire con altri strumenti di lavoro: Algebra vettoriale 10

Per pervenire in modo formalmente corretto alle nostre formulazioni: ci siamo dotati di adeguati strumenti di lavoro Abbiamo definito le grandezze fisiche fondamentali Abbiamo enunciato le leggi fondamentali della dinamica 11

12 GRANDEZZE SCALARI E GRANDEZZE VETTORIALI Ripensando agli esperimenti che abbiamo immaginato a proposito della quantità di moto, ci rendiamo conto che in Fisica esistono sia: grandezze scalari o più semplicemente uno scalare che grandezze vettoriali o più semplicemente un vettore Per grandezza scalare intendiamo una grandezza fisica identificata semplicemente da un valore numerico: per esempio fra quelle che abbiamo già trattato nei nostri esperimenti, la massa. Diremo quindi la massa è uno scalare. Per grandezza vettoriale intendiamo invece una grandezza fisica che oltre ad un valore numerico, necessita anche della individuazione di una direzione e un verso, per esempio fra quelle che abbiamo già trattato nei nostri esperimenti, la velocità. Diremo quindi che la velocità è un vettore

13 Proprietà dei vettori Le proprietà dei vettori possono essere facilmente descritte ricorrendo alla loro rappresentazione grafica. Prendiamo in considerazione il vettore «spostamento» Supponiamo di muoverci verso Est per 3km a partire da una posizione iniziale «0». Possiamo indicare questo spostamento nel grafico di seguito come segue: N S W E O 1 km

14 N S W E O 1 km Immaginiamo quindi di svoltare di 30 gradi a sinistra e di spostarci lungo questa nuova direzione di altri 5 km. Siamo in contatto radio coi nostri corrispondenti fermi al punto «0». Per farci raggiungere dobbiamo necessariamente descrivere il percorso che abbiamo fatto, o possiamo piuttosto indicare un percorso diretto ? 30°

15 N S W E O 1 km Immaginiamo quindi di svoltare di 30 gradi a sinistra e di spostarci lungo questa nuova direzione di altri 5 km. Siamo in contatto radio coi nostri corrispondenti fermi al punto «0». Per farci raggiungere dobbiamo necessariamente descrivere il percorso che abbiamo fatto, o possiamo piuttosto indicare un percorso diretto ? Ok, graficamente è semplice ma come ricavare la lunghezza (modulo) e l’angolo del vettore risultante ? (che sono poi le grandezze da comunicare ai nostri corrispondenti!) 30°

16 Componenti dei vettori Possiamo individuare un vettore indicandone il modulo (la lunghezza), la direzione e il verso: y x O φ a

17 Possiamo individuare un vettore indicandone il modulo (la lunghezza), la direzione e il verso: y x O φ a Le componenti lungo l’asse x e l’asse y saranno rispettivamente: a x = a cos ( ) a y = a sin ( ) φ φ axax ayay

18 Quindi, conoscendo a e possiamo determinare a x e a y a x = a cos ( ) a y = a sin ( ) Viceversa, conoscendo a x e a y possiamo determinare a e φ φ φ a = a x 2 + a y 2 tan = a y / a x

19 N S W E O 1 km 30° E torniamo adesso al quesito da cui eravamo partiti: la somma vettoriale Vogliamo definire il vettore s = a + b E’ intuitivo rendersi conto che, posto s = s x i + s y j Risulta: s x = a x + b x s y = a y + b y

20 s = s x 2 + s y 2 tan = s y / s x Ecco i dati da comunicare ai nostri corrispondenti fermi al punto «0»

21 Vettori unitari (versori) I versori sono vettori unitari (modulo = 1 ) che hanno direzione e verso di ciascuno degli assi cartesiani e vengono indicati con i simboli i e j rispettivamente: y x O i j Adottando questo formalismo, possiamo scrive il vettore a come: a = a x i + a y j

22 Moltiplicazione di un vettore per uno scalare y x O φ a Moltiplicare un vettore per uno scalare, significa semplicemente variarne il modulo y x O φ a

23 Prodotto scalare di due vettori Dati due vettori A e B: A B Definito θ l’angolo fra i due vettori, di definisce prodotto scalare di A e B A B = A x B cos (θ) Cioè il prodotto del modulo di A per la proiezione di A su B θ

24 Prodotto vettoriale di due vettori Lo vedremo più avanti quando ne troveremo un’applicazione in Fisica