Geometria 2 GRANDEZZE OMOGENEE GRANDEZZE COMMENSURABILI E INCOMMENSURABILI PROPORZIONALITA’ TEOREMA DI TALETE RELAZIONE FRA I LATI DEI POLIGONI REGOLARI E I RAGGI DEI CERCHI CIRCOSCRITTI. il raggio del cerchio inscritto in un triangolo equilatero. raggio del cerchio inscritto in un triangolo qualsiasi conoscendo i lati. RETTA PARALLELA A UN LATO DI UN TRIANGOLO Il teorema della bisettrice TRIANGOLI RETTANGOLI CON ANGOLI DI 60° E 30° RAGGIO DEL CERCHIO INSCRITTO IN UN TRIANGOLO RAGGIO DEL CERCHIO CIRCOSCRITTO AD UN TRIANGOLO ESERCIZI SIMILITUDINE TEOREMA DELLE CORDE TEOREMA DELLE SECANTI RAGGIO DEL CERCHIO CIRCOSCRITTO AD UN TRIANGOLO PROBLEMI

A r A OA > r ESTERNA OA =r TANGENTE OA < r INTERNA

R O R’ V OV > R+R’ OV =R+R’ OV=R-R’ OV <R-R’

ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA E ANGOLI AL CENTRO

2 = o TEOREMA: L’ANGLO AL CENTRO E’ SEMPRE IL DOPPIO DELL’ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA CHE INSISTE SULLO STESSO ARCO

A α 1 ß 1+α ω 1 ω+ ß= 2(1+ α) ß = (ω+ ß) – ω= ω+ ß= 2(1+ α) ß = (ω+ ß) – ω= 2(1+ α)- 2 (1)=2(1) +2 α -2(1)= 2 α A α 1 O ß 1+α B ω 1 D 1° CASO C

L’ANGOLO α E L’ANGOLO ß SONO COMPLEMENTARI DELLO STESSO ANGOLO ω A α QUINDI ß=α ω C BOA=2ß==2 α O ß ß 2° CASO B

ESSENDO ß ANGOLO ESTERNO AL TRIANGOLO OAB RISULTA ß= α+α = 2α A α ß α B

Ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è un triangolo rettangolo. Infatti l’angolo alla circonferenza α è la metà del corrispondente angolo al centro ß che è piatto α ß COROLLARIO

In geometria si opera con tre tipi di entità matematiche: Le figure Le grandezze I numeri Si dice CLASSE DI GRANDEZZE GEOMETRICHE un insieme G in cui si possa definire: Un confronto , cioè si deve poter dire: se a<b, a=b, a>b; Una operazione, detta addizione,secondo la quale per ogni a,b appartenente a G, esiste un elemento c appartenente a G tale che g=a+b; l’operazione deve godere della proprietà associativa, commutativa e possedere l’elemento neutro.

Una classe di grandezze può essere quella dei segmenti Una classe di grandezze può essere quella dei segmenti .Essi sono sono enti geometrici della stessa specie per i quali è possibile stabilire un criterio di confronto e stabilire se sono uguali o disuguali ed è possibile stabilire l’operazione di addizione. Similmente è possibile stabilire un criterio di confronto per due angoli. Non è possibile invece stabilire un confrontro tra angoli e segmenti. Si dice che i segmenti costituiscono una classe di grandezze geometriche omogenee, così come pure gli angoli. Invece i segmenti e gli angoli sono grandezze eterogenee. Per le grandezze omogenee valgono le seguenti proprietà: Ogni grandezza è uguale a se stessa ( riflessiva) Se una grandezza A è uguale ad una grandezza B, allora B=A (simmetrica) Due grandezze uguali ad una terza sono uguali tra loro ( transitiva)

SE A>B e B>C allora A>C ( transitiva della disuguaglianza) Date A e B si verifica sempre uno dei seguenti casi: A=B, A<B, A>B; La somma di due o più grandezze non cambia se si cambia l’ordine di esse (commutativa); La somma di più grandezze non cambia se a due o più di esse si sostituisce la loro somma ( associativa); Somme di grandezze uguali sono uguali; Differenze di grandezze uguali sono uguali;

MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI Data una grandezza B ed un numero naturale m, la grandezza A somma di m grandezze tutte uguali a B si dice multipla di B secondo m e si scrive A=mB. E si dice pure che B è sottomultipla di A secondo m e si scrive B=A 1 A m Nell’esempio A=8 B B POSTULATO DI DIVISIBILITA’: E’ POSSIBILE DIVIDERE OGNI GRANDEZZA IN N PARTI UGUALI CON N NUMERO NATURALE QUALUNQUE DIVERSO DA ZERO.

GRANDEZZE COMMENSURABILI Consideriamo due coppie di segmenti. La prima composta dai segmenti a e b tali che a=3b a b La seconda composta da c e d tali che c =3s e d=4s Da queste si deduce c=3/4 s c d s Nei due casi esiste un terzo segmento che è contenuto un numero intero di volte in ognuna delle coppie. Nel primo caso questo segmento è b che è contenuto 3 volte in a e una volta in b; nel secondo caso il segmento s è contenuto 3 volte in c e 4 volte in d. I segmenti a e b e così pure c e d ammettono un sottomultiplo comune o una comune misura. Diremo che le coppie a e b e c e d sono commensurabili.

A = m/n B; oppure A/B= m/n In generale : due grandezze omogenee si dicono commensurabili quando ammettono una grandezza sottomultipla comune; cioè quando esiste una terza grandezza, omogenea con le prime due, che è contenuta un numero intero di volte in ciascuna di esse. A = m/n B; oppure A/B= m/n Il rapporto m/n di due grandezze commensurabili è un numero razionale ( numero intero , numero decimale limitato, decimale illimitato periodico)

Grandezze incommensurabili Due grandezze si dicono incommensurabili se non ammettono una sottomultipla comune. Il rapporto tra due grandezze incommensurabili è un numero irrazionale ( numero decimale illimitato non periodico) I NUMERI RAZIONALI ED I NUMERI IRRAZIONALI SI DICONO NUMERI REALI. Dicesi misura di una grandezza A rispetto ad un’altra U omogenea con A, il numero reale a che esprime il rapporta A/U =a Quindi A= a U; se U è l’unità di misura (per es. 1 mt ) allora A=a mt.

Verifica Il lato e l’altezza di un triangolo equilatero Sono grandezze incommensurabili la diagonale di un quadrato ed un suo lato Così pure Il lato e l’altezza di un triangolo equilatero Il lato e l’apotema dell’esagono regolare La circonferenza ed il suo raggio ESERCIZIO: Verifica che il rapporto fra il lato e l’altezza di un triangolo equilatero è il numero irrazionale . Verifica

Classi di grandezze e proporzionalità QUATTRO GRANDEZZE A, B, C, D, DI cui LE PRIME DUE OMOGENEE TRA LORO COSì COME LA TERZA E QUARTA, SI DICONO IN PROPORZIONE SE A : B = C : D CONSEGUENTI ANTECEDENTI MEDI

Corrispondenza fra grandezze Consideriamo l’insieme delle province italiane e dei capoluoghi di provincia. Possiamo affermare che tra i due insiemi vi è una corrIspondenza BIUNIVOCA perché ad ogni elemento del primo insieme corrisponde un elemento del secondo e viceversa. Non è così se consideriamo per esempio l’insieme delle auto e le ditte costruttrici-Alla ditta corrispondono più auto, ma ad una auto corrsponde una sola ditta . Fiat Mercedes Opel Nissan Consideriamo due classi di grandezze A1, B1, C1, D1,……. A2,B2,C2,D2,…. Diremo che fra le due classi esiste una corrispondenza biunivoca se esiste un legge che fa corrispondere ad ogni grandezza della prima classe una grandezza della seconda classe.

CLASSI DI GRANDEZZE DIRETTAMENTE PROPORZIONALI Consideriamo la legge che esprime lo spazio percorso da un mobile che ha una certa velocità V e il tempo impiegato a percorrere quello spazio. t s 10 20 15 30 40 80 50 100 Come si vede all’aumentare del tempo , aumenta lo spazio percorso. Inoltre il rapporto tra due grandezze della prima classe è uguale al rapporto tra le grandezze della seconda classe. Quando si verifica ciò si dice che le due classi di grandezze sono direttamente proporzionali.

Questo rapporto si chiama COEFFICIENTE o costante di proporzionalità. Se indichiamo con X e Y le misure di due grandezze corrispondenti delle due classi si ha Y=KX Altro esempio : se all’estremità di una molla attacchiamo un peso, l’allungamento sarà proporzionale al peso . Quando invece il rapporto tra due grandezze della prima classe è inverso al rapporto tra le corrispondenti dell’altra classe e si scrive XY=K Esempio: la pressione esercitata su di un cilindro pieno di gas. Più alta è la pressione è più il volume diminuisce. Se si aumenta una grandezza, l’altra diminuisce.

R1 R2 R1 R2 IL CRITERIO DELLA PROPORZIONALITA’ DIRETTA. Consideriamo due insiemi A e B , ciascuno di grandezze omogenee, fra i quali esiste una corrispondenza biunivoca. A e B sono insiemi di grandezze direttamente proprorzionali se: a grandezze uguali in A corrispondono grandezze uguali in B; alla somma di due grandezze di A corrisponde la somma delle due grandezze cosrrispondenti in B. Es. due rettangoli R1 e R2 di uguale altezza, e le basi b1 e b2. Se R1=R2 allora b1=b2 (hanno la stessa altezza) R1 R2 R1 R2 b1 b2 Allora corrisponderà b1+b2 SE consideriamo R1+R2 Il che si esprime brevemente dicendo che : condizione necessaria e sufficiente affinchè due classi di grandezze, in corrispondenza biunivoca, siano direttamente proporzionali, è che la corrispondenza conservi l’uguaglianza e la somma.

Altro esempio di proporzionalità è il seguente: In una stessa circonferenza gli archi sono direttamente proporzionali ai corrispondenti angoli al centro. Se l=m allora 1=2 Alla somma l+m corrsponde la somma 1+2 l 1 2 m

TESI: AB :CD = A’B’ : C’D’ Teorema di Talete Un fascio di rette parallele determina sopra due trasversali due classi di segmenti proporzionali. s r A B C D A’ B’ C’ D’ a b c d TESI: AB :CD = A’B’ : C’D’ Ricordando il teorema sul fascio di rette parallele se AB=CD allora A’B’=C’D’ e quindi Ad AB+CD corrisponderà A’B’+C’D’. Quindi si sono verificate le condizioni per la proporzionalità diretta viste nella scheda precedente.

Questo teorema possiamo anche dimostrarlo in questo modo: B C D A’ B’ C’ D’ Supponiamo che AB e CD siano commensurabili e che sia possibile trovare un segmento che entri un numero di m volte in AB e n volte in CD.Quindi AB/CD = m/n Sappiamo da un teorema precedente che a segmenti uguali su una trasversale corrispondono segmenti uguali sull’altra trasversale.Quindi anche A’B’ e C’D’ risulteranno divisi in n e m parti.Quindi A’B’/C’D’= m/n In definitiva risulterà AB/CD =A’B’/C’D’.

RETTA PARALLELA A UN LATO DI UN TRIANGOLO Una retta parallela a un lato di un triangolo divide gli altri due lati ,o i loro prolungamenti, in segmenti proporzionali. A D E AD : DB = AE : EC C B Tracciamo due rette parallele a DE passanti per a e per BC Avremo così un fascio di rette parrallele tagliate dalle trasversali AB e AC . Quindi per il teorema di Talete possiamo scrivere la proporzione AD : DB = AE : AC

Il teorema della bisettrice (angolo interno) In un triangolo ,la bisettrice di un angolo interno divide il lato opposto in parti direttamente propozionali agli altri due lati. A 1 E 1 D 2 2 B C CE : AE = BC : AB Prolunghiamo il lato BC Mandiamo per A una parallela alla bisettrice BE e si indichi con D il punto di intersezione con tale prolungamento. I due angoli alla base del triangolo ABD sono rispettivamente isometrici a 1 e 2 ( angoli alterni interni e corrispondenti) e quindi isometrici tra loro ( ricordare che BE è la bisettrice quindi 1 =2). continua

A 1 E 1 2 2 B C D CE : AE = BC : AB Per il teorema di Talete CE : AE = BC : BD Ma BD = AB, quindi sostituendo CE : AE : = BC : AB

TEOREMA DELLA BISETTRICE DELL’ANGOLO ESTERNO Se la bisettrice di un angolo esterno di un triangolo incontra il prolungamento del lato opposto, le distanze del punto di incontro delle estermità di tale lato sono proporzionali agli altri due lati. A 1 1 M 2 2 D B C Dobbiamo dimostrare che : BD : CD = AB : AC Tracciando la parallela ad AC per C otteniamo un fascio di rette parallele e quindi per il teorema di Talete: BC : CD = BM :MA Per la proprietà del componendo : (BC+CD): CD= (BM+MA) : MA Quindi BD : CD= AB : AM Ma AM=AC perché l’angolo 2=1 e quindi il triangolo MAC è isoscele. Sostituendo si dimostra il teorema.

Consideriamo un esagono regolare inscritto in una circonferenza 1 O B r L’ANGOLO 1 è LA SESTA PARTE DELL’ANGOLO GIRO, QUINDI è DI 60°.Il triangolo OAB è isoscele perché i lati sono uguali al raggio. Quindi gli angli alla base sono di 60°. Pertanto il triangolo, avendo glia angoli congruenti, è equilatero. AB= r

A B C H l = AD - DC D l = 4r - r = 3r l = r 3 RELAZIONE FRA I LATI DEI POLIGONI REGOLARI E I RAGGI DEI CERCHI CIRCOSCRITTI. A B C Sia l la misura del lato del triangolo equilatero inscritto nella circonferenza di raggio r. L’altezza AH dimezza la corda BC. Il triangolo ACD è rettangolo.Quindi per il teorema di Pitagora: H 2 2 2 l = AD - DC D 2 2 2 2 l = 4r - r = 3r l = r 3 Da cui r = l / 3 che razionalizzato diventa l 3 3

dal teorema di Pitagora applicato al triangolo AHC Vediamo ora il raggio del cerchio inscritto in un triangolo equilatero. A Sappiamo che r =1/3 AH =1/3 h L Ma h= L 3 dal teorema di Pitagora applicato al triangolo AHC r P 2 r C B H Quindi r = L 3 6

Vediamo ora come si ricava il raggio del cerchio inscritto in un triangolo qualsiasi conoscendo i lati. c a R R R b Il triangolo viene diviso in tre triangoli interni di cui i lati sono le basi e i raggi sono le altezze.Quindi l’area S del triangolo risulta la somma dei tre triangoli che chiamiamo S1 ,S2 e S3.Quindi S = aR + bR + cR = R * a+b+c = R p 2 2 2 2 Dove p = semiperimetro. Quindi R = S/p

TRIANGOLI RETTANGOLI CON ANGOLI DI 60° E 30° Per il teorema di Pitagora 30° L h= h 60° L/2 Si tenga presente che se gli angoli sono di 60° il triangolo è equilatero e quindi nel triangolo rettangolo vi è un angolo di 30° ed uno di 60°

ESERCIZIO C A 13 36 B DATO IL TRIANGOLO RETTANGOLO IN C CALCOLARE IL PRERIMETRO SENZA USARE IL TEOREMA DI PITAGORA APPLICARE I TEOREMI DI EUCLIDE

ESERCIZIO N. 2 IN UN TRIANGOLO RETTANGOLO LA PROIEZIONE DI UN CATETO SULL’IPOTENUSA è 4/9 DEL CATETO STESSO, MENTRE LA PROIEZIONE DELL’ALTRO CATETO HA LUNGHEZZA 65 CM. DETERMINARE IL PERIMETRO DELTRIANGIOLO C A H B AH= 4/9 AC PONIAMO AH= 4x E AC= 9x ………………………………..

A C O B Dimostrare che il segmento di tangenza AB è diviso dal punto di tangenza C in modo che il raggio OC è medio proporzionale fra i due segmenti.

A C 1 2 O 3 4 B 1=2 ; 3=4 ( dire perché) 1+2+3+4 = angolo piatto 2+3 = retto ABC è triangolo rettangolo

Il raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo rettangolo è metà dell’ipotenusa. L A MEDIANA RELATIVA ALL’IPOTENUSA DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO E’ METà DELL’IPOTENUSA Un triangolo rettangolo è sempre inscritto in una semicirconferenza essendo un suo angolo retto che deve essere metà dell’angolo al centro corrispondente.Quindi l’ipotenusa coincide col diametro. La mediana coincide col raggio ed è quindi la metà dell’ipotenusa.

CALCOLIAMO ORA IL RAGGIO DELLA CIRCONFERENZA INSCRITTA IN UN TRIANGOLO QUALSIASI b a r r r c L’area del triangolo è uguale alla somma delle aree dei tre triangoli le cui altezze soni i raggi del cerchio.Quindi S= ½ a r + ½ b r + ½ c r = r ( a+b+c) = r p dove p è il semiperimetro. 2

L’area del triangolo è possibile calcolarla con la formula di ERONE che ci permette di calcolare l’area noti i lati: p(p-a) (p-b) (p-c) S = Dove p è il semiperimetro.

SIMILITUDINE In due triangoli simili le altezze stanno tra loro come due lati omologhi A A’ C B H’ C’ H B’ Ipotesi : ABC simile a A’B’C’ Tesi : AH:A’H’ = AB : A’B’ I due triangoli ABH e A’B’H’ sono simili perché hanno un angolo retto congruente, l’amgolo B congruente per ipotesi, il terzo angolo congruente per differenza. Dalla similitudine dei due triangoli deriva la tesi.

TEOREMA DELLE CORDE Se per un punto interno ad una circonferenza si conducono due corde, tale punto le divide in modo che le due parti di una corda sono i medi e le due parti dell’altra gli estremi di una proporzione. C A B E D Quindi: AE : DE = CE : EB Consideriamo i due triangoli ADE e CBE ; essi hanno l’angolo in D e l’angolo in B congruenti perché insistono sullo stesso arco AC L’angolo in A e l’angolo in C congruenti perché insiston sullo stesso arco DB Quindi i due triangoli sono simili per il I criterio di similitudine e pertanto vale la proporzione .

TEOREMA DELLE SECANTI A B P C D Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono due secanti, una delle secanti e la sua parte esterna sono i medi, l’altra secante e la sua parte esterna sono gli estremi di una proporzione. Quindi PA : PD = PC : PB Congiungendo A con C e B con D si ottengono due triangoli PAC e PBD. Essi sono simili perché hanno P in comune. Ae D congruenti perché isnistono sullo stesso arco BC Quindi vale la proporzione

RAGGIO DEL CERCHIO CIRCOSCRITTO AD UN TRIANGOLO RETTO ANGOLO RETTO b c o h B C a H I due triangoli ABD e AHC sono simili D L’angolo in C e l’angolo in D sono isometrici perché insistono sullo stesso arco. Quindi DA : AC = AB : AH ---- 2R : b = c : h ------ R = b c / 2h Moltiplicando ambo i membri per a si ottiene : R = abc / 2ah = abc / 4S Dove S è l’area del triangolo .

RISOLVERE I SEGUENTI PROBLEMI In un trapezio isoscele la somma del doppio della base minore con il triplo di uno dei lati obliqui è m 18, il perimetro è m 20 e ciascuno dei prolungamenti dei lati obliqui è m 2. Determinare la base minore e il lato obliquo. R= m 3; m 4

Determinare il raggio del cerchio inscritto in un triangolo isoscele avente il perimetro e la base uguali a cm 54 e cm 15. R= cm 5

La base di un triangolo isoscele è cm 216 e la somma del lato obliquo e dell’altezza relativa alla base è di cm 324. Calcolare il rapporto del triangolo al cerchio inscritto. R= 16/ (3 Π)

Il lato di un triangolo isoscele misura cm 60 e la semibase cm 36;trovare la lunghezza del raggio del cerchio circoscritto al triangolo. C x

In un triangolo rettangolo i cateti misurano cm 36 e cm 48; trovare la misura del lato del quadrato inscritto nel triangolo avente due latri sui cateti.

C Applicando il teorema di Pitagora al triangolo ACH si ha: Ma AH= ½ AC quindi H B A

Problema In un trapezio isoscele la base maggiore è lunga 50 cm e la base minore 30 cm; gli angoli adiacenti alla base maggiore sono di 60°; calcolare l’area e il perimetro del trapezio. Soluzione

b L H B-b B 2 B=50, b=30 B-b= 20 (B-b)/2=10 L=20 (proprietà dei triangoli equilateri H=(L/2)