MOMENTI DI SECONDO ORDINE INERZIA J

INERZIA ASSIALE IL momento statico di una massa rispetto a una retta è dato del prodotto del la massa per la sua distanza dalla retta. Mentre il momento d’inerzia è dato dal prodotto della massa per il quadrato della sua distanza dalla retta.

Questa è la differenza tra momenti di primo ordine e secondo ordine

Cosa è quindi il momento d’inerzia? È tra virgolette “un coefficiente di forma delle sezioni”

Momento d’inerzia assiale

È la somma dei prodotti delle singole masse per la distanza al quadrato tra le stesse e l’asse di riferimento

sinteticamente

Il momento d’inerzia polare il momento d’inerzia polare di un sistema di masse rispetto a un punto P è la somma dei prodotti delle singole masse per i quadrati delle rispettive distanze dal punto P

Semplificazione Momento d’inerzia polare Il momento polare può essere espresso attraverso il momento d’inerzia rispetto a due generici assi ortogonali passanti per il polo P; è sufficiente sostituire nella sua definizione, in luogo del quadrato della distanza d la somma dei quadrati dei due cateti x e y proiezioni ortogonali sugli assi cartesiani della distanza d

il momento d’inerzia polare è anche dato dalla somma dei due momenti d’inerzia Jx e Jy valutati rispetto a due generici assi ortogonali passanti per P.

Esso è definito nei riguardi di due assi x, y non ortogonali Il momento centrifugo Esso è definito nei riguardi di due assi x, y non ortogonali

differenze a differenza dei due casi precedenti, il momento centrifugo può risultare positivo, negativo o nullo perché i prodotti x possono essere positivi o negativi a seconda che le masse abbiano entrambe le coordinate positive o negative oppure una coordinata positiva e l’altra negativa.

TEOREMA DI TRASPOSIZIONE Un’importante proprietà dei momenti del secondo ordine fu stabilita da Huygens da cui prende nome il relativo teorema.

TEOREMA DI TRASPOSIZIONE il momento d’inerzia di un sistema di masse rispetto a un asse è uguale al momento d’inerzia del sistema rispetto all’asse parallelo baricentrico (Xg o Yg), aumentato del prodotto della somma delle masse per il quadrato della distanza fra i due assi.

sinteticamente

nota fra tutti i momenti d’inerzia di un sistema di masse rispetto a un fascio di rette parallele, il momento d’inerzia minimo è quello rispetto alla retta baricentrica.

Il teorema di trasposizione Il teorema di trasposizione è particolarmente utile in tutti i casi in cui sono noti i momenti d’inerzia baricentrici; tuttavia, per esigenze di calcolo, spesso siamo obbligati a determinare il momento d’inerzia rispetto ad altri assi significativi

Caso di profilati a doppio T Un caso di frequente applicazione è quello delle sezioni d profilati in acciaio di cui il M.d’inerzia Jx e Jy si conoscono tramite tabelle

Formula inversa spesso, è necessario calcolare il momento d’inerzia rispetto ad assi tangenti la figura o viceversa partendo dal Momento d’inerzia generico rispetto ad un asse si può risalire al momento d’Inerzia baricentrico utilizzando la formula inversa

Formula inversa

Figure piane - rettangolo Determinazione del Momento d’inerzia rispetto ad un asse tangente la base

dimostrazione Suddividiamo il rettangolo in strisce elementari; Rappresentiamo le aree con vettori baricentrici Rappresentiamo Il baricentro di tali masse che è a H/2 Calcoliamo i momenti statici dei singoli vettori e costruiamo il diagramma triangolare relativo e ne definiamo il baricentro 2/3 H Calcoliamo il momento d’inerzia come area totale BH per la distanza baricentrica H/2 per la distanza del baricentro dei momenti statici.

Ne consegue : Jx

Inerzia baricentrica di una rettangolo Noto il valore del momento d’inerzia rispetto alla base del rettangolo, possiamo dedurre, attraverso il teorema di trasposizione, il valore del momento d’inerzia rispetto a un asse parallelo e baricentrico dalla relazione seguente: