I QUADRATI MAGICI Un quadrato magico è uno schieramento di numeri interi distinti in una tabella quadrata tale che il totale di ogni riga, di ogni colonna e di entrambe le diagonali sia sempre lo stesso numero; tale intero è denominato la costante di magia o costante magica o somma magica del quadrato. Con il linguaggio della matematica, se n è un intero maggiore di 2, si definisce quadrato magico ogni matrice quadrata di ordine n a valori interi e iniettiva tale che le somme delle entrate di ciascuna delle righe, di ciascuna delle colonne e di entrambe le diagonali hanno lo stesso valore intero. Un quadrato magico di ordine n le cui entrate sono gli interi da 1 a n2 viene detto quadrato magico perfetto o quadrato magico normale. La costante magica di questi quadrati è data dalla formula: I primi 15 componenti di questa successione sono : 1, 5, 15, 34, 65, 111, 175, 260, 369, 505, 671, 870, 1105, 1372, 1695

Dettaglio di Melancholia I, di Albrecht Dürer Dettaglio di Melancholia I, di Albrecht Dürer. I due numeri nelle caselle centrali dell'ultima riga formano 1514, anno in cui venne fatta l'incisione.

LA STORIA I quadrati magici erano noti già in Cina nei primi secoli dopo Cristo, e forse addirittura nel IV secolo AC. Il quadrato 3 × 3 era chiamato Lo Shu; nel X secolo i cinesi conoscevano quadrati fino all'ordine 10, oltre a catene di cerchi e cubi magici non perfetti. Queste strutture giunsero in Europa relativamente tardi: il bizantino Manuel Moschopulos (circa 1265 – 1316) fu tra i primi a scrivere su di essi. Uno dei primi matematici ad approfondire l'argomento fu Cornelio Agrippa (1486 – 1535), il quale li definì: “tavole sacre dei pianeti e dotate di grandi virtù, poiché rappresentano la ragione divina, o forma dei numeri celesti.” Molti quadrati magici si supponevano dotati di particolari virtù magiche e venivano utilizzati per costruire dei talismani: ad es. le loro incisioni su placche d'oro o d'argento venivano impiegate come rimedi, dalla peste al mal d'amore. Uno tra più noti quadrati magici è sicuramente quello che compare nell'incisione di Albrecht Dürer intitolata Melancholia I. Frenicle de Bessy (1605-1665), matematico francese amico di Cartesio e di Pierre de Fermat, nel 1663 calcolò il numero dei quadrati magici perfetti del quarto ordine: 880, con somma costante 34, su righe, colonne e diagonali. Solo grazie al computer si riuscì ad estendere il risultato, nel 1973, agli ordini superiori: i quadrati magici di ordine 5 sono 275305224. Non è noto il numero preciso dei quadrati magici di ordine 6, anche se molti sono impegnati nella sua determinazione. Secondo alcune indagini, il loro numero è nell'ordine di 1.7754 × 1019. Resta comunque insoluto il problema più generale di trovare la regola che permetta di determinare il numero di quadrati magici di ordine n. Parente stretto del quadrato è il cubo magico, costruito in Europa per la prima volta solo nel 1866. Il primo cubo perfetto, di ordine 7 e quindi contenente i primi 73 = 343 interi positivi fu ottenuto da un missionario appassionato di matematica. In seguito si estese la ricerca a ipercubi di dimensione m ed ordine n, ognuno composto da nm numeri interi.

ESEMPI DI COSTRUZIONE Il tipo più comune di quadrato magico è quello che usa i numeri da 1 a n2, con il quadrato 3×3 che è forse il più famoso:

La costante di magia di questo quadrato è 15 La costante di magia di questo quadrato è 15. La costante di magia di un simile quadrato può essere computata con questa formula:

I quadrati magici del tipo 1 a n2 possono essere costruiti per tutti i valori possibili di n tranne 2. Non tutti i quadrati magici del tipo 1 a n2 sono costruiti nello stesso senso. Cadono in tre subclassificazioni differenti: n dispari n divisibile per 2 ma non per 4, o numero semplicemente pari n divisibile per 4, o numero doppiamente pari

Il metodo per costruire un quadrato magico con n dispari è abbastanza semplice e viene spiegato qui di seguito. Si inizia mettendo 1 nella colonna centrale della fila superiore.

Si compila la colonna seguente del numero uno (a destra) e ad una fila superiore. Se siete già alla fila superiore, si compila una colonna alla destra nella fila inferiore.

Se il quadrato già è occupato da un numero più piccolo, si posiziona il numero seguente nel quadrato immediatamente sotto all'ultimo immesso, si procede in tal maniera fino a comporre tutto il quadrato. Infine, si verifichi che ogni fila, colonna e diagonale diano come somma algebrica lo stesso numero, in questo caso, 65.

Naturalmente i quadrati magici possono essere costruiti usando un sottoinsieme dei numeri compresi tra 1 a n2. Per esempio, un quadrato magico può essere costruito usando soltanto i numeri primi (in alcuni casi potrebbe essere necessario accettare 1 come numero primo per avere un quadrato magico). In questo esempio, la costante di magia è 111:

I quadrati magici possono anche essere costruiti dai reciproci di alcuni numeri primi. Per esempio, 1/7 è circa 0.142857 e possiamo quasi fare un quadrato magico composto da quelle cifre: Ogni fila e colonna ha come somma 27. Purtroppo, le diagonali non hanno tale valore.