A cura di Maria Giovanna Melis Relazioni A cura di Maria Giovanna Melis

Un possibile itinerario didattico Relazioni legate a situazioni reali e loro rappresentazione: 1- fra due insiemi diversi: 1a) relazioni di vario tipo: …è sorella di…; …è madre di…; …si nutre di… 2b) corrispondenze univoche e biunivoche: cartella – alunno; tappo – bottiglia; tazza – piattino 2- fra due insiemi uguali (in uno stesso insieme): 2a) relazioni di equivalenza: …ha la stessa forma di…; …è nato nello stesso anno di…; …pratica lo stesso sport di… 2b) relazioni di ordine: …è più alto di…; è maggiore di…; …contiene più di… 3- Proprietà delle relazioni in un insieme: proprietà riflessiva , proprietà simmetrica, transitiva 4- Relazioni inverse 5- Utilizzo delle relazioni nei diversi ambiti disciplinari. 6- Situazioni combinatorie Prodotto cartesiano di due insiemi: - individuazione di tutti i casi possibili di combinazione di oggetti o di attributi (coppie ordinate) - Rappresentazione con frecce, tabelle a doppia entrata, albero. Riferimenti : Bozzolo, Primi elementi di logica, insiemi, relazioni, La scuola, 1993 Filipozzi Maricchiolo, Logica, probabilità, statistica e informatica, Fabbri editori, 1990 Tenuta, Itinerari di logica, probabilità, statistica, informatica, La scuola, 1992 Lanciotti, Marazzani, Logica, Carocci Faber, 2004

Una coppia ordinata è costituita da due elementi, per esempio a e b, uno dei quali viene indicato come primo elemento e l’altro come secondo. Con i simboli: (a,b) Caratteristica delle coppie: (a,b) = (b,a). Essendo ordinate non possono essere la stessa coppia. Coppia ordinata Il concetto di coppia ordinata permette di definire l’insieme prodotto di due insiemi. Dati due insiemi F, P si dice insieme prodotto o prodotto cartesiano di F e P l’insieme che ha per elementi tutte le coppie ordinate in cui il primo elemento appartiene a F e il secondo elemento appartiene a P. L’insieme prodotto si indica con F x P Es: F= 0, 1, 2 ; P = a, b F x P = (0, a), (0, b), (1,a), (1,b), (2,a), (2,b) Il prodotto cartesiano non è commutativo: F x P = P x F Il prodotto cartesiano può avvenire anche con l’insieme per se stesso: F x F torna

F x F Utilizzando le sillabe pe – ra, costruiamo nella tabella l’insieme di tutte le coppie PE RA PEPE PERA RAPE RARA La stessa situazione può essere rappresentata con un grafico a frecce: RA PE

torna Una relazione consiste in: 1- un insieme A 2- un insieme B 3- un’espressione P (x, y) tale che è vera o falsa per ogni coppia ordinata del prodotto cartesiano A x B. Oppure : 2- un’espressione P (x, y) tale che è vera o falsa per ogni coppia ordinata del prodotto cartesiano A x A. La relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A x B o A x A, poiché al loro interno si vanno a cercare le coppie che rispondono a tali relazioni. 1° esempio: A= 1, 2, 3, 4 e B= a, b R = <<il primo elemento della coppia è un numero pari>> R= (2,a) (2,b) (4,a) (4,b) . Su otto possibili coppie del prodotto cartesiano quattro rispondono alla relazione. 2° esempio: A= 1, 2, 3, 4 R = <<x = y>> R= (1,1) (2,2) (3,3) (4,4) . Su sedici possibili coppie del prodotto cartesiano quattro rispondono alla relazione. torna

Corrispondenze univoche o applicazioni Una applicazione è una corrispondenza tra due insiemi che mette in relazione ogni elemento del primo insieme con un solo elemento del secondo insieme. Nella rappresentazione sagittale da ogni elemento del primo insieme parte una sola freccia. Per esempio, la relazione <<…è nato nel mese di…>> tra l’insieme degli alunni di una classe e l’insieme dei mesi dell’anno determina una corrispondenza univoca, in quanto ciascun alunno è nato in un mese e solo in quel mese. A B Luigi A R B R = …è figlio di… Giovanni Martina Luca Alessia Stefano Fabiana Piero Mattia

Corrispondenze biunivoche o biiezioni Una relazione tra A e B si dice corrispondenza biunivoca se essa associa ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B e ogni elemento di B è associato a uno e un solo elemento di A (A e B potrebbero anche coincidere). A R B R = …è lo strumento di lavoro di… A B falegname pennello imbianchino asciugacapelli sarto sega muratore ago parrucchiere cazzuola

Diversi tipi di relazione: Tutte le attività di classificazione richiedono sostanzialmente di mettere in relazione attributi di oggetti in modo da stabilire uguaglianze o differenze. Vai a esempi di attività Diversi tipi di relazione: Relazione fra un insieme e i suoi elementi Relazione tra insiemi Relazione tra gli elementi di due insiemi. Si possono verificare due casi: Alcune proprietà delle relazioni in un insieme Rappresentazione grafica di una relazione I due insiemi sono diversi Altre proprietà I due insiemi sono uguali Torna a itinerario

Se i due insiemi sono uguali, cioè sono lo stesso insieme, si parla di relazioni in un insieme. A= Angelo, Cinzia, Luigi, Aurora, Carla A R A R = …ha il nome che inizia con la stessa lettera di… Angelo Cinzia Luigi Aurora Carla x torna

torna Relazione fra gli elementi di due insiemi diversi A: 2, 3, 4, 5 B: 15, 16, 17, 18, 19, 20 A R B … è divisore di… A R B … è la casa di… cane gallina volpe cavallo nido passero pollaio canile stalla tana A B B A 15 2 16 3 17 4 18 19 5 20 torna

Per semplicità, in ognuno degli esempi che seguono viene considerata una sola proprietà, anche se tale relazione gode di altre proprietà. A = 2, 3, 5, 7, 11, 13 R … è divisore di … A 5 2 11 7 13 3 Viene evidenziata la proprietà riflessiva della relazione, perché ogni elemento è in relazione con se stesso. torna

R … ha lo stesso numero di lati di … B = R … ha lo stesso numero di lati di … B La relazione gode della proprietà simmetrica , perché per tutti gli elementi dell’insieme dato si verifica che: se un elemento a è in relazione con un elemento b, anche b è in relazione con a. torna

C = R … è più lungo di … La relazione gode della proprietà transitiva , perché per tutti gli elementi dell’insieme dato si verifica che: se a è in relazione con b e b è in relazione con c, anche a è in relazione con c. torna

Proprietà antiriflessiva P = Antonio, Bruno, Cristiano, Domenico P è un insieme di persone; sappiamo che: Antonio è il più vecchio di tutti, Domenico è il più giovane e Bruno è nato prima di Cristiano. Rappresentiamo con le frecce la relazione R … è nato dopo di… Bruno P Antonio Cristiano Domenico Nessun elemento è in relazione con se stesso: quando capita questa situazione si dice che la relazione considerata gode della proprietà antiriflessiva torna

U T torna U : poligoni T : triangoli Appartenenza : Il triangolo appartiene all’insieme (è elemento dell’insieme) T dei triangoli. Si scrive: T Non appartenenza: Il pentagono non appartiene all’insieme T dei triangoli Si scrive: T torna

U 3 1 2 8 9 5 4 6 10 7 A torna Relazione tra insiemi: l’inclusione U= numeri naturali fino a 10 A= numeri naturali pari fino a 10 Si scrive: A U Si legge: A è strettamente incluso in U U 3 1 2 8 9 5 4 6 10 7 A Gli elementi dell’insieme A sono tutti anche elementi di U. Si dice che A è strettamente incluso nell’insieme U, cioè che A è un sottoinsieme di U. Per indicare che un insieme non è incluso in un altro si usa il simbolo: torna

Tabella a doppia entrata Rappresentazione cartesiana Consideriamo i due insiemi: A= Parigi, Madrid, Roma, Bruxelles, Vienna = P, M, R, B, V B= Italia, Austria, Francia, Spagna, Belgio = I, A, F, S, B Determinare le coppie che soddisfano la relazione R << … è la capitale di… >> Si può rappresentare graficamente AxB e quindi il sottoinsieme R delle coppie che soddisfano la relazione in vari modi: Diagramma sagittale Tabella a doppia entrata Rappresentazione cartesiana torna

Diagramma sagittale A B I M P A F R B B V S Si uniscono con frecce gli elementi delle coppie appartenenti alla relazione. torna

Rappresentazione cartesiana B S F A I r P M R B V Si reticola il piano secondo due direzioni perpendicolari (rette r e s ) e si evidenziano i punti di incrocio che rappresentano coppie appartenenti a R. (Non è un riferimento cartesiano perché r e s non sono orientate e su di esse non è stata fissata un’unità di misura). torna

Tabella a doppia entrata F S B P M R V B A Si evidenziano con un simbolo le caselle corrispondenti ad un elemento di R. Si usa mettere l’insieme di partenza a sinistra e quello di arrivo in alto. torna

1- relazioni di equivalenza: Le relazioni di equivalenza si ricavano dal prodotto cartesiano AxA. Si tratta di una relazione binaria che gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. Torna a itinerario

R = …ha la stessa forma di… Si può ottenere una partizione dell’insieme A in sottoinsiemi, mediante la relazione. Si formeranno tre sottoinsiemi E, F, G. Ciascun sottoinsieme è detto classe di equivalenza e il loro insieme, che è quindi un insieme di insiemi, è detto insieme quoziente. Si usa indicare tale insieme con Q. E F G Q = A/R = E, F, G

R = …ha lo stesso numero di lati di… U = Poligoni R = …ha lo stesso numero di lati di… Triangoli Esagoni Quadrilateri Tale relazione è di equivalenza e le classi di equivalenza sono: triangoli quadrilateri esagoni L’insieme quoziente è: Q = triangoli quadrilateri esagoni , …

I diagrammi di Hasse 2- relazioni di ordine: Tra le diverse relazioni che legano gli oggetti, i fatti e le situazioni, alcune si configurano come relazioni d’ordine, di queste fanno parte anche le successioni spazio-temporali. La relazione d’ordine si ricava dal prodotto cartesiano AxA. Si tratta di una relazione binaria e può essere di due ordini: - Ordine stretto: è una seriazione che gode della proprietà transitiva, antisimmetrica e non riflessiva. - Ordine largo: è una seriazione che gode della proprietà transitiva, riflessiva e antisimmetrica I diagrammi di Hasse Torna a itinerario

R = << x è divisore di y>> I diagrammi di Hasse (Helmut Hasse 1898 – 1980) servono a rappresentare una relazione d’ordine su un insieme finito. Sono una semplificazione dello schema sagittale della relazione stessa: R = << x è divisore di y>> Osserviamo questa relazione in due insiemi diversi: A = 1, 3, 9, 27 R è di ordine totale Diagramma a frecce 27 9 1 3 Diagramma di Hasse 27 9 3 1

B = 1, 2, 3, 4, 6, 12 R è di ordine parziale Diagramma a frecce Diagramma di Hasse 2 3 1 4 6 12 1 3 2 4 6 12 1-Nei diagrammi di Hasse si sopprimono i cappi che indicano la riflessività 2-Quando una freccia va da x a y e un’altra da y a z, si sopprime la freccia che va da x a z. 3-Le frecce rimanenti sono rimpiazzate da un semplice tratto e gli elementi sono disposti in modo che un elemento precede (nel senso della relazione) tutti gli elementi posti più in alto di quello considerato. Riferimento: Bozzolo, Primi elementi di logica, insiemi, relazioni, La Scuola, 1993 Torna a itinerario

Una relazione è di ordine largo se gode della proprietà transitiva, della proprietà riflessiva e della proprietà antisimmetrica Es. A: 2, 3, 4, 5 R: … è minore o uguale a …(< ) A 2 Si formano le coppie: (2,2), (2,3), (2,4), (2,5) (3,3), (3,4), (3,5) (4,4), (4,5) (5,5) 3 5 4 La relazione è riflessiva: (2,2), (3,3), (4,4), (5,5) La relazione è transitiva: (2,3), (3,4), (2,4) La relazione è antisimmetrica: (2,2)…

A = primi sei numeri naturali R = …è maggiore di… 6 5 4 3 2 1 I cappi risultano assenti: nessun numero è maggiore di se stesso. Non ci sono frecce di andata-ritorno perché la relazione non è simmetrica (se a è maggiore di b, b non è maggiore di a). Vale però la proprietà transitiva. Ogni freccia corrisponde ad una coppia ordinata di numeri; nell’insieme dato, la relazione è soddisfatta dalle coppie: (6,5) (6,4) (6,3) (6,2) (6,1) (5,4) (5,3) (5,2) (5,1) (4,3) (4,2) (4,1) (3,2) (3,1) (2,1) 1 2 3 4 5 6 Tutte le coppie di elementi dell’insieme sono tra loro confrontabili: la relazione si dice di ordine totale se a ogni coppia si fa corrispondere un punto avremo lo schema:

U= 0, 1, 2, 3, 4, 6, 12, 15 R= …è multiplo di… R= …è divisibile per… 1 3 4 6 12 15 2 x 1 3 4 6 12 15 2 x Tutte le caselle della diagonale principale sono contrassegnate (riflessività): (0,0) (1,1) (2,2) (3,3) (4,4), …. Sono contrassegnate le caselle (12,4) e (4,2) e anche la casella (12,2) (proprietà transitiva) Non è contrassegnata né la casella (15,6) né la casella (6,15), perché l’ordine indotto dalla relazione non è totale L’enunciato aperto <<…è divisibile per…>> è equivalente a <<…è multiplo di…>> sulle coppie ordinate di numeri naturali, con il secondo elemento diverso da 0, pertanto definisce la medesima relazione d’ordine

-riflessiva, perché ogni numero naturale è in relazione con se stesso; Nell’insieme dei numeri naturali l’enunciato aperto <<…è multiplo di…>> induce una relazione binaria: -riflessiva, perché ogni numero naturale è in relazione con se stesso; -transitiva, in quanto se a è multiplo di b e b è multiplo di c, allora a è multiplo di c; -antisimmetrica, in quanto se a è multiplo di b e b è multiplo di a, allora a è uguale a b. Si tratta, dunque, di una relazione d’ordine ; tuttavia, l’ordinamento non è totale , poiché vi sono coppie di numeri naturali che non rendono vero l’enunciato aperto. Riferimento: Bozzolo, Costa, Nel mondo dei numeri e delle operazioni, volume 4, Erickson, 2003

R = … è multiplo di… 6 A 7 3 5 8 9 2 4 1 10

Per es., dal 2 parte una freccia che torna su se stessa e una freccia che va ad 1, perché il 2 è multiplo di se stesso e multiplo di 1. Pertanto: - Ogni numero è multiplo di se stesso: quindi nel grafico ogni numero risulta dotato di cappio (riflessività); Nessuna coppia di numeri risulta collegata da frecce di senso opposto perché se a è multiplo di b allora b non può risultare multiplo di a (cioè la relazione non è simmetrica); se a è multiplo di b e b è multiplo di c , a è multiplo di c (transitività). C’è da notare, però, che la relazione <<…è multiplo di…>> non consente di confrontare tra loro tutte le coppie di numeri dell’insieme (ad esempio, tra 2 e 3 non c’è relazione, per cui tale relazione va considerata di ordine parziale

Relazione inversa (o conversa) di una relazione Data una relazione R fra A e B, invertendo tutte le frecce si ha una relazione fra B e A, che si dice inversa di R. Ecco alcuni esempi di predicati che danno luogo a relazioni una inversa dell’altra: <<…è maggiore di…>>, <<…è minore di…>> <<… è figlio di…>>, <<…è genitore di…>> <<…è multiplo di…>>, <<…è divisore di…>> <<…è la capitale di…>>, <<…ha per capitale…>> E’ da notare come, quasi sempre, se una relazione è espressa in forma attiva la sua inversa è in forma passiva e viceversa.

E adesso si gioca…. Torna a itinerario

Avere almeno un fratello Non avere fratelli Avere almeno una sorella Al parco si incontrano dei bambini. Gabriele, Luigi, Mario e Eleonora incontrano per prima Sonia, la sorella di Luigi e Mario. Più avanti, incontrano Matteo, il fratello di Eleonora, che gioca a rincorrersi con Sandra, la sorella di Sonia. Traccia le frecce che vogliono dire: “…è il fratello di…” Mario Gabriele Luigi Eleonora Sandra Aiutino? Sonia Matteo Avere almeno un fratello Non avere fratelli Avere almeno una sorella Non avere sorelle

Avere almeno un fratello Non avere fratelli Avere almeno una sorella Mario Gabriele Luigi Eleonora Sandra Sonia Matteo Avere almeno un fratello Non avere fratelli Avere almeno una sorella Luigi, Mario, Sonia, Sandra Matteo Non avere sorelle Eleonora Gabriele torna

a è una femmina che ha come fratello b In un insieme di maschi e femmine, le frecce indicano la relazione: <<…ha come fratello>> a b c d e c non ha fratelli; a è una femmina che ha come fratello b d e e sono due maschi

I valori di a, b e c dovranno soddisfare la relazione La freccia indica la relazione << … è minore di …>> Che numeri potrebbero rappresentare le lettere a, b e c? a c b I valori di a, b e c dovranno soddisfare la relazione c < b < a

Traccia delle frecce da ogni quadrato verso tutti quelli più piccoli

Ecco un insieme di parole. Traccia tutte le frecce che significano: “termina con la stessa sillaba di..” colazione pala ricreazione mela scuola lago pergola azione

pala la pa go sto ma co Unisci le sillabe per formare delle parole. Le frecce che collegano le sillabe di una stessa parola devono essere dello stesso colore. la pa go sto ma co Puoi scrivere nel quaderno le parole che hai trovato pala

Questa è una famiglia composta da papà, mamma e un figlio che si chiama Rinaldo. Che cosa può dire Rinaldo alla mamma e al papà con la stessa freccia rossa? Che cosa dice il papà a Rinaldo, con la freccia gialla? Che cosa dice la mamma a Rinaldo, con la freccia verde?

Non tutti dicono la verità Questi tre animali si parlano con la freccia rossa che vuol dire: “Io sono più alto di te”. Dicono tutti la verità oppure c’è qualcuno che dice una bugia? Guarda le zampe di questi animali; sapresti far parlare gli animali con una freccia verde che dice: “Io ho lo stesso numero di zampe che hai tu”? Tutti dicono la verità Non tutti dicono la verità

1° 2° 3° 4° 5° 1 fine Marco Luigi Piero Mario Matteo Sta davanti Marco Luigi Piero Mario Matteo 1 1° 2° 3° 4° 5° Ogni volta che un ragazzo, nella fila, sta davanti ad un altro, si scrive 1 nella casella che rappresenta la coppia formata da questi due ragazzi; altrimenti si scrive 0. Usa le indicazioni della tabella per scrivere il nome di ogni ragazzo nella tabella di arrivo. fine