Periodo storico-culturale della diffusione della civiltà greca Vocabolo usato per la prima volta nel XIX secolo da Droysen Un’era di progresso e di miglioramento

Droysen Storico tedesco dell’ottocento Inventa il termine ellenismo per indicare il periodo che va dalla morte di Alessandro Magno alla conquista romana dell’Egitto L’Ellenismo è una visione storica intesa come diffusione della civiltà greca oltre la Grecia, soprattutto nelle aree orientali

Storia dell’ellenismo Inizio convenzionale  323/322 a.C. anno della morte di Alessandro Magno Fine convenzionale  31 a.C. battaglia di Azio, l’Egitto viene conquistato dall’Impero Romano Lotta fra i successori di Alessandro Magno 281 a.C. L’Impero di Alessandro è suddiviso in 3 regni ellenistici

Regni ellenistici e rispettive dinastie periodo di massimo sviluppo della civiltà ellenistica Dinastia tolemaica in Egitto Dinastia seleucide in Siria, Mesopotamia, Persia Dinastia antigonide in Macedonia e Grecia Dinastia attalide a Pergamo

Regni ellenistici

Caratteristiche dell’ellenismo Scomparsa della πόλις Diffusione della κοινὴ διάλεκτος Nascita di nuovi centri culturali Sviluppo di diversi rami della cultura  Età aurea

Scomparsa della πόλις (III-II sec. a.C.) Nascita della monarchia come forma di governo Nascita di nuove forme di organizzazione culturale (accademie e scuole) Nascita di una visione cosmopolita del mondo e della cultura (contatto con gli influssi orientali) Nascita di nuovi generi letterari (mimo) e poetici

κοινὴ διάλεκτος Lingua comune basata sul dialetto attico del IV-V secolo In uso per tutta l’età ellenistica e romana Inizialmente parlata all’interno dell’esercito di Alessandro Magno, il suo sviluppo fu favorito dalla diffusione della cultura greca in una vasta area Strumento di comunicazione internazionale per i contatti con la civiltà occidentale

Età aurea novità nel campo scientifico Scoperte e invenzioni Archimede Erone Matematica e geometria Euclide Apollonio

Scoperte ed invenzioni Archimede: le leve gli spettri ustori manus ferrea principio di Archimede vite di Archimede odometro Erone: utilizzò per primo l’energia meccanica del vapore

Archimede di Siracusa dimostrazioni Rapporto fra diametro e circonferenza uguale a quello tra l’area e il quadrato del raggio L’area compresa tra una parabola e una retta è uguale ai 4/3 di quella di un triangolo Rapporto fra superficie e volume di una sfera uguale a quello fra area e volume di un cilindro retto circoscritto alla sfera

Apollonio di Perga Studiò le coniche (parabola, ellisse ed iperbole) Studiò le orbite eccentriche (deferenti ed epicicli)

Erone di Alessandria Elaborò la formula che afferma che l’area di un triangolo, i cui lati abbiano lunghezza a,b,c, è data da: dove p è semiperimetro

Centri culturali dell’ellenismo Centri preesistenti: Atene

Nuovi centri: Pergamo Rovine

Nuovi centri: Rodi Rovine dell’acropoli

Nuovi centri: Alessandria La biblioteca

Fondazione nel 332 a.C. su ordine di Alessandro Magno Alla morte di Alessandro la biblioteca venne amministrata dai Tolomei

Storia Per suggerimento di Aristotele, fu costruita una biblioteca chiamata “Bruchium” - Il “Bruchium” divenne la maggiore biblioteca d’Egitto e sede del sapere universale

Sotto la guida di Tolomeo I, la biblioteca venne rifornita di tutte le opere più rilevanti e importanti Tolomeo fece anche erigere un faro presso il porto di Alessandria, affinchè le navi non si urtassero

L’esempio del padre fu seguito dal figlio Tolomeo II, che si dedicò all’ arricchimento della biblioteca Sotto il suo governo, Alessandria diventò una fiorente città cosmopolita: la più grande del mondo antico prima del primato romano

La biblioteca di Alessandria fu la culla della cultura metodologica, dell’astronomia, della cartografia geografica e della medicina

- I personaggi più importanti, che frequentarono la Biblioteca di Alessandria, furono: Euclide - Aristarco di Samo

- Eratostene Aristofane di Bisanzio

Fine della biblioteca - La distruzione della biblioteca fu probabilmente causata da un incendio appiccato da alcuni fanatici cristiani, guidati da Teofilo - Legata a questo episodio, compare la figura di Hypatia, importante filosofa, che venne uccisa da un gruppo di fanatici - La sua morte fu premeditata da monaci cristiani per liberarsi di tutte le conoscenze legate alla biblioteca

Ricostruzione La ricostruzione della biblioteca iniziò nel 1995, sponsorizzata dalla UNESCO La nuova biblioteca è stata collocata nello stesso posto della precedente E’ stata rappresentata come un grande sole, che emerge dalle acque

La biblioteca oggi contiene tutti i testi del Sapere su undici piani: 4 scavati nel sottosuolo; 7 che convergono verso il cielo Per una superficie di 45 000 mq

Uno dei maggiori esponenti matematici nell’età aurea Vissuto ad Alessandria d’Egitto, al tempo di Tolomeo I, intorno al 300 a.C.

Scarse informazioni sulla vita di Euclide Le notizie su di lui ci pervengono da Proclo, storiografo del V secolo d.C.

Euclide passò probabilmente gran parte della sua vita a dirigere la Biblioteca di Alessandria Fondò qui un’illustre scuola

Due aneddoti riferiteci da Proclo “In geometria non esistono vie regie” “Dagli una moneta, perché vuol lucrare della conoscenza”

Non inventò nuovi teoremi, ma riordinò in modo rigorosamente deduttivo circa due secoli di scoperte matematiche Elementi

Struttura degli Elementi 13 libri + 2 libri (appartenenti probabilmente a Ipsicle e Isidoro di Mileto)

Suddivisione 1-6: geometria piana elementare 7-9: teoria dei numeri interi e razionali 10: numeri incommensurabili e irrazionali 11-13: geometria dello spazio

Primo libro Principi 23 definizioni 5 postulati 5 nozioni comuni (assiomi) Principi 48 proposizioni

Edizioni degli Elementi Cassiodoro affermò che Euclide fu tradotto in latino da Boezio attorno al 500 d.C.  edizione andata perduta

1482: A Venezia, prima edizione a stampa

1505: Traduzione completa dal greco di Bartolomeo Zamberti 1533: “Editio Princeps” di Basilea 1543: Tartaglia ne dà una versione in italiano 1703: Grande edizione di Oxford di D. Grey

1814-1818: Esce in 3 volumi con traduzione latina e francese 1826-1829: Edizione del testo greco di E.F. August 1833-1888: Edizione completa delle opere di Euclide ad opera di Heiberg e Menge

Opere giunte fino a noi: Opere minori Opere giunte fino a noi: i “Dati” i “Fenomeni” l’ “Ottica” “Delle Divisioni”

Opere andate perdute: i “Porismi” “Paralogismi” trattato sulle coniche scritto sui “Luoghi Superficiali”

Come sono formulati gli elementi? POSTULATI: dal latino “postulare”= richiedere. E’ richiesta l’accettazione della verità di un enunciato. NOZIONI COMUNI: affermazioni non dimostrate in quanto la loro verità risulta evidente (comune). DEFINIZIONI o TERMINI: frasi che presentano le caratteristiche di un elemento e che si dovrebbero fondare su concetti già conosciuti. PROPOSIZIONI o TEOREMI: enunciati la cui verità è dimostrata a partire da affermazioni precedenti, per mezzo di deduzioni logiche.

Ὅ ρ ο ι ( d e f i n i z i o n i ) Ma sono davvero definizioni? ά́. Σημεῒόν ἐστιν̦ οὗ μέρος οὐϑέν. 1. Un punto è ciò di cui non c'è parte. Un punto è ciò che non ha dimensione. β́. Γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές. 2. Una linea è una lunghezza senza larghezza. Una linea ha solo la lunghezza. Ha dunque una sola dimensione. Ma sono davvero definizioni? N.B. una definizione è efficace se si basa su concetti ed elementi già conosciuti

Una linea è sempre finita γ́́́. Γραμμῆς δὲ πέρατα σημεῖα. 3. Le estremità di una linea sono punti. Una linea è sempre finita Infinito potenziale retta per Euclide: segmento prolungabile Infinito attuale: Retta per noi

δ́. Εὐϑεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐϕ̉ ἑαυτῆς σημείοις κεῖται. 4. Una linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai punti su di essa stessa

Si ripete lo schema dei punti 2, 3, 4 έ́. Ἐπιϕάνεια δέ ἐστιν, ὃ μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχει. 5. La superficie è ciò che ha solo lunghezza e larghezza. La superficie ha dunque due dimensioni vedi punto 2 Si ripete lo schema dei punti 2, 3, 4 ς́́. Ἐπιϕανείας δὲ πέρατα γραμμαί. Gli estremi della superficie sono linee. vedi punto 3 ζ́. Ἐπίπεδος ἐπιϕάνειά ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου ταῖς ἐϕ́ ἑαυτῆς εὐϑείαις κεῖται. È una superficie piana quella che giace ugualmente rispetto alle rette su di essa stessa. vedi punto 4

GEOMETRIA DI EUCLIDE GEOMETRIA DI OGGI Queste prime definizioni sono tuttavia deboli, infatti non si basano su enti conosciuti in precedenza. La geometria che si studia oggi preferisce prendere il PUNTO, la LINEA e il PIANO come ENTI PRIMITIVI da accettare: in questo modo le definizioni collegate ai 3 concetti risultano più accettabili GEOMETRIA DI EUCLIDE GEOMETRIA DI OGGI 1. Il punto è ciò che non ha parti (??) PUNTO= ente primitivo 2. La linea è ciò che ha solo lunghezza (??) LINEA= ente primitivo 3. La superficie è ciò che ha solo lunghezza e larghezza (??) PIANO= ente primitivo

ί́. Ὅταν δὲ εὐϑεῖα ἐπ̉ εὐϑείαν σταϑεῖσα τὰς ἐϕεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρϑὴ ἑκατέρα τῶν γωνιῶν ἐστι, καὶ ἡ ἐϕεστηκυῖα εὐϑεῖα κάϑετος καλεῖται ἐϕ̉ ἣν ἐϕεστηκεν. 10. Qualora una linea retta innalzata su una linea retta produca angoli adiacenti uguali uno all'altro ciascuno degli angoli uguali è retto, e la retta che si innalza è detta perpendicolare rispetto a quella su cui s'innalza.

ιέ́. Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον [ἣ καλεῖται περιϕέρεια], πρὸς ἣν ἀϕ̉ ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐϑεῖαι [πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιϕέρειαν] ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. 15. Il cerchio è una figura piana compresa da una sola linea [che si chiama circonferenza]*, rispetto alla quale sono uguali tra loro tutte le linee rette che cadono [sulla circonferenza del cerchio]* da un solo punto tra quelli che giacciono nel cerchio.

ιϑ́. Σχήματα εὐϑύγραμμά ἐστι τὰ ὑπὸ εὐϑειῶν περιεχόμενα, τρίπλευρα μὲν τὰ ὑπὸ τριῶν, τετράπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ τεσσάρων, πολύπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ πλειόνων ἢ τεσσάρων εὐϑειῶν περιεχόμενα. 19. Le figure rettilinee sono quelle contenute da linee rette, i trilateri (triangoli) contenuti da tre linee rette, i quadrilateri da quattro, e i polilateri (poligoni) da più di quattro.

Triangoli (def. 20 e 21) due classificazioni Per numero lati congruenti A Triangoli (def. 20 e 21) due classificazioni Per gli angoli B Equilatero (3 lati congruenti) (ἰσόπλευρoν) Isoscele (2 lati congruenti) (ἰσοσκελές) A triangoli Scaleno ( 3 lati diversi) (σκαληνόν)

B triangoli Rettangoli (1 angolo retto) (ὀρϑογώνιον) Ottusangoli (1 angolo ottuso) (ἀμβλυγώνιον) Acutangolo (3 angoli acuti) (ὀξυγώνιον)

κβ́. Τῶν δὲ τετραπλεύρων σχημάτων τετράγωνον μέν ἐστιν, ὃ ἰσόπλευρόν τέἐστικαὶ ὀρϑογώνιον, ἑτερόμηκες δέ, ὃ ὀρϑογώνιον μέν, οὐκ ἰσόπλευρόν δέ, ῥόμβος δέ, ὃ ἰσόπλευρόν μέν, οὐκ ὀρϑογώνιον δέ, ῥομβοειδὲς δὲ τὸ τὰς ἀπεναντίον πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ἔχον, ὃ οὔτε ἰσόπλευρόν ἐστιν οὔτε ὀρϑογώνιον· τὰ δὲ παρὰ ταῦτα τετράπλευρα τραπέζια καλείσϑω. 22. Tra le figure quadrilatere è un quadrato quello che è equilatero e rettangolo, un rettangolo quello che è rettangolo ma non equilatero, un rombo quello che è equilatero ma non rettangolo, un romboide quello che ha lati e angoli opposti uguali, e che non è né equilatero né rettangolo; tutti quelli oltre a questi siano chiamati trapezi.

PER EUCLIDE QUADRATO: lati congruenti e angoli retti RETTANGOLO: angoli retti ma non lati congruenti ROMBO: lati congruenti ma non angoli retti ROMBOIDE: lati e angoli opposti congruenti ma non equilatero rettangolo TRAPEZIO: quadrilatero generico

PER NOI

κγ́. Παράλληλοί εἰσιν εὐϑεῖαι, αἵτινες ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι καὶ ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον ἐϕ̉ ἑκάτερα τὰ μέρη, ἐπὶ μηδέτερα συμπίπτουσιν ἀλλήλαις. 23. Le linee rette parallele sono quelle che stanno sullo stesso piano e se prolungate all'infinito da entrambe le parti, non si incontrano tra loro da nessuna parte.

Κ ο ι ν α ὶ ἔ ν ν ο ι α ι ( n o z i o n i c o m u n i ) ά́. Τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα. 1. Le cose uguali ad una medesima cosa sono anche uguali tra loro. Se A=B e C=B allora A=C. β́. Καὶ ἐὰν ἴσοις ἴσα προστεϑῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἴσα. E qualora cose uguali siano aggiunte a cose uguali, le somme sono uguali. Dati A+B=C e A'+B'=C', se A=A' e B=B' allora C=C'. γ́. Καὶ ἐὰν ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀϕαιρεϑῇ, τὰ καταλειπόμενά ἐστιν ἴσα. 3. E qualora cose uguali siano sottratte a cose uguali, i resti sono uguali. Dati A−B=C e A'−B'=C', se A=A' e B=B' allora C=C'. δ́. Καὶ τὰ ἐϕαρμόζοντα ἐπ̉ ἀλλήλα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν. E cose che coincidono tra loro sono uguali una all'altra. έ́. Kαὶ τὸ ὅλον τοῦ μέρους μεῖζόν [ἐστιν]. 5. E il tutto è più grande della parte.

Α ἰ τ ή μ α τ α ( p o s t u l a t i ) ά́. Ἠιτήσϑω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐϑεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν. 1. Risulti postulato che si possa condurre una linea retta da un punto a qualsiasi altro punto. β́. Καὶ πεπερασμένην εὐϑεῖαν κατὰ τὸ συνεχὲς ἐπ̉ εὐϑείας ἐκβαλεῖν. 2. E che una linea retta limitata possa essere prolungata continuamente in una linea retta. γ́. Καὶ παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον γράϕεσϑαι. 3. E che si possa con qualsiasi centro e raggio descrivere un cerchio. δ́. Καὶ πάσας τὰς ὀρϑὰς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἴναι. 4. E che tutti gli angoli retti siano uguali tra loro.

έ́. Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐϑείας εὐϑεῖαἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρϑῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐϑείας ἐπ̉ ἄπειρον συμπίπτειν, ἐϕ̉ ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρϑῶν ἐλάσσονες. E che qualora una linea retta cadendo su due linee rette formi gli angoli interni e dalla medesima parte minori di due angoli retti le due rette estese all'infinito vengano a incontrarsi da quella parte dove ci sono gli angoli minori di due angoli retti. Ovvero: quando una retta che cade su due rette forma gli angoli coniugati interni la cui somma sia inferiore a un angolo piatto, le due rette prolungate continuamente si incontrano dalla parte dei due angoli coniugati.

Teorema di Pitagora

Dal V postulato alle geometrie non euclidee Geometria euclidea geometria iperbolica (Lobacevskij) geometria ellittica (Riemann) curvatura del piano nulla negativa positiva numero di rette parallele a una retta data e passanti per un punto esterno ad essa 1 almeno 2 somma degli angoli interni di un triangolo 180° <180° >180°