Calcolo delle probabilità Progetto lauree scientifiche Università dell’Insubria Facoltà di Matematica Como Natalina Drappo Paola Bertoncello

Introduzione alla probabilità definizioni Probabilità discreta Analisi degli esiti di esperimenti aleatori in cui l’insieme dei valori assumibili dai risultati sia finito o numerabile Evento elementare Esito di un esperimento aleatorio Variabile aleatoria testa testa TT Grandezza i cui valori siano i possibili esiti di un esperimento Spazio campionario Insieme degli eventi elementari {TT, TC, CT, CC } Evento Risultato del lancio Mano di poker di due monete Sottoinsieme dello spazio campionario {TT, TC, CT}

Probabilità classica di un evento E E = esce almeno una testa IEI = 3 Casi favorevoli _____________ P(E)= Casi possibili Ω = spazio campionario del lancio di due I Ω I = 4 Proprietà P(E) = ¾ monete 0≤P(E) ≤1 Ec= non esce alcuna testa P(Ec)=1-P(E) IEcI = 1 P(Ec) = 1/4 E כֿ F → P(E) > P(F) Ω F= esce una testa = {TC, CT} E F TC CC TT CT IFI=2 P(F)=1/2

Strumenti matematici per lo studio della probabilità Disposizione semplice Selezione ordinata di k elementi di un insieme finito di dimensione n Elenco degli studenti seduti nella prima fila Primi tre classificati di una gara Problema: quante disposizioni si presentano nell’estrazione di due palline da un sacchetto che ne contiene 4 diverse? Soluzione: 4 possibilità per la prima pallina per ogni scelta della prima ci sono 3 possibilità per la seconda per ogni scelta delle precedenti ci sono 2 possibilità per la terza Numero di disposizioni semplici: 4 ·3 · 2 = 24

Altri esempi e relative soluzioni: Il numero di modi in cui disporre 4 alunni in prima fila in una classe di 25 studenti è 25 · 24 · 23 · 22 = 303600 le possibili disposizioni dei numeri della prima cinquina della tombola sono 90 · 89 · 88 ·87 · 86 > 5 1010 Regola: Il numero di k-disposizioni semplici di n elementi è n · (n-1) ·… · (n-k+1) Usando il fattoriale di n, definito come n!=n · (n-1) · (n-2) · ….. · 1 ottengo: n! _____ D k,n = (n-k)!

Disposizione con ripetizione Elenco di k elementi ordinati di un insieme di dimensione n per cui è prevista la ripetizione Pin del telefono Lancio di tre dadi Problema: quanti prefissi telefonici si possono scrivere con tre cifre? Soluzione: 9 possibilità per la prima cifra Per ogni scelta della prima cifra ho 9 possibilità per la seconda Per ogni scelta delle prime due cifre ho 9 possibilità per la terza Disposizioni con ripetizione: 9 · 9 · 9 = 93

Altri esempi e relative soluzioni: Il numero di colonne possibili del totocalcio è 313 = 1594323 il numero di password di 8 cifre che si possono scrivere con cifre alfanumeriche maiuscole e minuscole senza caratteri speciali è (10+26x2)8 Regola: Il numero di k-disposizioni con ripetizione di n elementi è D k,n = nk … nota il numero di targhe che si può ottenere con 4 numeri e 2 cifre finali è 104 · 262 = 6760000

Permutazione (semplice) Possibile ordinamento di un insieme finito di elementi È una n-disposizione semplice di n elementi Ordine di arrivo ad una gara Posizione dei libri in una libreria Problema: in quanti modi posso distribuire i 25 studenti di una classe? Soluzione: partendo dal primo banco, per il quale ho 25 possibilità, ad ogni scelta successiva ho uno studente in meno a disposizione, per cui ho 25 · 24 · 23 · …..2 · 1 = 25! Regola Le permutazioni di n elementi sono Pn = n!

Combinazioni Raggruppamenti di k elementi di un insieme di dimensione n = possibili sottoinsiemi Studenti interrogati Estrazioni del lotto Problema: quante scelte ha un professore se interroga 4 persone in una classe di 25? Soluzione: Il numero di 4-disposizioni di 25 elementi è 25!/21! Le disposizioni con gli stessi elementi in cui cambia solo l’ordine corrispondono alla stessa composizione Il loro numero corrisponde al numero di permutazioni: sono 4! Le combinazioni sono 25! ____ 21!4!

( ) Altri esempi e relative soluzioni: 90! 84!6! ______ Regola: Il numero di combinazioni vincenti del SuperEnalotto è 90! 84!6! ______ Regola: Il numero di sottoinsiemi di k elementi di un insieme di dimensione n è n! ______ C k,n = (n-k)!k! Definisco coefficiente binomiale il valore n! n k ______ ( ) = (n-k)!k!

Probabilità composta definizioni Dico due variabili o due eventi indipendenti se il verificarsi del primo non influenza il verificarsi del secondo. A, B eventi indipendenti  P(A B) = P(A) · P(B) ∩ A ={TT, TC} B = {TC, CC} CC X, Y variabili indipendenti TT TC CT  I Ωx J Ωy si ha A ∩ A ∩ P(I J) = P(I) · P(J) ∩ Ossia se tutti i possibili eventi della prima sono indipendenti dai possibili eventi della seconda X = esito lancio del primo dado Y = esito lancio del secondo dado

P(E F) = P(E) + P(F) - P(E∩F) ∩ Regole Dati due eventi E e F CCT P(E F) = P(E) + P(F) - P(E∩F) ∩ TCC E CTT TTC TTT E = esattamente due teste TCT F F = la prima è testa Ω CTC CCC con E ∩ F = Φ ho TTT TCC TTC P(E F) = P(E) + P(F) ∩ F E CTC TCT E = esattamente due teste CCT Ω CTT CCC F = esattamente una testa Nota: nel caso di tre eventi P(E F G) = P(E) + P(F) + P(G) - P(E∩F) - P(E∩G) - P(F∩G) + ∩ ∩ + P(E∩F∩G)

Si consideri un evento costituito da eventi elementari che siano fasi successive di un esperimento Diagramma ad albero struttura di oggetti (foglie) e collegamenti (rami) orientati Ogni foglia può discendere da un solo predecessore (padre) Ad ogni foglia possono seguire diversi oggetti (figli) Lancio di tre dadi T C I possibili esiti si trovano percorrendo tutti i rami dalla radice alla cima V V T C T C V V V V T C T C T C T C

½ ½ ½ ½ Principio di moltiplicazione Sia E l’evento che si ottiene percorrendo un ramo dell’albero dalla radice alla cima ed ei gli eventi elementari corrispondenti alle foglie del percorso di E P(E) = p P(ei) Probabilità di un codice alfanumerico del tipo aabc con a:±1 b:cifra c:lettera 1 -1 ½ ½ 1 -1 -1 1 … 1 2 3 9 1/10 P(-1,1,9,y)= ½ · ½ · 1/10 · 1/26 1 __ a b … w y z 1/26 = 1040

Probabilità condizionata e inversa P(F|E) = Probabilità che l’evento F si realizzi nell’ipotesi che l’evento E si sia già realizzato E = il primo esito è testa F = due esiti su tre sono testa P(F)=3/8 P(F|E)=2/4 CCT F TCC TCC CTT TTC TTC F TTT TCT TCT TTT Ω E CTC E = Ω CCC

Regola _______ P(F∩E) P(F|E)= P(E) Riferendosi all’esercizio precedente P(F∩E)=2 P(E)= 4 P(F|E)= 2/4 Nota: F è indipendente da E se (def.) P(F|E) = P(F) e se sostituisco trovo P(E) · P(F) = P(E∩F)

½ ½ ½ ½ Problema della probabilità inversa Problema: L’urna I contiene 3 palline rosse e 2 blu, l’urna II contiene 1 pallina rossa e 1 blu. Pesco ad occhi chiusi una pallina rossa: Quale è la probabilità che provenga dall’urna 1? Soluzione Uso il diagramma ad albero: r 3/10 3/5 I P(b)=9/20 ½ b 1/5 2/5 r ½ 1/4 P(r)=11/20 II ½ b 1/4 ½ P(e1) P(e2) P(Ei) i=1…4 Evento elem. Costruisco il diagramma inverso:

I P(I|b) = 4/9 b II P(II|b) = 5/9 I P(I|r) = 6/11 r II P(II|r) = 5/11 x = 4/9 I P(I|b) = 4/9 1/5 9/20 b II 1/4 P(II|b) = 5/9 5/9 6/11 I P(I|r) = 6/11 3/10 r 11/20 II 5/11 1/4 P(II|r) = 5/11 Come trovare x : la probabilità dei rami equivalenti dei due alberi è uguale, quindi: 9/20 · x = P(E2) = 1/5 P(b) P(b∩I) P(I|b) Il problema corrisponde alla ricerca della probabilità dell’urna I condizionata all’aver pescato b

Formula di Bayes Problema: Si consideri un esperimento in due fasi e si voglia calcolare la probabilità di un evento elementare Hi al primo stadio nota la probabilità dell’evento E al secondo stadio Regola P(E|Hi) · P(Hi) P(E|Hi) · P(Hi) ________________ P(Hi|E) = __________ = Σ P(E|Hk) · P(Hk) P(E)

Probabilità discreta e continua * * definizioni Dato uno spazio campionario discreto Ω def. probabilità su Ω una qualsiasi funzione P : Ω [0,1] che soddisfi 1) P(Ω) = 1 2) P( Ak) = P(Ak) * Finito o numerabile

definizione equivalente alla probabilità classica: Ω finito o numerabile con Ω = { wi } IΩI = dimensione (o la cardinalità) di Ω ___ IEI P(E) = A כּ E Ω IΩI definizione equivalente alla probabilità classica: Sia m(x) una funzione m : Ω [0,1] con m(x) =1 detta funzione di distribuzione di Ω Sia E un sottoinsieme di Ω definisco P(E) := m(x) P : Ω [0,1] con P(Ω) = 1

Le proprietà sono quelle già viste . le trasmettiamo dagli insiemi agli elementi per il caso numerabile le somme diventano serie studio della convergenza (esistenza di una somma finita)

Caso continuo X = lunghezza della corda di una circonferenza unitaria Ω = ( 0,2] Si voglia P(E) con E = ( ,2] Scelgo un sistema di coordinate per il punto medio: rettangolari del con origine nel centro della circonferenza M: (x,y) (x,y) [-1,1] x [-1,1] con x2 +y2 ≤ 1 L’Hp corrisponde a X ≥ lato del triangolo equilatero . M è interno alla circonferenza di raggio ½

Paradosso di Bertrand: Nota: Se ho uno spazio campionario sottoinsieme di IR2 e ipotizzo che tutti i suoi punti siano equiprobabili posso associare ad una superficie una probabilità equivalente alla sua area π(½)2 P(E) = =1/4 ______ π(1)2 Paradosso di Bertrand: 1/4 1/2 1/3 M:(x;y) P(E) = M:(ρ;θ) A:(1;α) B:(1;β) Nota: Area e integrale

definizione F(x) funzione di distribuzione cumulativa di X se Proprietà è monotona non decrescente è continua da destra:

P(a ≤ x ≤ b) = P(X E) = definizione f(x) funzione di densità di X se f: IR IR e vale + P(a ≤ x ≤ b) = IR Proprietà Scelta la variabile X non è detto che esista f(x) P(X E) = purché l’integrale esista f(x) non è una probabilità.

Sia X una variabile aleatoria con funzione di densità f(x) Teorema Sia X una variabile aleatoria con funzione di densità f(x) Rappresenta la funzione di distribuzione cumulativa di X, e si ha Da ciò potremmo introdurre un diversa definizione di funzione densità: + f: IR IR t.c.

Esempi significativi di distribuzioni e densità Distribuzione uniforme discreta Sia X una variabile aleatoria con spazio campionario Ω di dimensione n La distribuzione è rappresentata dalla funzione m(x) = 1/n = costante Attenzione! Sia Ω numerabile e m(x) = costante diverge Distribuzione uniforme continua

Funzione di densità gaussiana ______ 1 fx =

FINE