poligoni equivalenti Proprietà riflessiva A=A Proprietà simmetrica Se A=B allora B=A Proprietà transitiva Se A=C e B=C allora A=B A C B

Quali tra questi poligoni sono equivalenti? Impossibile saperlo se prima non si sceglie una unità di misura omogenea alla superficie piana, ad esempio: B C A C = . D Si dice area di una superficie piana quel numero che indica quante volte l’unità di misura, o un suo sottomultiplo, è contenuta nella superficie stessa.

area rettangolo D C A B Formula diretta Formule inverse Il rettangolo può essere scomposto in 15 quadratini che si ottengono riportando sulla base e sull’altezza l’unità di misura (il cm) e conducendo le parallele ai lati. A B AB = 5cm BC = 3cm Formula diretta Formule inverse

area quadrato D C A B Formula diretta Formula inversa Sappiamo che il quadrato è un particolare rettangolo con le dimensioni congruenti, quindi se consideriamo il quadrato ABCD, che ha il lati l di 3 cm, la sua area sarà: A B AB = 3cm Formula diretta Formula inversa

il geopiano lati area perimetro funzione 16x1 16 34 Ramo di iperbole Fra tutti i rettangoli il quadrato è quello che ha perimetro minore Usiamo come unità di misura un quadratino che ha come vertici 4 chiodi Con degli elastici colorati proviamo a formare dei rettangoli equivalenti di area 16 lati area perimetro funzione 16x1 16 34 Ramo di iperbole 8x2 20 4x4 2x8 1x16

il geopiano FUNZIONE: retta QUADRATO Costruiamo con un elastico un rettangolo di base 1 e altezza 15 Ce ne sono altri isoperimetrici? FUNZIONE: retta Qual è la figura con area maggiore? QUADRATO

area parallelogrammo D C A H B E Bisogna trovare un metodo per verificare l’equivalenza tra il poligono considerato e uno di cui si sa già calcolare l’area. Sappiamo l’area del rettangolo? Sì: A=b·h Riesco a trasformare il mio parallelogrammo in un rettangolo? Considero il triangolo AHD. Questo triangolo può essere traslato lungo la base in modo da far coincidere il lato AD con il lato BC.

area parallelogrammo D C A H B E I due triangoli AHD e BEC sono congruenti. Il rettangolo HECD risulta equicomposto rispetto al parallelogrammo ABCD e quindi ad esso equivalente. Formula diretta Formule inverse

area triangolo L C D A H B Anche per trovare l’area del triangolo occorre cercare un metodo per verificare la sua equivalenza con un poligono conosciuto di cui si sa già trovare l’area. Possiamo utilizzare una rotazione di 180° con centro nel punto medio di un suo lato (CB in questo caso). Otteniamo un parallelogrammo che ha la stessa base (AB = CD) e la stessa altezza (CH = BL) del triangolo dato. I due triangoli ABC e BDC sono congruenti.

area triangolo C L D un triangolo è equivalente alla metà di un parallelogramma avente la stessa base e la stessa altezza. A H B Formula diretta Formule inverse

area triangolo D C B A Con la rotazione del triangolo rettangolo si ottiene un rettangolo la cui area si trova moltiplicando AB · AC (ovvero i due cateti).

area rombo H C G D B E A F Il rombo ABCD è un quadrilatero di 4 lati uguali. Una delle sue proprietà è quella di avere le diagonali perpendicolari tra loro (DB diagonale maggiore; CA diagonale minore). Esse dividono il rombo in 4 triangoli rettangoli uguali. Possiamo traslare ogni triangolo ottenendo il rettangolo EFGH. Questo rettangolo ha per altezza la diagonale minore CA = GF e per base la diagonale maggiore DB =EF, e l’area di questo rettangolo è doppia di quella del rombo.

area rombo C Un rombo è equivalente alla metà di un rettangolo che ha per base e per altezza rispettivamente le sue due diagonali (DB e CA). D B A Formula diretta Formule inverse

area trapezio D C A E H B Formula diretta Formule inverse