I Vettori • Caratteristiche Operazioni Prof. A. Sala Uscita

Caratteristiche dei vettori • Teoria • Esercizio guidato • Esercizi Prof. A. Sala

caratteristiche del vettore che rappresenta: Un vettore viene rappresentato mediante un segmento orientato come quello disegnato qui sotto testa o punta A coda Tale segmento non può essere disegnato a caso ma deve rispettare le quattro caratteristiche del vettore che rappresenta: la coda del vettore viene fatta coincidere con il punto di applicazione; la lunghezza del segmento rappresenta, in scala, il modulo del vettore; l’inclinazione del segmento rappresenta la direzione; la freccia del segmento rappresenta il verso.

Questo è il vettore A rappresentato nella precedente diapositiva La direzione ed il verso vengono definite contemporaneamente utilizzando un angolo, come nel disegno sottostante: A a Nota bene: – la linea rossa tratteggiata deve • essere orizzontale • iniziare dalla coda del vettore • essere diretta verso destra – l’angolo è antiorario

Esercizio guidato Rappresentare i seguenti vettori: A A= 120 N angolo 90° B B = 120 N angolo 180° C C = 120 N angolo 0° D D = 120 N angolo 270° Fissiamo per prima cosa un’opportuna scala di rappresentazione, in funzione delle dimensioni del foglio su cui dobbiamo disegnare i quattro vettori; evitiamo di utilizzare il quadretto come unità di scala poiché risulta difficile misurare in quadretti un segmento inclinato. Utilizzando un foglio di formato A4, quello del vostro quadernone, scegliamo la seguente scala: 20 N 1 cm Con la seguente proporzione ricaviamo la lunghezza l del vettore che andiamo a rappresentare: 20 N : 1 cm = 120 N : l da cui l = = 6 cm

Uscita

Esercizi Rappresenta i seguenti vettori: A A = 20 N angolo 30° B B = 40 N angolo 45° C C = 30 N angolo 60° E E = 50 N angolo 120° F F = 65 N angolo 135° G G = 72 N angolo 150° H H = 32 N angolo 210° I I = 36 N angolo 240° L L = 25 N angolo 315° M M = 30 N angolo 330° Alle pagine successive troverai le soluzioni

Operazioni con i vettori Somma di vettori Scomposizione di un vettore Moltiplicazione di un vettore per un numero Differenza di vettori Prodotto scalare di vettori Prof.. A. Sala

Somma di vettori Vogliamo eseguire la seguente operazione: A + B = R Poiché i due addendi A e B sono vettori, l’operazione da eseguire deve tener conto di tutte le caratteristiche dei vettori e non solamente delle quantità numeriche che rappresentano il loro modulo. I metodi grafici utilizzati sono: • metodo del parallelogramma • metodo punta - coda Casi particolari

Metodo del parallelogramma • Fase 1 : si rappresentano i due vettori da sommare con • la medesima scala • la coda in comune B A

Metodo del parallelogramma • Fase 2 : dalla punta del vettore A si manda la parallela al vettore B B A

Metodo del parallelogramma • Fase 3 : dalla punta del vettore B si manda la parallela al vettore A B A Si è costruito così un parallelogramma, ossia un quadrilatero avente i lati opposti paralleli ed uguali

Metodo del parallelogramma • Fase 4 : il vettore somma R = A + B unisce i vertici O e K del paralle = logramma K B R O A

Metodo del parallelogramma • Fase 5 : si determina il modulo del vettore R moltiplicando la sua lunghezza l in cm per il relativo fattore di scala B R l A

Metodo del parallelogramma • Fase 6 : utilizzando un goniometro si misura l’angolo a che indica la direzione ed il verso del vettore R B R a A Esercizio guidato

Esercizio guidato Sono dati i seguenti vettori: A A= 60 N angolo 0° B B= 42 N angolo 45° Determinare con il metodo del parallelogramma R = A + B Scegliamo la seguente scala di rappresentazione per entrambi i vettori: 10 N 1 cm Ricaviamo la lunghezza lA del vettore A da rappresentare con la seguente proporzione 10 N : 1 cm = 60 N : lA da cui lA = ( 60 N • 1 cm ) : 10 N = 6 cm Ricaviamo la lunghezza lB del vettore B da rappresentare con la seguente proporzione 10 N : 1 cm = 42 N : lB da cui lB = ( 42 N • 1 cm ) : 10 N = 4,2 cm

Metodo punta - coda • Fase 1 : si rappresentano i vettori da sommare • con la medesima scala • la punta del primo vettore coincide con la coda del secondo vettore B A

Metodo punta - coda • Fase 2 : il vettore R = A + B unisce la coda del primo vettore con la punta dell’ultimo vettore disegnato R B A

Metodo punta - coda • Fase 3 : si determina il modulo del vettore R moltiplicando la sua lunghezza l in cm per il relativo fattore di scala l R B A

Metodo punta - coda • Fase 4 : utilizzando un goniometro si misura l’angolo a che indica la direzione ed il verso del vettore R R B a A Esercizio guidato

Sono dati i seguenti vettori: A A= 60 N angolo 0° Esercizio guidato Sono dati i seguenti vettori: A A= 60 N angolo 0° B B= 42 N angolo 45° Determinare con il metodo punta - coda R = A + B Scegliamo la seguente scala di rappresentazione e per entrambi i vettori: 10 N 1 cm Ricaviamo la lunghezza lA del vettore A da rappresentare con la seguente proporzione 10 N : 1 cm = 60 N : lA da cui lA = ( 60 N • 1 cm ) : 10 N = 6 cm Ricaviamo la lunghezza lB del vettore B da rappresentare con la seguente proporzione 10 N : 1 cm = 42 N : lB da cui lB = ( 42 N • 1 cm ) : 10 N = 4,2 cm

Casi particolari • Somma di più vettori • Somma di vettori equiversi • Somma di vettori di verso opposto • Somma di vettori paralleli equiversi • Somma di vettori paralleli di verso opposto

R = A + B + C + D Somma di più vettori Se i vettori da sommare sono più di due viene utilizzato il metodo punta - coda. Si dispongono i vettori, tutti con la medesima scala di rappresentazione, uno di seguito all’altro: il vettore somma R unisce la coda del primo vettore con la punta dell’ultimo. D R = A + B + C + D C R B A

Somma di vettori equiversi con medesimo punto di applicazione Due vettori si dicono equiversi se hanno medesimo angolo. Dati i vettori: A A = 10 N angolo 0° B B = 5 N angolo 0° ricaviamo il vettore R = A + B Utilizziamo il metodo punta - coda: 2 N A B N.B.: il vettore R è sovrapposto ai due vettori A e B lA lB R Si può quindi affermare che il vettore R ha • per modulo la somma dei moduli, ossia R = A + B = 10 N + 5 N = 15 N • lo stesso angolo dei due vettori A e B, cioè 0°

Somma di vettori di verso opposto e con medesimo punto di applicazione Dati i vettori: A A = 10 N angolo 0° B B = 5 N angolo 180° ricaviamo il vettore R = A + B Utilizziamo il metodo punta - coda: 1 N A N.B.: i vettori R e B sono sovrapposti ad A lA R B lB Si può quindi affermare che il vettore R ha • per modulo la differenza dei moduli, ossia R = |A - B| = 10 N - 5 N = 5 N • l’angolo del vettore che ha modulo maggiore, cioè 0°

Somma di vettori paralleli equiversi Sono dati i seguenti vettori paralleli: A A = 10 N angolo 270° B B = 20 N angolo 270° posti a distanza: d = 60 cm determinare R = A + B Risultano inapplicabili sia il metodo del parallelogramma che il metodo punta - coda. La risultante R ha le seguenti caratteristiche: • modulo uguale alla somma dei moduli; cioè R = A + B = 30 N • angolo uguale a quello dei vettori A e B, cioè 270° • punto di applicazione

proporzionale ai moduli dei vettori stessi Il vettore R è posizionato tra i due vettori A e B ad una distanza inversamente proporzionale ai moduli dei vettori stessi d = 60 cm 5 N d - x x A B R B • x = A • ( d - x ) B • x = A • d - A • x B • x + A • x = A • d ( B + A ) • x = A • d ( 20 N + 10 N ) • x = 10 N • 60 cm 30 N • x = 600 N•cm x = 600 N•cm : 30 N = 20 cm

Somma di vettori paralleli di verso opposto Sono dati i seguenti vettori paralleli: A A = 10 N angolo 270° B B = 20 N angolo 90° posti a distanza: d = 60 cm determinare R = A + B Risultano inapplicabili sia il metodo del parallelogramma che il metodo punta - coda. La risultante R ha le seguenti caratteristiche: • modulo uguale alla differenza dei moduli; cioè R = |A - B| = |10N - 20N| = 10N • angolo uguale a quello del vettore di modulo maggiore , cioè 90° • punto di applicazione

moduli dei vettori stessi Il vettore R non si trova tra i due vettori A e B ma è posizionato dalla parte del vettore di modulo maggiore , ad una distanza inversamente proporzionale ai moduli dei vettori stessi d = 60 cm 5 N d + x x A R B B • x = A • ( d + x ) B • x = A • d + A • x B • x - A • x = A • d ( B - A ) • x = A • d ( 20 N - 10 N ) • x = 10 N • 60 cm 10 N • x = 600 N•cm x = 600 N•cm : 10 N = 60 cm

Scomposizione di un vettore secondo due direzioni • Fase 1 : si rappresenta in scala il vettore A da scomporre e si tracciano, par = tendo dalla sua coda, le due semirette di direzione assegnata 2 A 1

Scomposizione di un vettore • Fase 2 : a partire dalla punta del vettore A si traccia la parallela alla direzione 1 2 A 1

Scomposizione di un vettore • Fase 3 : a partire dalla punta del vettore A si traccia la parallela alla direzione 2 2 A 1

Scomposizione di un vettore • Fase 4 : si è costruito così un parallelogramma di vertici O H K L. 2 H K A O L 1

Scomposizione di un vettore • Fase 5 : la componente del vettore A secondo la direzione 1, ossia A1, unisce i vertici O L; la componente del vettore A secondo la direzione 2, ossia A2, unisce i vertici O H . 2 A = A1 + A2 H K A2 A O L A1 1

Scomposizione di un vettore • Fase 6 : si determina il modulo A1 del vettore A1 moltiplicando la sua lunghezza l1 in cm per il relativo fattore di scala; si determina il modulo A2 del vettore A2 moltiplicando la sua lunghezza l2 in cm per il relativo fattore di scala. A2 l2 A A1 Esercizio guidato l1

Moltiplicazione di un vettore per un numero Dato il vettore A di modulo A=20 N e angolo 0°, determinare : B = 2 • A e C = ( -2 ) • A Numero positivo Numero negativo 5 N A A B C • Modulo B = 2 • A = 2 • 20N = 40N C = | -2 | • A = | - 2 | • 20N = 40N • Angolo Medesimo angolo del vettore A Stessa direzione del vettore A ma cioè 0° verso opposto, angolo di 180°

Differenza di vettori La differenza tra due vettori si esegue sommando al primo vettore l’opposto del secondo, ossia: A - B = A + ( - B) Dati i vettori : A A = 10N angolo 0° e B B = 5N angolo 90° determinare D = A - B Dato che il vettore - B = ( - 1 ) • B, esso avrà le seguenti caratteristiche: - B modulo - B = 5N angolo 270° Applicando il metodo punta - coda si determina il vettore D : 1N A - B D

Prodotto scalare di vettori Il prodotto scalare di due vettori A x B ( si legge A scalar B ) da come risultato una grandezza scalare : A x B = C Il valore di C si ricava applicando la seguente formula C = AB • B dove AB è il modulo della componente del vettore A secondo la direzione di B. AB si considera positivo se il verso di AB coincide con il verso di B AB si considera negativo se il verso di AB è opposto al verso di B Esercizi guidati

Esercizi guidati 1) Dati i vettori: A A = 5N angolo 0° , B B = 3m angolo 0° determinare : C = A x B La direzione del vettore A coincide con quella del vettore B, quindi AB = A; il verso del vettore AB coincide con quello del vettore B, quindi AB = 5N C = AB x B = 5N • 3 m = 15 N•m 2) Dati i vettori: A A = 5N angolo 180° , B B = 3m angolo 0° il verso del vettore AB è opposto a quello del vettore B, quindi AB = - 5N C = AB x B = ( - 5N ) • 3 m = - 15 N•m

3) Dati i vettori: A A = 5N angolo 90° , B B = 3m angolo 0° Esercizi guidati 3) Dati i vettori: A A = 5N angolo 90° , B B = 3m angolo 0° determinare : C = A x B La componente del vettore A lungo il vettore B è nulla, quindi AB = 0 C = AB x B = 0 • 3 m = 0 4) Dati i vettori: A A = 5N angolo 45° , B B = 3m angolo 0° Si scompone il vettore A secondo due componenti: la prima parallela al vettore B, la seconda perpendicolare a B. 1 N 1 cm A AB = 3,5 cm • 1 N = 3,5 N 1 cm A | AB 3,5 cm Il verso del vettore AB coincide con quello del vettore B, quindi AB = 3,5N C = AB x B = 3,5N • 3 m = 10,5 N•m