IL MOTO DI UN PROIETTILE A. Martini IL MOTO DI UN PROIETTILE 1

2

CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO? 3

CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO? 4

CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO? 5

CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO? 6

CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO? 7

CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO? 8

CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO? 9

CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO? BUUMMMM 10

CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO? 11

CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO? 12

CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO? 13

CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO? 14

CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO? 15

CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO? 16

MA VOGLIAMO ESSERE SICURI DI COLPIRLO? 17

MA VOGLIAMO ESSERE SICURI DI COLPIRLO? 17

MA VOGLIAMO ESSERE SICURI DI COLPIRLO? 17

MA VOGLIAMO ESSERE SICURI DI COLPIRLO? 17

MA VOGLIAMO ESSERE SICURI DI COLPIRLO? 17

MA VOGLIAMO ESSERE SICURI DI COLPIRLO? 17

MA VOGLIAMO ESSERE SICURI DI COLPIRLO? 17

MA VOGLIAMO ESSERE SICURI DI COLPIRLO? 17

MA VOGLIAMO ESSERE SICURI DI COLPIRLO? 17

MA VOGLIAMO ESSERE SICURI DI COLPIRLO? 17

MA VOGLIAMO ESSERE SICURI DI COLPIRLO? 17

MA VOGLIAMO ESSERE SICURI DI COLPIRLO? 17

MA VOGLIAMO ESSERE SICURI DI COLPIRLO? 17

MA VOGLIAMO ESSERE SICURI DI COLPIRLO? 17

MA VOGLIAMO ESSERE SICURI DI COLPIRLO? 17

MA VOGLIAMO ESSERE SICURI DI COLPIRLO? 17

MA VOGLIAMO ESSERE SICURI DI COLPIRLO? 18

MA VOGLIAMO ESSERE SICURI DI COLPIRLO? ALLORA CERCHIAMO DI CAPIRE COME SI MUOVE UN PROIETTILE, DESCRIVENDONE IL MOTO CON ALCUNE “SEMPLICI” EQUAZIONI. 19

20

CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE, SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE? 21

BUUMMMMM CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE, SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE? BUUMMMMM 22

CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE, SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE? 23

CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE, SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE? 24

CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE, SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE? 25

CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE, SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE? 26

CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE, SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE? 27

CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE, SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE? 28

CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE, SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE? 29

CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE, SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE? 30

CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE, SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE? 31

CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE, SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE? 32

CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE, SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE? 33

CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE, SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE? 34

CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE, SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE? 35

CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE, SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE? 36

VOGLIAMO VEDERCI PIU’ CHIARO? 37

ALLORA METTIAMOCI DI FRONTE AL CANNONE 38

ALLORA METTIAMOCI DI FRONTE AL CANNONE 39

ALLORA METTIAMOCI DI FRONTE AL CANNONE 40

ALLORA METTIAMOCI DI FRONTE AL CANNONE E OSSERVIAMO LO SPARO: 41

ALLORA METTIAMOCI DI FRONTE AL CANNONE E OSSERVIAMO LO SPARO: A T T E N Z I O N E !!! 42

BUUMMM 43

BUUMMM 44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

ALLORA METTIAMOCI DI FRONTE AL CANNONE E OSSERVIAMO LO SPARO: 58

ALLORA METTIAMOCI DI FRONTE AL CANNONE E OSSERVIAMO LO SPARO: 59

COME HAI NOTATO, VISTO DA QUI IL MOTO DEL PROIETTILE NON E’ UNIFORME: SE LO ANALIZZASSIMO SCOPRIREMMO CHE E’ UN MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO 60

COME HAI NOTATO, VISTO DA QUI IL MOTO DEL PROIETTILE NON E’ UNIFORME: SE LO ANALIZZASSIMO SCOPRIREMMO CHE E’ UN MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO 61

COME HAI NOTATO, VISTO DA QUI IL MOTO DEL PROIETTILE NON E’ UNIFORME: SE LO ANALIZZASSIMO SCOPRIREMMO CHE E’ UN MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO 62

GUARDIAMO ORA IL CANNONE DALL’ALTO 63

GUARDIAMO ORA IL CANNONE DALL’ALTO 64

GUARDIAMO ORA IL CANNONE DALL’ALTO A T T E N Z I O N E !!! 65

GUARDIAMO ORA IL CANNONE DALL’ALTO BUUUMMMM 66

GUARDIAMO ORA IL CANNONE DALL’ALTO 67

GUARDIAMO ORA IL CANNONE DALL’ALTO 68

GUARDIAMO ORA IL CANNONE DALL’ALTO 69

GUARDIAMO ORA IL CANNONE DALL’ALTO 70

GUARDIAMO ORA IL CANNONE DALL’ALTO 71

GUARDIAMO ORA IL CANNONE DALL’ALTO 72

GUARDIAMO ORA IL CANNONE DALL’ALTO 73

GUARDIAMO ORA IL CANNONE DALL’ALTO 74

GUARDIAMO ORA IL CANNONE DALL’ALTO 75

GUARDIAMO ORA IL CANNONE DALL’ALTO 76

GUARDIAMO ORA IL CANNONE DALL’ALTO 77

GUARDIAMO ORA IL CANNONE DALL’ALTO 78

GUARDIAMO ORA IL CANNONE DALL’ALTO 79

GUARDIAMO ORA IL CANNONE DALL’ALTO 80

COME HAI NOTATO, VISTO DA QUI IL MOTO DEL PROIETTILE E’ RETTILINEO UNIFORME 81

COME HAI NOTATO, VISTO DA QUI IL MOTO DEL PROIETTILE E’ RETTILINEO UNIFORME 82

COME HAI NOTATO, VISTO DA QUI IL MOTO DEL PROIETTILE E’ RETTILINEO UNIFORME 83

RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO 84

Sarà meglio verificare sperimentalmente queste affermazioni! 86

Per prima cosa studiamo la GITTATA 87

Nel nostro laboratorio c’è una rotaia inclinata 88

La cui inclinazione è variabile 88

La cui inclinazione è variabile 88

Posizioniamo una macchina fotografica di fronte a questa apparecchiatura 88

Prendiamo ora una pallina d’acciaio Ed una lampada stroboscopica 88

Mettiamo la pallina in cima alla rotaia 88

La illuminiamo con la lampada e la lasciamo andare, dopo aver aperto l’otturatore della macchina 88

La illuminiamo con la lampada e la lasciamo andare, dopo aver aperto l’otturatore della macchina 88

Se il nostro amico fosse stato il bersaglio, l’avremmo colpito ? Hai visto com’è andata ? Se il nostro amico fosse stato il bersaglio, l’avremmo colpito ? 248

249

250

251

Vogliamo cercare di non sbagliare? Allora affidiamoci alla matematica e cerchiamo di scrivere un’equazione che descriva la gittata e che ci permetta di controllarla Vogliamo cercare di non sbagliare? (a+b)n Sena+senb 252

(a+b)n Sena+senb 252

Io vi aiuto volentieri, ma ho bisogno di alcune precisazioni del professor Albert 252

Sentiamo: cosa vuoi sapere? Vorrei sapere: A quale altezza arriva il proiettile Quanto tempo impiega ad arrivare al suolo E dove cade 252

Dunque, consideriamo un sistema di riferimento XY 252

E supponiamo che il proiettile abbia una velocità iniziale V secondo una direzione che forma con l’asse X un angolo a Y V a X 252

In questo caso l’altezza h raggiunta dal proiettile È uguale a quella che avrebbe raggiunto se fosse stato lanciato verso l’alto a velocità Vy Y h V Vy a X 252

Bene, allora adesso ti calcolo questa altezza Y h V Vy a X 252

Nella direzione h, il moto è uniformemente accelerato, con accelerazione uguale a -g 02 – Vy2 = - 2gh Nell’apice la velocità è uguale a zero e alla base è uguale a Vy, per cui possiamo applicare una nota relazione della cinematica: Poiché è: Vy = V sen a Y Si ha: Vf2 – Vi2 = 2as -V 2 sen2 a = - 2gh E quindi: h V Vy a X 252

Nella direzione h, il moto è uniformemente accelerato, con accelerazione uguale a -g 02 – Vy2 = - 2gh Nell’apice la velocità è uguale a zero e alla base è uguale a Vy, per cui possiamo applicare una nota relazione della cinematica: Poiché è: Vy = V sen a Y Si ha: Vf2 – Vi2 = 2as -V 2 sen2 a = - 2gh E quindi: h V Vy a X 252

Molto bene questa formula me la ricorderò sicuramente h 252

Ora vorrei sapere il tempo totale della durata del moto del proiettile 252

Ora vorrei sapere il tempo totale della durata del moto del proiettile Per raggiungere l’altezza h, il proiettile impiega un tempo t1 che può essere calcolato con la relazione: Ora vorrei sapere il tempo totale della durata del moto del proiettile 252

Ora basta sostituire le grandezze corrispondenti, per ottenere: Per raggiungere l’altezza h, il proiettile impiega un tempo t1 che può essere calcolato con la relazione: Un tempo uguale viene impiegato dal proiettile per ricadere al suolo, quindi il tempo totale sarà: Ora basta sostituire le grandezze corrispondenti, per ottenere: Da qui si ricava: 252

Bene, vorrà dire che cercherò di ricordare anche questa formula, assieme a quell’altra 252

E ora forse è giunto il momento di calcolare la GITTATA S, cioè lo spostamento che il proiettile avrebbe fatto nel tempo t, se si fosse mosso di moto rettilineo uniforme, con velocità: V cos a 252

E ora forse è giunto il momento di calcolare la GITTATA S, cioè lo spostamento che il proiettile avrebbe fatto nel tempo t, se si fosse mosso di moto rettilineo uniforme, con velocità: V cos a Eccomi qua: son pronto! 252

Questo spostamento quindi è ricavabile con l’equazione del moto rettilineo uniforme: S = Vt Nel nostro caso scriveremo: S = V t cos a Ora sostituiamo: Da cui si ottiene: 252

Questo spostamento quindi è ricavabile con l’equazione del moto rettilineo uniforme: S = Vt Nel nostro caso scriveremo: S = V t cos a Ora sostituiamo: Da cui si ottiene: 252

S = Vt S = V t cos a GITTATA MASSIMA Questo spostamento quindi è ricavabile con l’equazione del moto rettilineo uniforme: S = Vt Nel nostro caso scriveremo: S = V t cos a Ora sostituiamo: Da cui si ottiene: Ma allora è facilissimo calcolare la gittata e anche trovare la condizione per avere la GITTATA MASSIMA 252

La gittata massima E’ chiaro che in questa formula, a parità di velocità iniziale V, la gittata è massima quando è massimo il termine sen a cos a Bene, adesso tocca a me! 252

La gittata massima Sarai d’accordo con me che S è massimo quando la funzione sen a cos a è massima E questo si verifica per l’angolo a per cui la derivata prima di sen a cos a è uguale a zero e la derivata seconda è minore di 1. Calcoliamo allora la derivata prima di sen a cos a 252

Per le formule di prostaferesi si ha: Per cui: Poiché l’angolo a, nel nostro caso non può superare i 90° (per ovvi motivi), la relazione precedente è verificata per a = 45° dato che il coseno di 90° è uguale a zero.:

Per essere sicuri che per un angolo di 45° la gittata sia massima, e non minima, occorre che, contemporaneamente, la derivata seconda della funzione y (y”) sia minore di1. Calcoliamo, dunque, da derivata di z = cos 2a Essendo il seno di 90° uguale a uno, risulta: Possiamo allora affermare che la gittata maggiore di tutte, a parità della velocità di partenza, si ha per l’angolo: a = 45°

Possiamo verificare quanto ci ha insegnato il professor Mat facendo un esperimento con l’apparecchiatura vista in precedenza. A quel punto saremo in grado di colpire il bersaglio!

286

FINE 287

FINE ? 288

No, non è finita, perché dobbiamo ancora dimostrare sperimentalmente che il moto del proiettile è composto da un moto rettilineo uniforme orizzontale ed uno uniformemente accelerato verticale. Per fare questo utilizzeremo un Marmug ed uno speciale trampolino di lancio FINE !