complementi di matematica Docente Ing. Romina Martis complementi di matematica Il problema geometrico e la Geometria Analitica Dispense ad uso degli studenti dell’ ISU Istituti Superiori Universitari Corso di Matematica A.A.2008/2009

Indice 1. Il piano cartesiano (concetti generali) Assi cartesiani ortogonali Il piano cartesiano Coordinate cartesiane di un punto Condizioni di appartenenza di un punto Distanza tra due punti Punto medio Osservazioni Corso di Matematica 1 1 1

Il piano cartesiano Corso di Matematica 2

I luoghi geometrici nel piano cartesiano Un luogo geometrico è una linea del piano i cui punti godono di una particolare proprietà e tale che tutti i punti del piano che godono di quella proprietà giacciono sulla suddetta linea. Corso di Matematica 3

Il piano cartesiano In un piano consideriamo due rette perpendicolari che chiamiamo con x e y, orientate nel senso che stabiliamo un verso di percorrenza. Solitamente, disegniamo la retta x orizzontalmente e orientata da sinistra a destra, la retta y verticalmente e orientata dal basso verso l'alto. Corso di Matematica 4

Assi cartesiani ortogonali Le due rette si chiamano assi coordinati e il loro punto d'intersezione O origine. Stabiliamo, infine, una unità di misura, u che ci consente di misurare le lunghezze sui due assi. In matematica, si prende la stessa unità di misura per l'asse x e per l'asse y. Corso di Matematica 5

Assi cartesiani ortogonali asse delle ascisse (o asse delle x) asse delle ordinate (o asse delle y) Tali assi, inoltre, determinano quattro angoli retti(angoli di 90° gradi) detti quadranti. Corso di Matematica 6

Assi cartesiani ortogonali Per convenzione, diremo I Quadrante quello formato dai due semiassi positivi(-;0)(0;+). Il II, III e IV Quadrante seguiranno il primo in senso antiorario (cioè contrario a quello delle lancette dell’orologio). Corso di Matematica 7

Il piano cartesiano Nelle applicazioni fisiche, chimiche, economiche, non sempre si segue questa convenzione. Si dice che nel piano è stato fissato un sistema di riferimento cartesiano, o che il piano è riferito a un sistema di assi cartesiani xOy, o che si è fissato un piano cartesiano. Corso di Matematica 8

Il piano cartesiano Asse y o delle ordinate II quadrante I quagrante Asse x o delle ascisse O=origine III quadrante IV quadrante Corso di Matematica 9

Il piano cartesiano, segni Asse y o delle ordinate u II quadrante -,+ I quagrante +,+ O=origine Asse x o delle ascisse III quadrante -,- IV quadrante +,- Corso di Matematica 10

Punti nel piano cartesiano y(ordinate) P(x,y) K +2 +1 O x(ascisse) H -2 -1 -1 +1 +2 -2 L'origine O, punto di intersezione degli assi, ha coordinate (0,0). I punti dell'asse x, come H, hanno ordinata nulla, quindi H(x,0). I punti dell'asse y, come K, hanno ascissa nulla, quindi K(0.y). Corso di Matematica 11

Punti nel piano cartesiano A questo punto è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra punti del piano P e le coppie di numeri reali (x,y). Dal punto P si tracciano le parallele PH all'asse y e PK all'asse x. Misurando OH, con l'unità di misura u otteniamo il numero x, l'ascissa; misurando OK, con la stessa unità di misura, otteniamo il numero y, l'ordinata. Corso di Matematica 12

Coordinate cartesiane di un punto Per convenzione diremo che: l’ascissa di un punto nel piano cartesiano è quella del punto in cui l’asse delle ascisse è intersecato dalla retta passante per il punto dato e parallela all’asse delle ordinate. y x Corso di Matematica 13

Coordinate cartesiane di un punto Per convenzione diremo che: l’ordinata di un punto nel piano cartesiano è quella del punto in cui l’asse delle ordinate è intersecato dalla retta passante per il punto dato e parallela all’asse delle ascisse. y x Corso di Matematica 14

Coordinate cartesiane di un punto La coppia di numeri (x,y) si chiamano coordinate del punto P. Viceversa, assegnata una coppia di numeri reali (x,y), individuiamo prima il punto H, poi il punto K, infine, tracciando le due parallele agli assi, si ottiene il punto P. Corso di Matematica 15

Condizione di appartenenza di un punto ad una curva Ricordando la definizione di luogo geometrico, risulta evidente che: Condizione necessaria e sufficiente affinchè un punto di coordinate date appartenga ad una curva è che le sue coordinate verifichino l’equazione della funzione di cui la curva è il diagramma, cioè, sostituendo alla x l’ascissa e alla y l’ordinata del punto, sia verificata l’equazione della funzione. Corso di Matematica 16

Condizione di appartenenza di un punto ad una curva La suddetta condizione è sufficiente in quanto, se le coordinate del punto verificano l’equazione della funzione, il punto appartiene alla curva; necessaria in quanto tutti i punti della curva verificano, mediante le loro coordinate, l’equazione della funzione. Corso di Matematica 17

Distanza tra due punti d(P,Q)=(x2-x1)2+(y2-y1)2 y2 - y1 o x2 - x1 y(ordinate) Q y2 y2 - y1 y1 H P o x1 x(ascisse) x2 x2 - x1 Applicando il teorema di Pitagora al triangolo PHQ, rettangolo in H si ottiene che: d(P,Q)=(x2-x1)2+(y2-y1)2 Corso di Matematica 18

Distanza tra due punti: casi particolari y(ordinate) Q y2 y2 - y1 y1 H P o x1 x(ascisse) x2 x2 - x1 I due punti individuano un segmento parallelo all'asse x, come PH. La distanza si calcola più rapidamente con la formula |x2-x1|. I due punti individuano un segmento parallelo all'asse y, come QH. La distanza si calcola più rapidamente con la formula |y2-y1|. Corso di Matematica 18

Coordinate del punto medio di un segmento y(ordinate) Q y2 y2 - y1 M 2 y1 H P o x1 x2 - x1 x(ascisse) x2 2 M = ( XM ; YM ) Corso di Matematica 18

Coordinate del punto medio di un segmento l’ascissa del punto medio di un segmento è uguale alla semisomma delle ascisse dei suoi estremi XM=(x1+x2)/2 l’ordinata del punto medio di un segmento è uguale alla semisomma delle ordinate dei suoi estremi YM = (y1+y2)/2 M =[(x1+x2)/2 ; (y1+y2)/2] Corso di Matematica 21

OSSERVAZIONI In questa prima lezione della Geometria Analitica, ho ritenuto di dover trattare, sin dalla prima slide, il concetto di funzione e i luoghi geometrici partendo, naturalmente, dalla retta. Lo scopo della geometria analitica getta, se si può dire, un ponte tra l’algebra e la geometria piana facendo corrispondere all’ente algebrico l’ente geometrico e viceversa. Corso di Matematica 22