Composizione di vettori Dato un insieme di vettori: V1 ; V2 ; V3 ; aventi tutti, la stessa origine. (vedi fig.) R Si dice Risultante dell’insieme e si indica con R quell’unico vettore equivalente all’insieme dato. v1 v3 v2 O

Come si può ottenere il loro risultante R? Siano dati i tre vettori: F1 ; F2 ; F3 aventi origine comune in O Come si può ottenere il loro risultante R? Osserva l’animazione F2 F3 F1 O Successivamente, si trasla il terzo vettore portando la sua origine a coincidere con la fine (freccia) del secondo vettore e così via fino all’ultimo vettore qualora vi fossero più vettori. Un metodo consiste nel riportare, a partire dal primo vettore, il secondo, traslandolo, fino a far coincidere l’origine del secondo vettore traslato con la fine (freccia ) del primo.

v2 v3 v1 O

v2 v3 v1 O

R v2 v3 v1 O

Proviamo a seguire un nuovo ordine di composizione: Partiamo, ad esempio, dal Vettore V2 Poi vi aggiungiamo V3 ed infine V1. Otterremo lo stesso punto finale di arrivo. Il risultante che è quel vettore che partendo dall’origine comune arriva fino all’ultimo punto della costruzione è ancora lo stesso. R v2 v3 Questo ci dice che la composizione (somma) dei vettori gode della proprietà commutativa: Qualunque sia l’ordine di composizione prescelto la somma vettoriale rimane la stessa. Cioè il risultante è lo stesso. v1 O

v2 v3 v1 O

R v2 v3 v1 O

OSSERVA L’ANIMAZIONE PER UN INSIEME DI PIU’ VETTORI.

V3 V4 V2 V1 V5 V6

V3 V4 V2 V1 V5 V6

V3 V4 V2 V1 V5 V6

V3 V4 V2 V1 V5 V6

V3 V4 V2 V1 V5 V6

V3 V4 V2 V1 V5 V6

R V3 V4 V2 V1 V5 V6 Ed ecco, infine, il Risultante

Scomposizione di un vettore Secondo due direzioni assegnate: Sia dato un vettore K I vettori Kd2 e Kd1 Sono le componenti del vettore K secondo le due direzioni date. d2 E due direzioni d1 e d2 Si traccino le parallele alle due direzioni date per i punti d’origine e di fine del vettore: Kd2 K d1 Viene così individuato un parallelogramma di cui il vettore K è una delle diagonali. Fare attenzione a che il vettore dato e le sue componenti abbiano la stessa origine Kd1 by by

Esempio concreto

Esempio concreto: scomposizione della forza Peso di un corpo poggiato su di un piano inclinato secondo la direzione normale al piano e secondo la direzione tangente al piano La componente Pn rappresenta quanto della forza peso è diretto in direzione perpendicolare al piano inclinato ed è completamente bilanciato dalla reazione del piano -Pn - Pn t = tangente al piano Pt Questa componente accelera il corpo , verso il basso, lungo il piano. Pn La componente Pt è quanto della forza Peso agisce tangente al piano inclinato e, in teoria, non è bilanciata da alcuna forza. n = normale al piano P = peso

Nelle stesse condizioni risultano diverse le componenti normali al piano del Peso. Pn Si osservi come la stessa biglia, posta su piani inclinati diversi, risulta soggetta a componenti della forza peso, secondo il piano, Pt, e normale al piano, Pn , diverse. Caso A Questo però implica che per l’equilibrio, lungo la normale al piano, il piano stesso esplica reazioni diverse, maggiore quando il piano è poco inclinato. Come ci si spetta: quando il piano è poco inclinato, caso A la componente tangente Pt della forza peso è inferiore alla stessa componente quando il piano è maggiormente inclinato.Caso B Caso B Per tenere in equilibrio il corpo lungo il piano occorre imprimere una forza –Pt ben diversa nei due casi