Geometria descrittiva dinamica Al sommario Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge LA RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICO-DESCRITTIVA E RELATIVA TIPOLOGIA DEGLI ELEMENTI PRIMITIVI (Il piano) Il disegno di copertina è stato eseguito nell’a.s. 1993/94 da Iolanda Iezzi della classe 3°B dell’Istituto Statale d’Arte “G. Mazara” di Sulmona per la materia : “Disegno geometrico ed architettonico” La revisione delle formalizzazioni è stata curata dal dott. Gabriella Mostacci IL materiale può essere riprodotto citando la fonte Autore Prof. Elio Fragassi

Titolo dell’argomento Sommario Copertina Sfogliare Titolo dell’argomento Proiezione rappresentazione e definizione tipologiga del piano Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni La tipologia del piano: studio e definizione nel primo diedro Piano generico Piano proiettante in 1a proiezione Piano proiettante in 2a proiezione Piano di profilo Piano orizzontale Piano frontale Piano generico parallelo lt Piano incidente la lt Piano generico nei restanti diedri Piano proiettante in 1a proiezione nei restanti diedri Piano proiettante in 2a proiezione nei restanti diedri Piano di profilo o in scorcio totale nei restanti diedri Piano orizzontale nei restanti diedri Piano frontale nei restanti diedri Piano generico parallelo alla lt nei restanti diedri Piano incidente la lt nei restanti diedri Vai a Vai a Vai a omesso Vai a omesso Vai a omesso Vai a omesso Vai a omesso Vai a omesso Vai a omesso Vai a omesso Vai a omesso Vai a omesso Vai a omesso Vai a omesso Vai a omesso Vai a omesso Vai a omesso Vai a omesso Vai a

Proiezione rappresentazione e definizione tipologiga del piano Sommario Nella caratterizzazione del piano come elemento geometrico dinamico, si è riguardato lo stesso come generato da una retta in movimento orientato e definito secondo la seguente formalizzazione insiemistica che si legge per ogni retta in movimento orientato e definito nello spazio, si genera una ed una sola superficie che prende il nome di “piano” Questa superficie è costituita dall’insieme, non vuoto, delle infinite posizioni che la retta occupa nello spazio, muovendosi secondo una direzione orientata Quindi in uno spazio di superfici si caratterizza come “piano” l’elemento geometrico dell’insieme delle rette ottenuto come sommatoria orientata, estesa da - a + delle posizioni della retta r in movimento orientato e definito nello spazio tridimensionale secondo la seguente espressione insiemistico-descrittiva

Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni (1) Sommario Per definire gli elementi geometrico-rappresentativi sviluppiamo le analisi successive nel I diedro sapendo che, poi, queste possono essere estese agli altri diedri adattandole alle caratterizzazioni topologiche ed agli ambiti grafici di questi. Ricordiamo che gli elementi rappresentativi di una retta r sono le tracce T1r e T2r (Fig.44) ottenute come intersezione della retta con i semipiani del diedro, cioè come : T1r = r  1 T1r = r  1 mentre le proiezioni sono espresse dalle seguenti formalizzazioni descrittive Mediante questi quattro elementi rappresentativi viene descritta la retta r comunque collocata nello spazio

Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni (2) Se consideriamo la retta r nel suo aspetto dinamico, essa, muovendosi parallelamente a se stessa, determinerà sui piani di proiezione 1 e 2 una successione di punti reali (tracce) che ne determina la posizione all’interno del diedro (Fig. 45) Poiché la retta, per generare un piano  si sposta secondo una direzione orientata, i punti di intersezione risponderanno, per la loro collocazione sul semipiano del diedro, alla legge descrittiva che vuole una retta definita mediante una direzione assegnata I punti, così ottenuti, risultano allineati e prendono il nome di “traccia del piano” e si indicano con “t1” la traccia su 1 e con “t2” la traccia su 2. Per la “t” si utilizzano le lettere minuscole dell’alfabeto perché le tracce si caratterizzano, geometricamente, come “rette”, pertanto le due didascalie si leggono: t1 = Traccia prima o traccia uno del piano  t2 = Traccia seconda o traccia due del piano 

Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni (3) Definito tutto quanto sopra, e ricordando la formalizzazione descrittiva del piano volendo sintetizzare e formalizzare come rette descrittive questi due elementi rappresentativi del piano, essi assumono il seguente aspetto retta unita a 1 (Sommatoria dei punti uniti a 1) retta unita a 2 (Sommatoria dei punti uniti a 2) Dal punto di vista fisico, essendo le tracce generate dalla sommatoria di punti reali, saranno due rette reali. Infatti le T1 sono punti uniti a 1 e quindi con quota nulla, mentre le T2 sono punti uniti a 2 e quindi con aggetto nullo A conferma di quanto sopra è solo il caso di ricordare che dall’operazione geometrica dalla intersezione di due piani si ottiene una retta per cui, implicitamente, il piano  attraversando il diedro intersecherà i due semipiani 1 e 2, dando origine a due rette che, nello specifico assumono il nome di “traccia prima del piano ” e “traccia seconda del piano ”

Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni (4) Una considerazione particolare deve essere fatta sull’origine delle tracce Esse devono intersecare la linea di terra sempre, contemporaneamente e nello stesso punto Infatti se consideriamo il piano generato da una retta che si sposta secondo una direzione assegnata, essa, nel suo movimento nello spazio, passando da un diedro all’altro si intersecherà con la linea di terra Poiché l’intersezione tra due rette genera un punto r  lt  T1r  T2r per questo motivo le tracce del piano  hanno sempre un punto in comune sulla linea di terra Inoltre bisogna considerare che siamo in presenza di tre piani 1 , 2 ed  e ricordare che la loro intersezione genera un punto che diventa il centro della stella dei tre piani Il luogo piano racchiuso tra due tracce contiene, poi, le infinite proiezioni della retta che muovendosi genera il piano (Fig.46)

Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni (5) Riassumendo e sintetizzando si ha: Ogni retta dello “spazio rigato” muovendosi, nello spazio del diedro,secondo una direzione orientata genera un insieme di punti reali orientati che assumono il nome di “traccia del piano” e si indicano con la t minuscolo. Essendo due i semipiani che delimitano il diedro, le tracce saranno, anch’esse, due e prendono l’indice uno o due a seconda che sia riferita al piano 1 o 2 Infine, per quanto sopra espoosto le due tracce devono necessariamente essere incidenti sulla linea di terra nello stesso punto (reale o improrio) e, per l’aspetto dinamico, contemporaneamente. Volendo schematizzare possiamo raccogliere e sintetizzare le considerazioni come nella seguente tabella Gli elementi rappresentativi del piano e relative caratteristiche Elemento geometrico Didascalia elemento Didascalia elementi rappresentativi Nomenclatura elemento Definizione geometrica Definizione fisica t1a Traccia 1a o traccia 1 Retta Reale a Piano t2 Traccia 2a o traccia 2 Retta Reale Pertanto ogni piano può essere rappresentato secondo le leggi descrittive di cui trattasi nei seguenti appunti, mediante gli elementi geometrico-rappresentativi elencati nella tabella sopra esposta.

La tipologia del piano: studio e definizione nel primo diedro Sommario Determinati gli elementi rappresentativi e definitene le caratteristiche geometriche e fisiche, si può passare all’analisi tipologica del piano per definirne una catalogazione sistematica nel rapporto con gli elementi del diedro: i semipiani di proiezione (luogo della rappresentazione) e la linea di terra. La ricerca e definizione tipologica del piano si approfondisce, nel seguito degli appunti, con riferimento specifico al I diedro sapendo che per estendere la tipologia ai restanti diedri (II, III, IV) è sufficiente adeguare, poi, gli elementi rappresentativi alle caratteristiche dei diversi diedri rispettando, ovviamente, le differenti caratterizzazioni fisiche e topologiche.