INDICE Storia del piano Cartesiano Elementi del piano Cartesiano Le funzioni La retta nel piano Cartesiano La parabola

1. Storia del piano Cartesiano Euclide Opere Teoremi ed Assiomi Dal piano Euclideo al piano Cartesiano Cartesio

2. Elementi del piano Cartesiano Origine degli assi Quadranti Coordinate di un punto Segmenti Rette

3. Le funzioni Definizione di funzione Rappresentazione di una funzione Funzione sul piano Cartesiano Classificazione delle funzioni Riepilogo

4. La retta nel piano Cartesiano Definizione retta Equazione retta (forma implicita e forma esplicita) Rette incidenti Rette parallele Situazioni problematiche

5. Parabola Introduzione Definizione Forma tipica Rappresentazione grafica Parabole particolari Studio del segno Parabola e disequazioni di 2° grado

IL PIANO CARTESIANO ...e la sua storia Cardellini Mattia Masetti Giovanni De Luca Lorenzo Morelli Davide IL PIANO CARTESIANO ...e la sua storia

Le origini del piano Cartesiano Il piano Euclideo

SOMMARIO EUCLIDE Opere Teoremi ed Assiomi Dal piano Euclideo al piano Cartesiano CARTESIO

Euclide Nasce ad Alessandria di Egitto intorno al 365a.C e muore intorno al 275a.C. Fu un matematico in Grecia. Una minoranza di storici dubita della sua esistenza. Dall’aneddoto “in Geometria non esistono vie regie” si intuisce il carattere riservato e rigoroso. Da lui prendono il nome la geometria e gli spazi Euclidei.

Opere di Euclide Elementi di geometria (13 libri). Legati alla matematica: Dati, Porismi, Luoghi superficiali, Coniche, Ottica e Catottrica. I fenomeni, trattato astronomico. Sezione del canone e Introduzione armonica, trattati di musica.

Assiomi e teoremi di Euclide E' sempre possibile tracciare una retta tra due punti qualunque. E' sempre possibile prolungare una linea retta. E' sempre possibile costruire una circonferenza di centro e raggio qualunque. A B H K C D E

Tutti gli angoli retti sono tra loro congruenti. α µ=α=β=90° µ β Tutti gli angoli retti sono tra loro congruenti. Data una retta ed un punto esterno ad essa esiste un'unica retta parallela passante per detto punto. p r A

C AH:AC=AC:AB A B H In un triangolo rettangolo il cateto è medio proporzionale tra la sua proiezione sull'ipotenusa e l'ipotenusa stessa. In un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti dell’ipotenusa. F DK:FK=FK:KE D K E

IL PIANO EUCLIDEO e i suoi elementi Il punto La retta Semiretta e segmento L’angolo r P a B V A R

A cosa mi servono gli elementi del piano euclideo? Un insieme di segmenti adiacenti tra loro, dei quali l’estremo superiore dell’ultimo corrisponde all’estremo inferiore del primo, formano i poligoni, che sono suddivisi in base al numero dei loro lati: Triangoli (tre lati) Quadrilateri (quattro lati) Pentagoni (cinque lati) E così via…

Ma... Con il piano Euclideo si giunse ad una situazione di stallo: come faccio a stabilire le misure di determinati segmenti su un piano dove non ci sono punti di riferimento? Per questo Cartesio costruì un piano con determinati punti di riferimento: il Piano Cartesiano

CARTESIO Nasce a La Haye in Turenna nel 1596 e muore nel 1650, colpito da una grave malattia polmonare. Fu un matematico e filosofo francese Il suo vero nome è René Descartes, latinizzato in Cartesius. Insegnò filosofia e matematica a molti sovrani e principi.

Opere di Cartesio Discorso sul metodo Meditationes de prima Philosophia Principia Philosophiae Compendium musicae Trattato delle passioni “Cogito, ergo sum”

Elementi del piano cartesiano Creato da: Bartolucci Filippo Costantini Giacomo Mattioli Giacomo Sanchini Pierpaolo

Il Piano Cartesiano Si può introdurre il piano cartesiano come sistema di riferimento nel piano della geometria euclidea costituito da due rette perpendicolari, su ciascuna delle quali si fissa un orientamento (rette orientate) e per le quali si fissa anche una unità di misura che consente di identificare qualsiasi punto del piano mediante numeri reali.

Il Piano Cartesiano Tra le due rette si distingue l’asse delle ascisse o asse delle x (retta orizzontale) e l’asse delle ordinate o asse delle y (retta verticale).

Elementi del piano cartesiano Origine degli assi Quadranti Coordinate di un punto Segmenti Rette

Origine degli assi Una retta si dice orientata o asse  quando su di essa è fissato un verso positivo. Si definisce un sistema di riferimento scegliendo un punto sulla retta detto origine O ed una unità di misura u.

Quadranti Quadranti Il piano cartesiano viene suddiviso in quattro regioni denominate quadranti, indicate mediante numeri romani progressivi in senso antiorario: 1° quadrante: comprende i punti aventi ascissa ed ordinata positive; 2° quadrante: comprende i punti aventi ascissa negativa ed ordinata positiva; 3° quadrante: simmetrico al 1°quadrante rispetto all'origine; 4° quadrante: simmetrico al 2° quadrante rispetto all'origine.

Coordinate di un punto A questo punto è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra punti del piano P e le coppie di numeri reali (x,y). Dal punto P si tracciano le parallele PH all'asse y e PK all'asse x. Misurando OH, con l'unità di misura u otteniamo il numero x, l'ascissa; misurando OK, con la stessa unità di misura, otteniamo il numero y, l'ordinata. La coppia di numeri (x,y) si chiamano coordinate del punto P.   Viceversa, assegnata una coppia di numeri reali (x,y), individuiamo prima il punto H, poi il punto K, infine, tracciando le due parallele agli assi, si ottiene il punto P.

Lunghezza di un segmento Per trovare la lunghezza di un segmento si utilizza la seguente formula: AB = √(xa-xb)2 + (ya-yb)2 A B

Punto medio di un segmento Per trovare il punto medio di un segmento si utilizza la seguente formula: A (Xa,, ya) xm = xa+xb 2 ym = ya+yb B (xb, yb)

Rette Asse x e parallele Asse y e parallele All’interno del piano cartesiano si trovano anche rette particolari dette rette fondamentali associabili ai luoghi geometrici della geometria Euclidea (figure geometriche piane formate da punti che godono tutti di una stessa proprietà): Asse x e parallele Asse y e parallele Bisettrice del I° e III° quadrante Bisettrice del II° e IV° quadrante

Asse x L’asse x è il luogo geometrico dei punti nel piano cartesiano che hanno la distanza assoluta dall’asse y uguale a zero. Quindi tutti i punti sull’asse x hanno ordinata uguale a 0 (y=0).

Parallele all’asse x Le rette parallele all’asse x sono gli insiemi di punti che hanno tutti la stessa distanza assoluta dall’asse x, quindi avranno tutti la stessa ordinata. I loro grafici sono :

Asse y L’asse y è il luogo geometrico dei punti nel piano cartesiano che hanno la distanza assoluta dall’asse x uguale a zero. Quindi tutti i punti sull’asse y hanno ascissa uguale a 0 (x=0).

Parallele all’asse y Le rette parallele all’asse y sono gli insiemi di punti che hanno tutti la stessa distanza assoluta dall’asse y, quindi avranno tutti la stessa ascissa. I loro grafici sono :

Bisettrice del 1° e 3° quadrante: L’ equazione della bisettrice del 1° e 3° quadrante è y = x perché, essendo la bisettrice il luogo geometrico in cui tutti i punti sono equidistanti dai lati dell’angolo, ogni punto appartenente alla retta avrà ascissa e ordinata uguali.

Bisettrice del 2° e 4° quadrante L’equazione della bisettrice del 2° e 4° quadrante è y = -x perché, essendo la bisettrice il luogo geometrico in cui tutti i punti sono equidistanti dai lati dell’angolo, ogni punto appartenente alla retta avrà ascissa e ordinata opposte tra loro.

Ascissa del punto: “distanza assoluta” del punto dall’asse delle ordinate. Ordinata del punto: “distanza assoluta” del punto dall’asse delle ascisse.

LE FUNZIONI Alex Angelini, Teo Brandi, Alessia Farinelli, Gloria Nicolini

Argomenti trattati Definizione di funzione Rappresentazione di una funzione Funzione sul piano cartesiano Classificazione delle funzioni Riepilogo

Definizione di funzione Una funzione è una relazione matematica tra due grandezze variabili X e Y, tali che ad ogni valore di X corrisponde uno ed un solo valore di Y. X Variabile indipendente Y Variabile dipendente

Rappresentazione di una funzione FORMA IMPLICITA F(x,y) = 0 FORMA ESPLICITA y = F(x) Per rappresentare sul piano cartesiano una funzione, questa deve essere in forma esplicita

Funzione sul piano cartesiano Per rappresentare graficamente una funzione si utilizza la tabella dei valori e si attribuisce un qualsiasi valore numerico alla X ottenendo il corrispondente valore della Y. In questo modo si ricavano le coordinate del punto da posizionare sul piano cartesiano. Infine si uniscono i punti da sinistra verso destra. y = F (x) y x y x1 x2 x3 y1 y2 y3  A(x1, y1) Riportiamo i valori sul grafico x  B(x2, y2)  C(x3, y3)

Classificazione delle funzioni Funzioni algebriche Funzioni trascendenti Una funzione trascendente è una funzione non algebrica. Una funzione si dice algebrica se il legame che esprime y in funzione di x si può ridurre ad un’equazione algebrica di grado qualsiasi nelle due incognite x e y.

Le funzioni algebriche Si classificano in: Funzioni razionali intere Funzioni razionali fratte Funzioni irrazionali

Funzioni razionali intere Funzioni di primo grado Una funzione di primo grado, o lineare, viene rappresentata sul piano cartesiano da una RETTA Funzioni di grado superiore al primo Funzione di secondo grado È rappresentato da una PARABOLA Funzione di grado superiore al secondo È rappresentata da una CURVA

Funzioni razionali fratte La funzione si dirà funzione razionale fratta nella variabile x. Una funzione razionale fratta in una variabile è definibile in un qualsiasi insieme di numeri reali o complessi che non contenga gli zeri del denominatore.

Funzioni irrazionali Le funzioni irrazionali sono quelle per cui, fissato il valore della variabile indipendente x, è possibile determinare il rispettivo valore della y. Una funzione irrazionale è del tipo dove g(x) è una funzione razionale definita nell’insieme dei numeri reali. Il dominio D della funzione dipende dall'indice n della radice.

Il dominio della funzione irrazionale può essere: se n è dispari allora il dominio della funzione appartiene all’insieme dei numeri irrazionali. se n è pari allora il dominio D della funzione è dato dall'insieme degli elementi che soddisfano la funzione Le funzioni irrazionali possono essere a loro volta intere e fratte.

Le funzioni trascendenti Si classificano in: Funzioni goniometriche Funzioni logaritmiche Funzioni esponenziali

Riepilogo

La retta nel piano cartesiano Forlani Veronica Mezzanotti Edoardo Ortolani Giulia Pedini Matteo

Indice: Definizione retta Rappresentazione di una retta Equazione retta (forma implicita e forma esplicita) Rette incidenti Rette parallele Situazioni problematiche

Definizione di retta La retta è una funzione algebrica razionale, intera di primo grado. indice

Rappresentazione di una retta r) y=mx+q x y a m*a+q=b P(a, b) c m*c+q=d Z (c, d) Si riportano i P e Z sul piano cartesiano e si uniscono trovando la retta dell’equazione data. P b a c d Z r indice

Equazione della retta y=mx+q Forma implicita: ax+by+c=0 Forma esplicita: coefficiente angolare m=-a/b Intercetta q=-c/b indice

Coefficiente angolare Il coefficiente angolare indica il tipo di angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse. Se m<0 Se m>0 l’ angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse è ottuso. l’angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse è acuto. Se m=0 l’angolo non esiste e la retta è parallela all’asse x. indice

m<0 y= - 1/3 x+q m= -1/3 -1/3 <0 l’angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse è ottuso indice

m>0 y=4x+q m=4 y=4x+q 4>0 l’angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse è acuto indice

m=0 y=0x+q y=q l’angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse non esiste poiché la retta è parallela all’asse x Q r indice

Intercetta L’intercetta è l’ordinata del punto di intersezione della retta con l’asse y. Se q=0 la retta interseca l’asse y in q Se q≠0 la retta passa per l’origine degli assi indice

Rette incidenti Due rette sono incidenti se si incontrano in un punto. Rette perpendicolari. s indice

Rette perpendicolari Due rette sono perpendicolari se incidendosi formano 4 angoli retti. s) y=m1x-1 r) y=m2x+1 r s Se r) ┴ s) m1*m2 =-1 v m1=-1/m2 indice

Rette parallele Due rette sono parallele quando hanno uguali coefficienti angolari. r) // s) m1=m2 r r) y=m1x+1 s) y=m2+3 s indice

Situazioni problematiche Come trovare il punto di intersezione fra due rette. Come trovare l’equazione di una retta passante per due punti. indice

Punto di intersezione tra due rette Per trovare le coordinate del punto di intersezione bisogna risolvere il sistema fra le equazioni delle due rette r) y=m1x+q1 x=xp s) y=m2+q2 y=yp r s P indice

L’equazione di una retta passante per due punti Per trovare l’equazione di una retta passante per due punti bisogna trovare il coefficiente numerico e l’intercetta dell’equazione della retta risolvendo il seguente sistema: ya = mxa + q m yb = mxb + q q xa è l’ascissa del punto A ya è l’ordinata del punto A xb è l’ascissa del punto B yb è l’ordinata del punto B A B indice

La Parabola Mariana De Biagi Laura Di Lena Martina Tombari Federica Ugolini La Parabola

Rappresentazione grafica Parabola e disequazioni di 2° grado Introduzione Definizione Forma tipica Rappresentazione grafica Parabole particolari Studio del segno Parabola e disequazioni di 2° grado

Espressione algebrica in x Introduzione F(x) Espressione algebrica in x irrazionale: l’incognita si trova sotto il segno di radice fratta: l’incognita si trova solo o anche al denominatore intera: l’incognita si trova solo al numeratore Lineare o di primo grado: RETTA Y=mx+q m,q Di secondo grado: PARABOLA

Definizione La parabola è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso detto FUOCO e da una retta fissa detta DIRETTRICE Non ci soffermeremo sulla definizione di fuoco e direttrice per analizzare in modo più approfondito altri aspetti della parabola

Forma Tipica STUDIO dei COEFFICIENTI: >0 la parabola ha la concavità rivolta verso il semiasse positivo delle ordinate. a <0 la parabola ha la concavità rivolta verso il semiasse negativo delle ordinate ci consente di conoscere l’asse di simmetria della parabola ordinata del punto di intersezione della parabola con l’asse y b c Asse di Simmetria (nella parabola): retta che divide la parabola in due rami simmetrici

Rappresentazione Grafica Data una funzione del tipo: >0 a <0 P(0,c) Punti di intersezione con l’asse x: 1) c 2) 3) Equazione risolvente sostituzione Equazione dell’asse x

Esempio y=2x2+3x-2 1)a=2>0 2)c=-2 P(0,-2) y=2x2+3x-2 2x2+3x-2=0 y=0 =-2 =½ y x -2 ½ -2

Parabole Particolari Possiamo individuare tre tipi di parabole particolari: y=ax2 la parabola avrà il vertice coincidente con l’origine degli assi

y= ax2+bx La parabola avrà un punto di intersezione con l’asse x coincidente con l’origine degli assi

3. y= ax2+bx+c dove il trinomio ax2+bx+c è un quadrato perfetto. La parabola avrà allora un solo punto in comune con l’asse x

Studio del segno Data una funzione del tipo: Il trinomio ax2+bx+c assume valori diversi al variare della x: >0 prenderemo in considerazione i rami di parabola sopra l’asse x y>0 =0 prenderemo in considerazione i valori sull’asse x, ovvero x1 e x2. y=0 <0 prenderemo in considerazione i rami di parabola sotto l’asse x y<0 Di conseguenza possiamo dire che: ax2+bx+c>0 ax2+bx+c=0 ax2+bx+c<0 ax2+bx+c disequazioni

Parabola e disequazioni di 2° grado Data una disequazione di secondo grado del tipo: ax2 + bx + c >0 Prendiamo la parabola associata: y= ax2 + bx + c Disegniamo la relativa parabola In base al segno richiesto dal testo della disequazione prendiamo in considerazione i rami di parabola Troviamo gli intervalli richiesti

Esempio ½ 2x2+3x-2>0 1) y=2x2+3x-2 2) a=2>0 U c=-2 P(0,-2) 3) Il segno è > quindi prendiamo in considerazione i rami di parabola sopra l’asse x 4) I valori di x che determinano tali rami appartengono agli intervalli: x<-2 V x> ½ x -2 ½ -2