RETTE E PIANI NELLO SPAZIO - Differenza tra piano e spazio Posizione di una retta rispetto ad un piano Posizione di due rette nello spazio Rette e piani perpendicolari nello spazio Rette e piani paralleli nello spazio Angoloidi POLIEDRI : Prismi ,parallelepipedo,cubo,piramide,poliedri regolari CORPI ROTONDI : cilindro,cono,tronco di cono,sfera

SPAZIO (insieme di punti ) ? ? IN BASE A CHE COSSA?? ? PIANO (ente primitivo) 2° POSTULATO Una retta passante per 2 punti di un piano, giace interamente in quel piano. 3° POSTULATO Una retta che giace in un piano lo divide in due semipiani . Ogni segmento che congiunge 2 punti appartenenti ad uno stesso semipiano giace in tale semipiano ; se congiunge due punti appartenenti a semipiani diversi incontra la retta in un punto. 1° POSTULATO Per 3 punti dello spazio non allineati passa un solo piano

SEMISPAZI OPPOSTI = due semispazi diversi aventi stesso origine Lo spazio,è definito dai tre precedenti postulati + un quarto postulato chiamato ASSIOMA DI PARTIZIONE DELLO SPAZIO. Esso dice che,se un piano A divide lo spazio in due regioni diverse, ogni segmento che congiunge 2 punti appartenenti alla stessa regione giace interamente in essa e se congiunge 2 punti situati in regioni diverse incontra il piano A in un suo punto. SEMISPAZIO = figura costituita dal piano A (origine o contorno) + una delle due parti in cui divide lo spazio. SEMISPAZI OPPOSTI = due semispazi diversi aventi stesso origine

POSIZIONE DI UNA RETTA RISPETTO AD UN PIANO Se una retta ha in comune con un piano un solo punto,essa viene divisa in due semirette giacenti in semispazi opposti. La retta interseca il piano nel punto d’intersezione. NB: se piano e retta sono privi di punti in comune allora sono paralleli tra di loro POSIZIONE DI DUE RETTE NELLO SPAZIO Due rette giacenti nello stesso piano si dicono complanari (incidenti o parallele). Consideriamo due rette nello spazio che non hanno punti in comune: - se il piano le contiene entrambe,esse sono parallele; - se non esiste alcun piano capace di contenerle entrambe le rette sono sghembe r s Rette sghembe

POSIZIONE DI DUE PIANI NELLO SPAZIO Due piani distinti aventi in comune un punto,hanno in comune una ed una sola retta passante per quel punto. Siano α e β due piani aventi in comune P. Nel piano β tracciamo due semirette qualunque a, b aventi per origine P, situate da parti opposte rispetto ad α. Si congiunga un punto A di a con un punto B di b: si trovano in semispazi opposti rispetto ad α, il segmento AB taglierà il piano in un punto C, comune ad α e β. Così la retta PC (per il 2° postulato del piano) appartiene ad entrambi i piani; oltre i punti della retta PC i due piani α e β non possono avere altri punti in comune, altrimenti essi coinciderebbero (per il 1° postulato), il che è contro l'ipotesi secondo la quale α e β erano distinti.

Oh mamma!! E Quuiiindiii ???? Quindi : se due piani hanno in comune una retta (piani incidenti) si dice che essi si intersecano lungo quella retta. Da tutto ciò si deduce che se due piani non hanno punti in comune,allora sono paralleli. Per una retta nello spazio passano infiniti piani,che costituiscono un fascio di piani,di cui la retta è detta fascio o sostegno.

RETTA E PIANO PERPENDICOLARI Nello spazio,per un punto di una retta si possono condurre infinite perpendicolari per ognuno degli infiniti piani dello spazio, di cui la retta funge da sostegno. TEOREMA 1 : se una retta è perpendicolare in un suo punto a due rette che passano entrambe per quel punto,essa è perpendicolare per qualunque altra retta condotta per quello stesso punto e giacente nel piano delle prime due. TEOREMA 2 : il luogo delle rette perpendicolari a una retta in un suo punto è un piano

Una retta si dice perpendicolare (normale o ortogonale) ad un piano quando lo incontra ed è perpendicolare a tutte le rette del piano che passano per il suo punto d’intersezione con il piano,detto piede della perpendicolare. Una retta che incontra un piano senza essergli perpendicolare dicesi obliqua rispetto al piano. TEOREMA 3 : per un punto dato si può condurre un piano perpendicolare ad una retta data e uno solo. TEOREMA 4 : dato un piano A e un punto p qualunque, esiste sempre una sola retta passante per p perpendicolare al piano A.

TEOREMA DELLE TRE PERPENDICOLARI Se per il piede di una perpendicolare ad un piano si conduce una retta perpendicolare a un’altra retta del piano stesso,quest’ultima risulta perpendicolare al piano individuato dalle prime due. Aiutoooooo… non ho capito la dimostrazione !!

RETTE PARALLELE NELLO SPAZIO TEOREMA 1 : due rette perpendicolari ad uno stesso piano sono parallele. TEOREMA 2 : Se due rette sono parallele,ogni piano perpendicolare all’una è pure perpendicolare all’altra. TEOREMA 3 : due rette parallele a una terza sono parallele tra loro Dhoo..è un incubo !! r//s Teorema 3

RETTA E PIANO PARALLELI Una retta e un piano si dicono paralleli quando non hanno nessun punto in comune. TEOREMA 1: se una retta passante per un punto esterno a un piano è parallela ad una retta del piano essa è parallela al piano. TEOREMA 3 : se per una retta parallela ad un piano si conduce un piano qualunque che interseca il primo,la retta di intersezione dei due piani è parallela alla retta data. TEOREMA 2:una retta e un piano perpendicolari a una medesima retta,in punti distinti,sono paralleli.

TEOREMA 4 : se per due rette parallele di conducono due piani che si tagliano,la loro intersezione è parallela alle due rette. B TEOREMA 5: una retta ed un piano paralleli determinano su due rette parallele segmenti congruenti. A B’ A’ & A B r A’ B’ & TEOREMA 6: se una retta ed un piano sono paralleli,i punti della retta sono equidistanti dal piano

PIANI PARALLELI Due piani distinti si dicono paralleli quando non hanno alcun quando in comune. T1 :due piani perpendicolari ad una stessa retta,in punti distinti,sono paralleli. T3: le intersezioni di due piani paralleli con un terzo sono rette parallele. T2:se due rette che si intersecano sono parallele ad un piano,il piano individuato dalle due rette è parallelo al piano dato. Continua..

Zzz..dopo tanti teoremi almeno uno alla mia altezza!! T5:se due piani sono paralleli ogni retta perpendicolare al primo è pure perpendicolare al secondo. T4 : se due piani sono paralleli,ogni retta che incontra uno dei due piani incontra anche l’altro. Zzz..dopo tanti teoremi almeno uno alla mia altezza!! RELAZIONE DI EQUIVALENZA DEI PIANI PARALLELI Due piani paralleli a un terzo sono paralleli tra loro.

ANGOLOIDI L’angoloide è una figura solida formata da una superficie piramidale + tutti i suoi punti interni. Prendiamo nello spazio delle semirette O Vertice aventi origine in comune; due semirette consecutive determinano un piano e la figura che deriva dagli angoli di queste coppie di semirette è detta superficie piramidale. Angoli = facce Punti interni a,b,c,d Spigoli L’insieme delle facce costituisce la superficie o contorno dell’angoloide. L’intersezione di un angoloide con un piano che ne tagli tutti gli spigoli e non passi per il vertice è un poligono

Un angoloide è detto triedro,tetraedro,pentaedro Un angoloide è detto triedro,tetraedro,pentaedro.. In base al numero di facce che lo compongono. TEOREMA 1 : ogni faccia di un triedro è minore della somma delle altre due TEOREMA 2 :ogni faccia di un angoloide è minore della somma di tutte le altre TEOREMA 3: la somma delle facce di un triedro è minore di quattro angoli retti TEOREMA 4 : la somma delle facce di un angoloide è minore di quattro angoli retti NB: Due figure solide,pur avendo elementi corrispondenti congruenti possono non essere sovrapponibili . Come è possibile ? Due figure solide sono direttamente congruenti se esiste un movimento rigido che permetta di farle coincidere. Sono inversamente congruenti se non sono sovrapponibili,ma l’una è sovrapponibile alla simmetria dell’altra rispetto ad un piano.

POLIEDRI Si dice superficie poliedrica la figura formata da più poligoni convessi situati in piani diversi e disposti in modo che ciascun lato sia comune a due di essi e che il piano di ogni poligono lasci tutti gli altri da una medesima parte. Si dice poliedro la figura formata da una superficie poliedrica e da tutti i suoi punti interni. I poligoni, i loro vertici e i loro lati si dicono rispettivamente facce, vertici, spigoli della superficie poliedrica. Le facce, i vertici, gli spigoli della superficie si dicono pure facce, vertici, spigoli del poliedro.

PRISMI Un prisma è un poliedro le cui basi sono due poligoni congruenti di n lati poste su piani paralleli e connesse da un ciclo di parallelogrammi (le facce laterali). Se il poligono che forma le basi è un particolare poligono, ad esempio un triangolo, quadrato, pentagono, etc. si parla di prisma triangolare, prisma quadrato, prisma pentagonale, etc. In generale, si parla di prisma n-gonale. Se le facce laterali sono tutte dei rettangoli il poliedro è un prisma retto: in questo caso infatti le facce laterali formano degli angoli retti con entrambe le basi. In caso contrario si parla di prisma obliquo.

Volume Il volume di un prisma è dato dal prodotto dell'area di una delle sue basi per la distanza tra i piani (paralleli) ai quali appartengono. Se il prisma è retto, questa distanza è pari alla lunghezza di uno spigolo verticale (altrimenti no). ecco la formula: V = sb (area di base)x h

PARALLELEPIPEDO Si dice parallelepipedo un prisma le cui basi sono due parallelogrammi. Le due facce opposte sono quelle che non hanno alcun vertice in comune. I due vertici opposti sono quelli che non appartengono ad una medesima faccia. 2 1 1 2 Un parallelepipedo si dice retto se i suoi spigoli sono perpendicolari ai piani delle basi; se ha per base un rettangolo è detto parallelepipedo rettangolo.

T1 : le facce opposte di un parallelepipedo sono parallele e congruenti T2:le diagonali di un parallelepipedo si incontrano in un punto che le divide tutte per metà T3 : in un parallelepipedo rettangolo le diagonali sono congruenti Legenda: SL= Superficie Laterale ST =Superficie Totale V= Volume h=altezza a, b=Lati di base d=Diagonale d'=Diagonale della base                                                                       

CUBO Un cubo è un parallelepipedo rettangolo avente le dimensioni congruenti. Le facce e le basi di un cubo sono quadrati tutti congruenti. Legenda: SL=Superficie laterale, ST=Superficie totale, l=Spigolo, d=Diagonale, V=Volume                                                                       

Ho ragione quando dico che la geometria ti manda a male !!!

PIRAMIDE Consideriamo un angoloide e un piano non passante per il vertice e non // ad alcuno degli spigoli,che taglia l’angoloide in due parti. La parte così formata che contiene il vertice è detta piramide. La sezione dell’angoloide con il piano è un poligono che si dice base della piramide. La distanza del vertice dal piano della base si chiama altezza della piramide. Il piano della sezione determina sulle facce dell’angoloide dei triangoli = facce laterali ,la cui unione costituisce la superficie laterale. L’unione delle facce laterali e della base costituisce la superficie totale. Le piramidi sono particolari poliedri che prendono il nome proprio dal numero di lati della base (piramidi triangolari,quadrangolari..) SL=Superficie laterale, ST=Superficie totale, h=Altezza, a=Apotema, SB=Superficie di base

Una piramide si dice retta se ha per base un poligono circoscrivibile ad un cerchio il cui centro coincide con la proiezione del vertice sul punto di base TEOREMA1 : in una piramide retta i segmenti che congiungono il vertice con i punti di contatto dei lati della base con la circonferenza iscritta sono le altezze delle facce laterali e sono congruenti tra loro. Una piramide retta avente per base un poligono regolare si dice piramide regolare. Se si taglia una piramide con un piano parallelo alla base: la base e la sezione sono poligoni simili ,i lati e i perimetri di questi poligoni sono proporzionali alle distanze del loro piano dal vertice e le aree ai quadrati di queste distanze.

Se due piramidi hanno basi equivalenti ed altezze congruenti, le sezioni parallele alle basi e da esse equidistanti sono equivalenti. TRONCO DI PIRAMIDE Se si taglia una piramide con un piano parallelo alla base e non passante per il vertice, si divide la piramide in due parti,una delle quali è ancora una piramide e l’altra si dice tronco di piramide. Un tronco di piramide si dice retto se è retta la piramide a cui esso appartiene. SL=Superficie laterale, ST=Superficie totale, V=Volume, h=Altezza, a=Apotema, PBm=Perimetro base minore, PBM=Perimetro base maggiore, SBm=Superficie base minore, SBM=Superficie base maggiore

Poliedri regolari Un poliedro si dice regolare quando le sue facce sono poligoni regolari tutti congruenti tra loro e i suoi angoloidi sono pure tutti congruenti tra loro. RELAZIONE DI EULERO : in un poliedro la somma del numero F delle facce e del numero V dei vertici supera di due il numero S degli spigoli : F +V = S +2

TETRAEDRO REGOLARE 4 facce triangolari; angoloidi triedri OTTAEDRO REGOLARE 8 facce triangolari angoloidi tetraedri ICOSAEDRO REGOLARE 20 facce triangolari angoloidi pentaedri

ESAEDRO (o cubo) 6 facce quadrate angoloidi triedri DODECAEDRO 12 facce pentagonali angoloidi triedri

SOLIDI DI ROTAZIONE Un solido di rotazione o di rivoluzione è la figura ottenuta ruotando attorno ad un asse n una regione piana K, sul cui piano giace l'asse stesso. Se al di sopra della regione piana consideriamo un’altra retta g che ruota insieme ad esso allora l’asse n è detto asse di rotazione e la retta g è detta generatrice della superficie di rotazione. La generatrice g descrive,durante la rotazione, una circonferenza che giace in un piano perpendicolare all’asse di rotazione il cui centro O sta sul piano medesimo.

Cilindro La superficie cilindrica indefinita è la superficie generata dalla rotazione di una retta r intorno a un’altra retta ad essa parallela detta ASSE DI ROTAZIONE. I punti dello spazio aventi dall’asse distanza minore del raggio si dicono interni alla superficie,quelli che hanno distanza minore sono detti esterni. Un cilindro indefinito è il solido formato dai punti di una superficie cilindrica e dai suoi punti interni Un cilindro circolare retto ,o semplicemente cilindro,è la parte di cilindro indefinito limitata da due piani paralleli tra loro e perpendicolari all’asse.

I due piani individuano due cerchi che si dicono basi del cilindro ,mentre il raggio si dice raggio di base del cilindro. La distanza tra i due piani è l’altezza. La parte di superficie cilindrica che appartiene al cilindro è la superficie laterale ,mentre la somma della superficie laterale e di quelle delle due basi è la superficie totale. Un cilindro equilatero ha un’altezza congruente al diametro delle basi ,ossia quando una sua sezione con un piano passante per l’asse è un quadrato

Legenda: SL=Superficie laterale ST=Superficie totale h=Altezza, r=Raggio                                                                       

CONO Una superficie conica circolare è la superficie generata dalla rotazione completa di una semiretta intorno a un’altra,detta asse,avente l’origine in comune (vertice della superficie conica). Un cono indefinito è un solido formato dai punti di una superficie conica e dai suoi punti interni. Un cono circolare retto, o semplicemente cono, è la parte di cono indefinito limitata da un piano perpendicolare all’asse. Il piano individua un cerchio che è la base del cono ,mentre il raggio di tale cerchio è il raggio di base del cono. La distanza tra il vertice e il piano di base è l’altezza del cono. Il segmento che unisce il vertice a un qualunque punto della circonferenza di base è l’apotema del cono. La parte di superficie conica che appartiene al cono è la superficie laterale ,mentre la somma della superficie laterale e di quella della base è la superficie totale

Il cono equilatero è il cono avente l’apotema congruente al diametro di base. Legenda: SL=Superficie laterale, ST=Superficie totale, h=Altezza, r=Raggio, a=Apotema                                                                       

Tagliando un cono con un piano parallelo alla base lo si divide in due parti, una delle quali è un altro cono e l’altra si dice tronco di cono. La base del cono primitivo e il cerchio sezione si dicono basi del tronco ;la distanza tra i piani delle basi si dice altezza del tronco. Teorema: La superficie laterale del tronco di cono e' uguale alla superficie di un trapezio che ha per basi le circonferenze di base rettificate e per altezza l'apotema del tronco di cono. Legenda: SL=Superficie laterale, ST=Superficie totale, h=Altezza, r, r'=Raggio, a=Apotema                                                                       

Sfera La superficie sferica è la superficie generata dalla rotazione completa di una semicirconferenza intorno alla retta del suo diametro. La superficie sferica è il luogo dei punti dello spazio equidistanti da un punto fisso detto centro,mentre la distanza è il raggio. La sfera è il solido formato dai punti di una superficie sferica e dai suoi punti interni. La calotta sferica è ciascuna delle due parti in cui un piano secante divide una superficie sferica.

Legenda: S = Superficie, V = Volume, r = raggio, O = centro della sfera                                                                                                                                                                                              Legenda: SL=Superficie laterale, V=Volume, h=Altezza, r=raggio, R=Raggio della sfera                                                                                                                                                                                             

La zona sferica è la parte di superficie sferica compresa tra due piani secanti e paralleli. Il segmento sferico a due basi è la parte di sfera compresa tra due piani secanti e paralleli. SPERIAMO DI NON AVER ANNOIATO TROPPO !! Lavoro di : Pavoncelli Nicklas e Mandelli Serena