Lavoro a più mani… Tartaglia

Dino Liberatore (Napoli) Giovanna Maria Melis (Sassari) Giorgio Pietrocola (Roma) Ivana Niccolai (Genova)

Secondo alcuni, l'inventore era il cinese Immagini da internet Il triangolo fece la sua apparizione in Europa nel 1527, in un libro di aritmetica di Apianus. Il triangolo era conosciuto da Omar Khayyam (1048-1122) , da Niccolò Tartaglia, da Blaise Pascal e altri, e era già stato studiato dal matematico cinese Chia Hsien, nel 1050 circa. Secondo alcuni, l'inventore era il cinese Ju-Hsieh. Mgio Melis

Schema per costruire il Triangolo All’ inizio e alla fine di ogni riga c’ è sempre 1 Inizia con le due righe superiori che sono 1 e 1 – 1 Per trovare i numeri nella riga seguente, somma i due numeri ( es. 1+1=2 ); 1+2= 3 2+1= 3 1+3=4 3+3=6 3+1=4 A cura di Mgio Melis

1+3= 4 3+1= 4 Il triangolo presenta una simmetria assiale. La simmetria nel colore è perfetta E ‘evidenziata la proprietà commutativa dell’ addizione 1+3= 4 3+1= 4 1 3 4 Mgio Melis

Il momento dell’’esplorazione …… Numeri tetraedrici Sequenza dei numeri naturali Potenze di 2 Numeri dispari Potenze di 11 Numeri quadrati Il momento dell’’esplorazione …… Il triangolo aritmetico è ricco di modelli. Scopriamone alcuni … Numeri esagonali Multipli di 2 Il fiore: un altro modello Numeri di Fibonacci Numeri primi e multipli Numeri triangolari Tartaglia e Sierpinski Mgio Melis

A cura di Ivana Niccolai Potenze di 11 Se costruiamo le potenze successive di 11, troviamo che: (11)0 = 1 1 (11)1 = 11 1 1 (11)2 = 121 1 2 1 (11)3 = 1331 1 3 3 1 (11)4 = 14641 1 4 6 4 1 Sommando i prodotti parziali della moltiplicazione (con moltiplicatore 11), si eseguono le stesse addizioni che occorrono per costruire le righe del triangolo di Tartaglia. Nel caso di (11)5, questo è impedito dal fatto che nella somma dei prodotti parziali va tenuto conto del riporto; se, però, scriviamo le potenze di 11 in forma polinomiale, si ritrovano sempre i coefficienti binomiali del triangolo di Tartaglia. A cura di Ivana Niccolai

A cura di Ivana Niccolai Esempi 11)3=1331= 1*(10)3+3*(10)2+3*(10)1+1*(10)0 (11)4=14641= 1*(10)4+4*(10)3+6*(10)2+4*(10)1+1*(10)0 (11)5=161051= = 1*(10)5+5*(10)4+10*(10)3+10*(10)2+5*(10)1+1*(10)0 (11)6=1771561= = 1*(10)6+6*(10)5+15*(10)4+20*(10)3+15*(10)2+6*(10)1+1*(10)0 ecc. A cura di Ivana Niccolai

Grazia Raffa & Ivana Niccolai, visionabile Il triangolo è usato soprattutto in algebra e probabilità. Una interessante presentazione di Ivana Niccolai, con il contributo di Dino Liberatore e una splendida poesia di Grazia Raffa & Ivana Niccolai, visionabile cliccando qui Mgio Melis

Ode al triangolo di Pascal-TARTAGLIA-Cardano 1/4 (di Grazia Raffa e Ivana Niccolai) Nei suoi calcoli non sbaglia: come mente non tartaglia; questo genio alquanto vale anche in … geometria frattale! Il suo triangolo usiamo pure in algebra e troviamo coefficienti di potenza del binomio, in tale scienza, A cura di Ivana Niccolai

Ode al triangolo di Pascal-TARTAGLIA-Cardano 2/4 nonché in combinatoria, che arricchisce la sua gloria; qui son le combinazioni a formar le condizioni di assestarsi in modo tale atto al triangolo speciale. A cura di Ivana Niccolai

Ode al triangolo di Pascal-TARTAGLIA-Cardano 3/4 E’ sicuro che – comunque – da lì si procede al dunque e possiam anche ammirare quanto Gauss già seppe fare: distribuendo alla gaussiana vedo aspetto di campana, con palline incanalando la suddetta vien, giocando; A cura di Ivana Niccolai

Ode al triangolo di Pascal-TARTAGLIA-Cardano 4/4 Questo triangolo si trova in qualsiasi campo, o prova; lo lodiamo con diletto ritenendolo perfetto. A cura di Ivana Niccolai

Le prime righe del triangolo di Tartaglia in…combinatoria Ogni combinazione è sempre uguale alla somma delle due combinazioni che si trovano immediatamente sopra... 1 1 0 1 2 2 2 0 1 2 3 3 3 3 0 1 2 3 4 4 4 4 4 0 1 2 3 4 5 5 5 5 5 5 0 1 2 3 4 5 A cura di Ivana Niccolai

A cura di Ivana Niccolai Precisazioni 1/2 Se si usa il triangolo di Tartaglia in combinatoria, si può scrivere: n p per indicare il numero delle disposizioni di n oggetti distinti a p a p, dove: p == [n*(n-1)*(n-2)*…*(n-p+1)]/p! = n!/[p!*(n-p)!] A cura di Ivana Niccolai

A cura di Ivana Niccolai Precisazioni 2/2 0 = 1, per il principio di permanenza delle proprietà formali. Nel libro «GIOCANDO CON L’INFINITO – Matematica per tutti », di Rozsa Péter, a cura di Corrado Mangione, Prima edizione italiana: aprile 1973, si afferma: “C'è un'unica maniera di ritrarre la mano senza aver preso nulla da una sacca vuota, quindi possiamo considerare 1 il numero delle combinazioni  di zero elementi a partire da zero elementi“. A cura di Ivana Niccolai

A cura di Ivana Niccolai Esempi 1/2 Quanti modi abbiamo di disporre 6 oggetti a 4 a 4? Sono tanti quanti sono i modi di disporne 5 a 3 a 3 più i modi di disporne 5 a 4 a 4 Infatti: 15 = 10 + 5 A cura di Ivana Niccolai

A cura di Ivana Niccolai Esempi 2/2 Quanti modi abbiamo di disporre 7 oggetti a 3 a 3? Sono tanti quanti sono i modi di disporne 6 a 2 a 2 più i modi di disporne 6 a 3 a 3. Infatti: 35 = 15 + 20 A cura di Ivana Niccolai

A cura di Ivana Niccolai Il gioco del soldatino A cura di Ivana Niccolai

Spiegazione del gioco del soldatino In A si sistema un soldatino; si lancia una moneta: se viene testa, il soldatino va in basso a destra (cioè in C), se viene croce va in basso a sinistra (cioè in B) e così via. A cura di Ivana Niccolai

Domande relative al gioco del soldatino Quante strade portano in B? Quante in C? Quante in E? Ecc. In quali caselle finali sarà bene scommettere che il soldatino andrà a finire? A cura di Ivana Niccolai

Risposte 1) Osservando il numero delle strade che conducono nelle varie caselle, contrassegnate da una lettera dell’alfabeto, si arriva al triangolo di Pascal-Tartaglia-Cardano. 2) Tale triangolo fornisce, qui, una distribuzione casuale del tipo “a campana”. A cura di Ivana Niccolai

La tavola di Galton (o quinconce) I II III IV V VI Quinconce (deriva dal latino quincunx, quincuncis) : genericamente, nell’antica Roma, frazione di 5/12 dell’unità. A cura di Ivana Niccolai

Quinconce di 5 righe di bulloni Ho considerato 32 palline di vetro e il quinconce di 5 righe di bulloni, bulloni ben distanziati tra loro, in modo uniforme e righe così suddivise: I riga : 1 bullone II riga: 2 bulloni III riga: 3 bulloni IV riga: 4 bulloni V riga: 5 bulloni A cura di Ivana Niccolai

A cura di Ivana Niccolai Come si costruisce Materiale occorrente: Cartone di una scatola da scarpe e palline di vetro Bulloni da sistemare secondo la disposizione data dal triangolo di Pascal-Tartaglia-Cardano Due alette di cartone da mettere sul retro, perché possa stare inclinata Coperchio della scatola (in cui sistemare, poi, la tavola di Galton) Stuzzicadenti da posizionare,opportunamente, in fondo, per delimitare le vie di uscita A cura di Ivana Niccolai

A cura di Ivana Niccolai Come si gioca Si fanno partire, una alla volta, le palline di vetro dalla posizione 1 del vertice in alto: esse si distribuiranno, nei vari scomparti delimitati dagli stuzzicadenti, in numero maggiore là dove è più probabile arrivare… Le palline stesse formeranno la “curva di Gauss, a campana” A cura di Ivana Niccolai

La sistemazione delle 32 palline Facendo cadere, a una a una, 32 palline ci si aspetta una distribuzione di tali palline nelle seguenti cassette (delimitate dagli stuzzicadenti): I cassetta: 1 pallina II cassetta: 5 palline III cassetta: 10 palline IV cassetta: 10 palline V cassetta: 5 palline VI cassetta: 1 pallina Si nota che 1 – 5 – 10 – 10 – 5 – 1 sono i valori che si rintracciano facilmente nel triangolo di Pascal-Tartaglia-Cardano A cura di Ivana Niccolai

Una tavola di Galton a sei righe di prismi esagonali 1/2 Nella figura, a sinistra, è schematizzata, in assonometria, la versione più diffusa della tavola di Galton A cura di Ivana Niccolai, con il contributo di Dino Liberatore

Una tavola di Galton a sei righe di prismi esagonali 1/2 I bulloni, fissati su un pannello di base, sono sostituiti da prismi esagonali di legno e tutti uguali tra loro. Ponendo nell’imbuto superiore varie biglie, queste scendono nei vari scomparti sottostanti (data la pendenza della base inferiore) e, una volta scese, si distribuiscono seguendo l’andamento della curva di Gauss. Nell’immagine, che si trova nella diapositiva seguente, vengono visualizzati tutti i possibili percorsi che le biglie possono seguire fino alla quarta riga di esagoni (ed è semplice ritrovare il noto “triangolo di Tartaglia”!) A cura di Ivana Niccolai, con il contributo di Dino Liberatore

Tutti i percorsi possibili delle biglie fino alla quarta riga… A cura di Ivana Niccolai, con il contributo di Dino Liberatore

Apparecchio di Bittering 1/2 Nella figura a sinistra è schematizzata, in assonometria, la versione più diffusa dell’apparecchio di Bittering A cura di Ivana Niccolai, con il contributo di Dino Liberatore

Apparecchio di Bittering 2/2 Il materiale per la sua costruzione può essere compensato o legno e occorrono biglie, o pallini di piombo, che inizialmente vengono disposti nello scomparto superiore centrale. Inclinando una prima volta l’apparecchio, questi vanno a occupare i due scomparti centrali e sottostanti a quello di partenza, distribuendosi in essi uniformemente. Si prosegue così di seguito fino a quando i pallini avranno occupato tutti gli scomparti superiori: a questo punto si può constatare facilmente che la distribuzione finale delle biglie è “a campana”, simile a quella ottenuta con la tavola di Galton. A cura di Ivana Niccolai, con il contributo di Dino Liberatore

A cura di Ivana Niccolai, con il contributo di Dino Liberatore Le prime tre fasi di tutti i possibili percorsi delle biglie con le relative probabilità A cura di Ivana Niccolai, con il contributo di Dino Liberatore

Il triangolo di Pascal-Tartaglia-Cardano in algebra (x+y)0=1 coefficienti: 1 (x+y)1=1x+1y coefficienti: 1 1 (x+y)2=1x2+2xy+1y2 coeff.: 1 2 1 (x+y)3=1x3+3x2y+3xy2+1y3 coeff.: 1 3 3 1 (x+y)4=1x4+4x3y+6x2y2+4xy3+1y4 coeff.: 1 4 6 4 1 Ecc. TORNA A cura di Ivana Niccolai

1 1 2 3 5 8 13 21 Serie di Fibonacci 1 1 1 1 2 1   1 = 1 1 + 1 = 2 1 + 2 = 3 1 + 3 + 1 = 5 1 + 4 + 3 = 8 1 + 5 + 6 + 1 = 13 1 1 3 3 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 1 1 7 35 35 21 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 La serie è stata chiamata “Numeri di Fibonacci " da Lucas (1842-1899). Mgio Melis

Un altro interessante contributo di Ivana Niccolai sulla serie di Fibonacci http://www.maecla.it/bibliotecaMatematica/go_file/Conigli%20di%20FIBONACCI.pdf torna Mgio Melis

Nella seconda diagonale si trova la sequenza dei Numeri naturali 1 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 1 5 10 10 5 6 15 20 15 6 1 1 7 1 21 35 35 21 1 7 8 1 28 56 70 56 28 1 8 36 9 1 9 36 84 126 126 84 1 Mgio Melis

1 Multipli di 2 1 1 1 2 1 1 3 3 1 4 1 1 4 6 1 5 10 10 5 1 1 1 6 15 20 15 6 7 35 21 1 1 7 21 35 28 8 1 1 8 28 56 70 56 36 9 1 9 36 84 126 126 84 1 Mgio Melis

1 Numeri dispari 1 1 2 4 6 10 20 8 70 28 36 56 84 126 1 1 1 3 3 1 1 1 1 1 5 5 15 15 1 1 1 21 35 35 21 7 1 7 1 1 1 9 9 1 Mgio Melis

sono tutti divisibili per 7. Se il primo elemento in una riga è un numero primo, tutti i numeri della riga (escluso 1) sono divisibili per esso. 1 1 1 1 2 1 Per esempio, nella riga 7 (1- 7- 21- 35- 35 -21- 7- 1) 7, 21 e 35 sono tutti divisibili per 7. 1 3 3 1 6 4 1 1 4 5 10 1 1 20 15 6 1 1 6 15 35 21 7 1 1 1 28 56 70 56 28 8 1 8 9 1 9 36 84 126 126 84 36 1 torna Mgio Melis

Sommando i numeri delle righe, si trovano le potenze di 2 1 1+1=2 1 1 2 1+2+1=4; 22 1 1 1 3 3 1 1+3+3+1=8; 23 4 1 1 4 6 1 5 10 10 5 1 6 15 20 15 6 1 1 21 35 21 7 1 1 7 35 56 70 56 28 8 1 1 8 28 torna 84 9 1 9 36 84 126 126 36 1 Mgio Melis

1 Numeri esagonali 1 1 1 2 1 1 3 3 1 4 1 1 4 6 1 5 10 10 5 1 1 1 6 15 20 15 6 7 35 21 1 1 7 21 35 28 8 1 1 8 28 56 70 56 36 9 1 1 9 36 84 84 126 126 Mgio Melis

1 6 15 28 45 66 Mgio Melis

Un’ esperienza che ha coinvolto i bambini di una seconda classe con la loro maestra, Ivana Niccolai http://www.scuolasanteodoro.com/numeripentagonali.htm vai Mgio Melis

Il fiore Moltiplica i numeri contenuti nelle cellette verdi 1*5*6=30 Moltiplica i numeri contenuti nelle cellette arancioni: 1*3*10=30 1 1 Un altro esempio: 7*15*56=5880 6*28*35=5880 1 2 1 1 3 3 1 4 1 1 4 6 Il prodotto è lo stesso 1 5 10 10 5 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 21 1 1 7 35 70 56 28 8 1 56 1 8 28 36 9 1 9 36 84 126 126 84 1 Mgio Melis

Scomponiamo tutti i numeri in fattori primi 6 35 28 15 7 Scomponiamo tutti i numeri in fattori primi 56 6 2 3 28 35 7 5 15 5 3 56 7 8 7 4 2 7 7 2 4 I fattori in queste cellette sono: 23*3*5*72= 5.880 I fattori in queste altre cellette sono gli stessi: 23*3*5*72= 5.880 torna Mgio Melis

Aggiungendo dei numeri triangolari come indicato nella tabella qui sotto: Numeri che si sommano Totale 1 1+3 4 1+3+6 10 1+3+6+10 20 1+3+6+10+15 35 1+3+6+10+15+21 56 1+3+6+10+15+21+28 84 1+3+6+10+15+21+28+36 120 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 si trova la sequenza dei numeri tetraedrici (quarta diagonale del triangolo): I numeri tetraedrici sono pari, tranne ogni quarto numero che è dispari (Conway, 1996). Mgio Melis

10 1 4 torna Mgio Melis

Tartaglia e Sierpinski Ecco l'animazione dove i quadratini neri sono i dispari mentre i gialli sono i pari. Tartaglia e Sierpinski ovvero Uno sguardo ai frattali con il LOGO Come il matematico Giorgio Pietrocola reinterpreta il triangolo aritmetico e ci fa scoprire il frattale conosciuto come il “"Triangolo di Sierpinski"” torna

Si trovano nella terza diagonale I Numeri triangolari Si trovano nella terza diagonale 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 4 1 1 4 6 1 5 10 10 5 1 6 15 20 15 6 1 1 21 7 21 35 1 1 7 35 28 8 1 28 56 70 56 1 8 9 84 126 126 84 36 9 1 1 36 Curiosità… Mgio Melis

Numeri Triangolari 1 3 6 10 Mgio Melis

15 21 28 Per scoprire i tre nuovi numeri triangolari, si aggiunge una nuova fila al triangolo. 15 21 28 Mgio Melis

ogni termine aumenta di 1 E’ possibile estendere questa sequenza: 1 3 6 10 15 28 21 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +1 +1 +1 +1 +1 Vai a curiosità ogni termine aumenta di 1 L’ottavo termine sarà: 28 + 8= 36 Il nono termine sarà: 36 + 9= 45 Il decimo termine sarà: 45 + 10= 55 Il numero triangolare n-esimo, Tn, è: Tn = n(n+1)/2 Mgio Melis

Gli unici numeri di Fibonacci che sono anche numeri triangolari sono Proprietà dei numeri triangolari: Gli unici numeri di Fibonacci che sono anche numeri triangolari sono 1, 3, 21 e 55. Ogni numero esagonale è anche un numero triangolare. La somma di due numeri triangolari successivi è sempre un numero quadrato: T1 + T2 = 1 + 3 = 4 = 2 al quadrato T2 + T3 = 3 + 6 = 9 = 3 al quadrato Un numero triangolare non termina mai con le cifre 2, 4, 7, 9 Se un numero triangolare si moltiplica per 9 e si aggiunge 1, si trova un altro numero triangolare: (9xT) + 1 9xT1 + 1 = (9 x 1) + 1 = 10 = T4 9xT3 + 1 = (9 x 6) + 1 = 55 = T10 Se si moltiplica un numero triangolare per 8 e si aggiunge 1, si trova un numero quadrato: 8xT1 + 1 = 8 x 1 + 1 = 9 = 3 al quadrato 8xT2 + 1 = 8 x 3 + 1 = 25 = 5 al quadrato Mgio Melis

Numeri quadrati: 1+3=4 3+6=9 6+10=16 10+15=25 15+21=36 21+28=49 28+36=64 1 I numeri quadrati si leggono nella terza diagonale, dove si trovano anche i numeri triangolari 1 1 1 2 1 1 3 3 1 6 4 1 1 4 1 5 10 10 5 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 1 1 7 28 8 1 28 56 70 56 1 8 36 126 84 9 1 9 36 84 1 126 Mgio Melis

1 4 9 16 torna Mgio Melis

Aritmetica modulare e “ Effetto Tartaruga”…

resto modulo 4. i numeri, cioè, sono divisi per 4 e il colore rappresenta il resto. 0; multipli di 4 come 8,12... Giallo 1; numeri come 1,5,9,13...nero 2; numeri come 2,6,10,14...rosso 3; numeri come 3,7,11,15...verde Giorgio Pietrocola

Ecco la stessa cosa con la successiva potenza del due Giorgio Pietrocola

Considerando multipli (in giallo) e non multipli (scuri)  dei numeri da 2 a 28 e osservando le prime 165 linee del nostro famigerato triangolo, ecco che cosa si ottiene: Giorgio Pietrocola

“I numeri contengono segreti che vale la pena scoprire “I numeri contengono segreti che vale la pena scoprire!” diceva Pitagora ai suoi allievi Modelli, che passione! Colorando le celle del triangolo, i bambini hanno fatto altre scoperte!! Mgio Melis

“Tutti i multipli di 8 sono anche multipli di 4. M di 8 Confrontando il modello dei multipli di 8 con quello dei multipli di 4 si nota che sono molto differenti. “Tutti i multipli di 8 sono anche multipli di 4. I multipli di 4 non sono necessariamente multipli di 8”. 1 Multipli di 4 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 Multipli di 4 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 Multipli di 8 Multipli di 4 1 2 3 6 4 5 10 15 20 7 8 9 21 35 28 56 70 36 84 126 45 120 210 252 Mgio Melis

Un numero divisibile per 9 1 1 1 M di 3 1 2 1 Alcuni multipli di 3 sono anche multipli di 9 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 1 1 M di 9 1 2 1 Un numero divisibile per 9 è divisibile anche per 3 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 Mgio Melis

Se un numero è multiplo di 2 e di 3, allora è multiplo di 6 36 84 84 126 126 36 120 210 252 210 120 Multipli di 6 Se un numero è multiplo di 2 e di 3, allora è multiplo di 6 M di 3 M di 2 2 3 3 6 4 6 4 10 10 6 15 15 6 6 20 6 21 21 8 28 56 70 56 28 8 9 36 84 126 126 84 36 9 36 84 126 126 84 36 45 120 210 252 210 120 45 10 120 210 252 210 120 10 Mgio Melis

Se un numero è multiplo di 2 e di 5 è anche multiplo di 10 Multipli di 10 Se un numero è multiplo di 2 e di 5 è anche multiplo di 10 2 6 4 10 20 8 28 56 70 36 84 126 120 210 252 M di 2 M di 5 5 10 10 5 15 20 15 35 35 70 10 45 120 210 210 120 45 10 1 2 3 6 4 5 10 15 20 7 8 9 21 35 28 56 70 36 84 126 45 120 210 252 Mgio Melis

- e che ho imparato a stimare e ad apprezzare - E’ certo! Non abbiamo scoperto tutti i segreti che questo meraviglioso triangolo nasconde. La ricerca continua ed è aperta ai contributi e alla curiosità cognitiva di ognuno. Sento anche di dire che questa esperienza di lavoro collaborativo con due colleghi che conosco solo ‘virtualmente’ - e che ho imparato a stimare e ad apprezzare - mi ha sicuramente arricchita. Ivana Giorgio Vi ringrazio! Maria Giovanna