le equazioni diofantee Che cosa sono? Università della LiberEtà Giuseppina Trifiletti

Le equazioni incontrate nel problema cinese della lezione precedente, sono equazioni diofantee, 6 equazioni delle quali si dovevano trovare le soluzioni comuni. PROBLEMA 1 Al cinema ITRENI gli uomini entrano pagando 8€, le donne con 4€. Sapendo che l’incasso è stato di 130 euro, quanti uomini e quante donne sono entrate? La seguente è l’equazione DIOFANTEA del problema. Ha soluzioni?

PROBLEMA 2 Al cinema ITRENI gli uomini (U) entrano pagando 8 euro, le donne (D) con 4€ e i bambini (B) 2€. Sapendo che in tutto le persone sono 26 e che l’incasso è stato di 144 euro, quanti uomini, quante donne e quanti bambini sono entrati? Ha soluzioni?

vedi soluzione problema 3 All'ultimo salone francese del rompicapo matematico, 100 giovani visitatori hanno speso 2000 franchi. Ogni liceale ha speso 100 franchi, ogni studente di scuola media ha speso 20 franchi e ogni scolaro di scuola elementare 5 franchi. Trova il numero degli scolari di scuola elementare, degli studenti delle medie e dei liceali. vedi soluzione problema 3

Soluzione problema 3 Indichiamo con x, y, z il numero di studenti rispettivamente della scuola elementare, media, superiore. Da cui si ottiene l’equazione diofantea Le soluzioni devono essere numeri interi. Per ragioni di divisibilità per 3, z deve essere un multiplo di 3 al più uguale a 15 (essendo 18x19>300) otteniamo così 5 soluzioni x = num. scolari elementari Y = num. studenti medie Z = num. studenti superiori 16 81 3 32 62 6 48 43 9 64 24 12 80 5 15

l’equazione di Diofanto il caso più semplice l’equazione può non avere soluzioni, può averne un numero finito o un numero infinito. Ammette almeno una soluzione se e soltanto se c è multiplo del MCD(a,b) Torna all’inizio

Diofanto Diofanto di Alessandria è noto come il padre dell’algebra. Della sua vita si sa ben poco; non sappiamo neppure il secolo in cui è vissuto, probabilmente tra il 150 ed il 250 d.C. Alcuni ritengono che sia stato l'ultimo dei grandi matematici greco-ellenistici. Diofanto scrisse un trattato sui numeri poligonali e sulle frazioni, ma la sua opera principale è l'Arithmetica, trattato in tredici volumi dei quali soltanto sei sono giunti fino a noi. La sua fama è principalmente legata a due argomenti: le equazioni indeterminate ed il simbolismo matematico.

clicca qui se vuoi saltare la dimostrazione e andare alla conclusione TEOREMA: data l’equazione l’equazione ammette una soluzione se e soltanto se c è multiplo del MCD(a,b) L’equazione del problema 1: (D=x, U=y), non ammette soluzioni, infatti a=4, b=8, MCD(4,8)=4, c=130 non è multiplo di 4 ammette invece soluzioni intere, infatti a=4, b=8, MCD(4,8)=4, c=160 è multiplo di 4 clicca qui se vuoi saltare la dimostrazione e andare alla conclusione

come volevasi dimostrare PRIMA PARTE: data l’equazione IPOTESI: si sa che c=d.q, cioè si sa che c è multiplo del MCD TESI: allora esiste almeno una soluzione intera DIMOSTRAZIONE Per l’algoritmo di Euclide, esistono due numeri interi, k e l, tali che la coppia (k,l) verifica la seguente uguaglianza Ricorda che Se c=d.q, l’equazione ax+by=c ammette la soluzione particolare (x0=kq, y0=lq) infatti se moltiplico per q da ambedue le parti ottengo come volevasi dimostrare cioè

come volevasi dimostrare SECONDA PARTE: viceversa … scambio ipotesi e tesi IPOTESI: si sa che l’equazione ax + by = c ammette una soluzione intera (x0,y0) TESI: allora c deve essere multiplo di d DIMOSTRAZIONE Ricorda!  dove q è un numero intero Quindi c = q.d cioè c è multiplo di d come volevasi dimostrare

Perché? IN CONCLUSIONE (1) l’equazione (1) ammette una soluzione se e soltanto se c è multiplo del MCD(a,b). Se c è multiplo del MCD(a,b) si può trovare inizialmente una soluzione particolare dell’equazione (1) che chiamiamo (x0,y0), tutte le altre si trovano con le seguenti formule r numero intero qualunque Perché? clicca qui se vuoi saltare il perché e fare solo gli esercizi

 (1) (2) rb/d ed ra/d sono numeri interi Le (2) soddisfano l’equazione (1) dato che è vera l’uguaglianza ax0+by0=c Perché questo sistema rappresenta tutte le soluzioni? (2) rb/d ed ra/d sono numeri interi x e y soddisfano l’equazione (1), infatti basta sostituire nell’equazione a x e y le (2) (1) Ma perché solo le (2) soddisfano l’equazione(1)? 

Risolvere la seguente equazione diofantea Soluzioni intere (anche negative quindi) Una soluzione particolare è (-29,-29), cioè x0=-29, y0=-29 Utilizzando le seguenti formule si ottengono le infinite soluzioni : Una soluzione generica è (-29-4r,-29-3r) con r numero intero qualsiasi

Una soluzione generica è (18-4r,12-3r) Risolvere la seguente equazione diofantea Soluzioni intere (anche negative quindi) Una soluzione particolare è (18,12) Una soluzione generica è (18-4r,12-3r)

PROBLEMA 2 Al cinema ITRENI gli uomini (U) entrano pagando 8 euro, le donne (D) con 4€ e i bambini (B) 2€. Sapendo che in tutto le persone sono 26 e che l’incasso è stato di 144 euro, quanti uomini, quante donne e quanti bambini sono entrati?

N.B. Soluzione particolare dell’equazione del probl. 2 non accettabile per il problema Soluzione generale dell’equazione Ma per il problema…deve essere N.B. quindi

soluzioni del problema: numeri interi positivi 14/3 10 20 r

SPUNTI TRATTI da vari siti internet dal testo CHE COSA è LA MATEMATICA, di Courant e Robbins, Universale Scientifica Boringhieri da personali riflessioni