Che cos’è la matematica? “Scienza che, avvalendosi di metodi deduttivi, studia le proprietà di entità astratte quali i numeri, le figure geometriche e simili, le relazioni che si stabiliscono tra di loro e la possibilità di applicazione dei suoi risultati alle altre scienze” (Dizionario Zingarelli) “La matematica è quella materia nella quale non si sa di cosa si sta parlando, né se ciò che si sta dicendo sia vero” (B. Russell) “La matematica ti diverte ed è un gioco” (alunno di 5a primaria)

A cosa serve la matematica? “… A niente!” (vox populi) “Perché quando vado al mercato mi fregano i soldi invece con i conti della matematica non mi fregano niente!” (alunno di 5a primaria) “L’educazione matematica contribuisce alla formazione del pensiero nei suoi vari aspetti: di intuizione, di immaginazione, di progettazione, di ipotesi e deduzione, di controllo e quindi di verifica o smentita. Essa tende a sviluppare … concetti, metodi e atteggiamenti utili a produrre le capacità di ordinare, quantificare e misurare fatti e fenomeni della realtà e a fornire le abilità necessarie per interpretarla criticamente e per intervenire consapevolmente su di essa” (Programmi Ministeriali del 1985)

Il contratto didattico “In una situazione di insegnamento, preparata e realizzata da un insegnante, l’allievo ha generalmente come compito di risolvere il problema (matematico) che gli è presentato, ma l’accesso a questo compito si fa attraverso un’interpretazione delle domande poste, delle informazioni fornite, degli obblighi imposti che sono costanti del modo d’insegnare del maestro. Queste abitudini (specifiche) del maestro attese dall’allievo ed i comportamenti dell’allievo attesi dal docente costituiscono il contratto didattico” (G. Brousseau, Les échecs électifs dans l’enseignement des mathématiques à l’école élémentaire)

Esempi di contratto didattico (I) Clausola del contratto. “L’unico scopo della scuola è valutare rendimento e capacità degli allievi”. Consegna dell’insegnante. Descrivere liberamente e con parole proprie le altezze di un triangolo. Risposta dell’allievo. Poiché si suppone che dietro la consegna vi sia un intento valutativo, si cercherà di usare un linguaggio niente affatto “libero” ma il più possibile rigoroso, col risultato di scimmiottare in modo maldestro il linguaggio del libro di testo o dell’insegnante.

Esempi di contratto didattico (II) Clausola del contratto. “In matematica si devono fare dei calcoli”. Consegna dell’insegnante. Risolvere un certo problema esprimendo la soluzione a parole. Risposta dell’allievo. L’allievo cerca comunque di fare uso dei dati numerici presenti nel problema e di produrre una risposta formale, anche eseguendo operazioni a caso.

Esempi di contratto didattico (III) Clausola del contratto. “Lezioni e interrogazioni si svolgono secondo modalità prestabilite”. Iniziativa dell’insegnante. Un insegnante abituato ogni lunedì a far svolgere esercizi alla lavagna decide, un lunedì di assegnare esercizi dal posto; un insegnante che di solito interroga solo sull’ultima lezione decide di interrogare anche su lezioni passate. Reazione dell’allievo. La reazione è di sorpresa per l’inattesa variazione al programma previsto.

Clausole del contratto didattico nel problem solving matematico (I) Clausola di completezza. I dati presenti in un problema matematico sono sufficienti a risolverlo. Violazione della clausola. Problema del pastore. “Un pastore ha 12 pecore e 6 capre. Quanti anni ha il pastore?”

Di fronte a un problema impossibile… “Ma un alunno più grande e più bravo di te in matematica, o il professore, potrebbero riuscire a risolverlo?” “Sì, certo! E’ un professore…” Il treno Eurostar 725 Firenze-Milano parte con 325 passeggeri a bordo. Quanti posti restano liberi sul treno?

Clausole del contratto didattico nel problem solving matematico (II) Clausola di minimalità. I dati presenti in un problema matematico sono necessari per risolverlo. Violazione della clausola. Problema dell’autobus. “Un autobus parte dal capolinea con 12 persone a bordo. Alla prima fermata ne scende una e salgono 4 nuovi passeggeri; alla fermata successiva, scendono 2 passeggeri e ne salgono 6; alla fermata dopo, salgono 6 passeggeri e ne scendono 3; alla fermata dopo, scendono 3 passeggeri e ne salgono 2; alla fermata dopo, salgono 4 passeggeri e ne scendono 4. Quante fermate ha fatto l’autobus?”

Quale dei seguenti dati superflui sarà riconosciuto più difficilmente? 1) Luigi, un uomo di 36 anni, ama le gare podistiche. Per prepararsi a una corsa, si è allenato per 30 giorni correndo in media 13 km al giorno. Quanti km ha percorso nel periodo del suo allenamento? 2) Per acquistare una cassa di mele del peso di 36 kg un negoziante ha pagato 25 Euro. L’ha rivenduta incassando 58 Euro. Qual è stato il suo guadagno?

Clausole del contratto didattico nel problem solving matematico (III) Clausola di coerenza. I dati presenti in un problema matematico non devono essere contraddittori. Violazione della clausola. Problema del Giro d’Italia. “Le 21 tappe del Giro d’Italia sono lunghe in tutto 3756 km. Dopo 17 tappe i corridori hanno percorso 4208 km. Quanti km mancano alla conclusione del Giro?”

Clausole del contratto didattico nel problem solving matematico (IV) Clausola di esplicitazione. I dati presenti in un problema matematico devono essere esplicitati nel testo. Violazione della clausola. Problema della gita. “18 allievi di seconda vogliono fare una gita di un giorno da Bologna a Verona. Devono tener conto dei seguenti dati. 1. due di essi non possono pagare; 2. da Bologna a Verona ci sono 120 km; 3. un pullmino da 20 posti costa 150 Euro al giorno più 50 centesimi al km (compresi i pedaggi autostradali). Quanto verrà a spendere ciascuno?”

Clausole del contratto didattico nel problem solving matematico (V) Clausola di delega formale. Una volta individuati i dati e l’operazione da effettuare, l’unica cosa che conta è trascrivere il risultato indipendentemente da ciò che esso significa. Violazione della clausola. Problema del bus militare. “Un bus dell’esercito trasporta 36 soldati. Se 1128 soldati devono essere trasportati in bus al campo di addestramento, quanti bus devono essere usati?”

Clausole del contratto didattico nel problem solving matematico (VI) Clausola di giustificazione formale. In matematica si devono per forza fare dei calcoli; se ciò è impossibile, vanno ipotizzati i dati mancanti. Violazione della clausola. Problema del borsellino. “Giovanna e Paola vanno a fare la spesa. Giovanna spende 10 Euro e Paola spende 20 Euro. Alla fine chi ha più soldi nel borsellino, Giovanna o Paola?”

Clausole del contratto didattico nel problem solving matematico (VII) Clausola di verosimiglianza. La situazione descritta nel problema dev’essere verosimile. Violazione della clausola. Problema dell’automobile. “Un tale acquista un’automobile per 40 Euro e la rivende a 20.000 Euro. Quanto guadagna?”

Alcuni spunti per attività in classe: ampliare il concetto di “problema” 1) Olga e Vera, le due insegnanti della IIIC, sono alla cattedra di fronte ai loro alunni. Olga conta 21 alunni e anche Vera conta 21 alunni. Quanti sono gli alunni della IIIC? 2) Marco e Luigi sono stati allo zoo e hanno osservato a lungo la gabbia delle scimmie. Marco ha contato 4 scimmie e Luigi 6. Quante scimmie c’erano nella gabbia? 3) Un contadino va al mercato per vendere alcune sue galline e tutti i suoi 12 conigli. Vende 4 galline. Quanti conigli gli restano? 4) La merendina preferita di Luca ieri costava 44 centesimi, oggi ne costa 43. Quanti centesimi costerà domani?