Fabrizio Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2008-2009 CURVE e SUPERFICIE 1: Modelli matematico e categorie comuni (morfologia ingenua) delle curve: la doppia natura delle coniche

Curve e superficie 1: le curve antiche introduzione Linee e superfici come astrazioni percettive: specificazioni del paradigma del tipo L’originaria doppia natura dei modelli geometrici delle curve e delle superficie: come leggi del moto di un punto e come sezione di corpi NOZIONI BASILARI le antiche coniche 1. coniche come “luoghi solidi” 1.1 le coniche di Menecmo 1.2 le coniche di Apollonio 2. coniche come luoghi geometrici del piano 2.1 fuochi 2.2 direttrici ed eccentricità F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2008-2009

Che forma ha? / Che forma è? F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2008-2009

Curve e superficie come attributi della forma dei corpi F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2008-2009

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Modello geometrico delle curve e delle superficie F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2008-2009

Luoghi legittimi: cinematismi piani e grafici delle Funzioni La curva come luogo di punti è immaginata come prodotta da un cinematismo piano a un solo grado di libertà; è dunque il Luogo delle posizioni consecutive di un punto in movimento secondo una legge data come relazione analitica fra le coordinate x e y del piano (soddisfatta da tutti e soli i punti della curva): equazione della curva. 1) ciascuna coordinata è espressa come funzione di un parametro (ad esempio il tempo) x = f (t), y = g (t) 2) oppure entrambe le coordinate sono espresse in una sola equazione f (x,y) = 0 in forma cartesiana o polare. A esempio in forma polare…: F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2008-2009

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Grado delle equazioni e ORDINI delle curve Se f(x, y) è un polinomio (ridotto) di grado m, la curva è algebrica di Ordine m (di primo grado per una retta, di secondo grado per una conica). L’ordine ha il noto significato proiettivo del massimo numero di intersezioni con una retta del piano proiettivo. La curva si dice algebrica oppure trascendente secondo che sia algebrica o trascendente la sua equazione Il punto doppio si conta due volte L’ordine di una curva non dipende dal tipo coordinate (cartesiane, polari, bipolari …) nei quali è rappresentata la sua equazione poiché le relazioni che permettono il passaggio da un sistema di riferimento cartesiano a un altro sono lineari e dunque l'ordine di una curva algebrica rimane invariato quando si cambia sistema di riferimento. F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2008-2009

Punti speciali di una curva MULTIPLO - Se una curva torna su stessa una o più volte il punto nel quale avviene questo ritorno assume generalmente tangenti distinte ed è nominato PUNTO DOPPIO o TRIPLO o MULTIPOLO. Le tangenti possono coincidere, o divenire a coppie immaginarie coniugate. NODO - In un punto doppio le tangenti possono essere reali e distinte e allora il punto si dice NODO; CUSPIDE - possono essere invece reali e coincidenti, allora quel punto è una CUSPIDE e le tangenti reali e coincidenti invertono il loro senso. ISOLATO - Le tangenti nel punto doppio possono anche essere immaginarie e coniugate, allora il punto si dice ISOLATO. ASINTOTICO è un punto attorno al quale la curva compie infinite evoluzioni. Per dualità nel piano dall’idea di punto multiplo si ammette quella di tangenti multiple aventi con la curva multipli punti di contatto. Una tangente doppia sega la curva in due punti reali e distinti o coincidenti, oppure immaginari e coniugati; tali punti sono detti DI FLESSO; F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2008-2009

TANGENTE di una curva e curva come INVILUPPO La tangente in un generico punto A di una curva piana è la posizione limite della secante in A e in un punto A' quando A' tende a A. il variare del coefficiente angolare delle tangenti si esprime traducendo la forma esplicita dell’equazione y = f(x) nella funzione sua derivata prima y'(x). La curva è così anche l’INVILUPPO delle sue rette tangenti, si può immaginare ogni suo punto come generato dal moto di una retta che interseca in ogni istante la sua posizione precedente. Una curva è l’insieme dei punti di contatto della famiglia delle sue tangenti. F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2008-2009

Luoghi legittimi: cinematismi spaziali a due gradi di libertà e funzioni rappresentati superficie Superficie è ogni oggetto topologico localmente omeomorfo al piano; lo si può immaginare descritto dal moto di una curva (generatrice) lungo un’altra curva (direttrice) e dunque assimilabile a un cinematismo a tre dimensioni e due gradi libertà In quanto tale (sia come luogo di punti o inviluppo di piani) una superficie può essere descritta con funzioni di tre variabili, se l’equazione è algebrica la si dice algebrica e il suo ordine equivale al grado del polinomio. I piani sono superficie di primo ordine, le quadriche di secndo, le cubiche di terzo, le quartiche del quarto… F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2008-2009

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1.1 Coniche di Menecmo 1. STEROI TOPOI (luoghi solidi) ORTOTOMA OXITOMA AMBLITOMA F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2008-2009

Cono rettangolo ORTOTOMA Cono acutangolo OXITOMA Cono ottusangolo AMBLITOMA F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2008-2009

1.2 Coniche di Apollonio superficie conica rotonda è il luogo delle rette g (generatrici) che passano per un punto V (vertice) di una retta v (asse) e che formano con v un angolo  costante. Sezione conica è la curva (necessariamente chiusa) nella quale un piano taglia una superficie cnica rotonda. F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2008-2009

Un qualunque piano  (non passante per V) taglia la superficie conica in una curva simmetrica lungo un asse detto asse focale o asse principale della sezione conica. Tale asse focale è l’intersezione del piano  della conica con il piano ad esso  che passa per l’asse v della superficie conica e dunque è anche un piano di simmetria della superficie. L’asse focale incontra la curva nei suoi due apsidi A1 e A2, vertici principali della conica la cui distanza 2a misura la lunghezza dell’asse focale. Conica (sezione) Apside A1 Apside A2 2a asse focale F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2008-2009

parabola iperbole ellisse L’asse focale della sezione conica può formare un angolo rispetto all’asse v uguale, minore o maggiore di  (l’angolo formato dalle generatrici g della superficie) a seconda che il piano  sia // a una, a due o a nessuna generatrice. Nel primo caso  incontra al finito tutte le generatrici tranne quella a esso // per cui la curva, parabola, ha tutti punti propri tranne il suo secondo vertice principale. Nel secondo caso i vertici della curva sono propri ma, essendo  // a due generatrici, la curva, iperbole, ha due punti impropri e dunque consta di due rami. Nel terzo caso  incontra tutte le generatrici al finito e quindi si determina una curva, ellisse o in particolare circolo, composta di tutti punti propri che presenta anche una coppia di vertici secondari agli estremi di un secondo, minore, asse di simmetria ortogonale. iperbole ellisse F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2008-2009

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Consideriamo sezione conica qualunque sezione piana della superficie conica, e dunque è una conica, anche quella ottenuta con un piano sezionante che passi per il vertice della superficie, solo che in quel caso la curva si riduce o a un punto o a una coppia di rette (distinte oppure coincidenti) è detta conica degenere. F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2008-2009

circolo conica degenere F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2008-2009

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Le proprietà metriche e grafiche delle sezioni del cono si deducono da quelle della superficie conica. Il luogo dei punti medi di tutta la schiera di corde parallele di una superficie conica sono i punti di un piano che passa per il vertice e che chiamiamo piano diametrale coniugato alla direzione delle corde //. Così sul piano  della sezione conica il luogo dei punti medi di una schiera di corde // della curva è una retta che viene detta diametro coniugato alla direzione delle corde. Una schiera di piani // taglia generalmente una superficie conica in una serie di coniche centrali omotetiche rispetto al vertice V; quindi il luogo dei centri di queste coniche è una retta che passa per V che viene detta diametro coniugato alla giacitura dei piani // considerati. Segue che (se una sezione conica ha centro) tutti i diametri coniugati passano per il centro della conica. Caso particolare è quello in cui  taglia la superficie conica in una parabola, allora il piano diametrale coniugato a una direzione // a  passa per la generatrice // a . Tutti i diametri di una parabola sono // al suo asse. Nel punto in cui un diametro incontra la conica, la tangente alla conica è \\ alla direzione coniugata a quel diametro. F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2008-2009

2-3. Dalle “diverse” coniche di Apollonio alle coniche come diverse manifestazioni di un unico ente matematico F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2008-2009

2. Coniche come luogo geometrico di punti del piano rispondenti a proprietà metriche 2.1 fuochi F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2008-2009

2.1 Distanze dai FUOCHI F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2008-2009

Come il circolo è il luogo dei punti di un piano equidistanti da un solo punto F (centro), l’ellisse è quello dei punti per i quali è costante la somma delle distanze da due punti F1, F2 detti fuochi, F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2008-2009

l’iperbole è il luogo dei punti per i quali è costante la differenza delle distanze da due fuochi F1, F2, F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2008-2009

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la parabola è il luogo dei punti per i quali è uguale la distanza da un punto F (fuoco) e una retta d (direttrice). direttrice fuoco F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2008-2009

2.2 direttrici F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2008-2009

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2.2 eccentricità Le coniche si possono anche definire come il luogo dei punti P di un piano tali che il rapporto tra la loro distanza PF da un punto F detto Fuoco e la loro distanza Pd da una retta d (corrispondente a F) detta direttrice è sempre costante; tale rapporto si dice eccentricità e= PF/Pd , e per e=1, e<1, e>1 la curva è rispettivamente parabola, ellisse ed iperbole. F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2008-2009

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Significato fisico delle proprietà metriche F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2008-2009

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