Somma fra frazioni algebriche IL PROBLEMA Somma fra frazioni algebriche by Dipartimento di Matematica ITAer “De Pinedo” Roma Esci

Come facevi finora? Fra frazioni numeriche: Fra espressioni letterali semplici: Es: 1 5 ── − ── = 6 9 Es: 1 5 ── − ── = ab b2 ──── = ….. ──── 3 − 10 18 ──── = ….. ──── b − 5a ab2 Cosa fai? Cosa fai? Scomponi in fattori primi i denominatori: Scomponi in fattori primi i denominatori: 6 = 2·3 9 = 32 ab = a·b b2 = b2 Poi calcoli il mcm: Poi calcoli il mcm: 2·32 = 18 a·b2 = ab2 Quindi procedi come di consueto con i numeratori Quindi procedi come di consueto con i numeratori Esci

Procediamo in modo analogo anche per le frazioni algebriche Fra frazioni numeriche: Fra frazioni algebriche: Es: 1 5 ── − ── = 6 9 Es: 1 5 ──── − ──── = (2x+2) (x2+x) ─── ? ?? ──── = ….. ──── 3 − 10 18 Cosa hai fatto ? Cosa faresti? Hai scomposto in fattori primi i denominatori: Devi scomporre in fattori primi i denominatori !!! 6 = 2·3 9 = 32 Ma i denominatori sono polinomi!!! Poi hai calcolato il mcm: Potresti poi calcolare il mcm 2·32 = 18 Quindi hai proceduto come di consueto con i numeratori Quindi procederesti come di consueto con i numeratori Ma allora…. Esci

IL PROBLEMA E’ CAMBIATO: SI DEVONO SCOMPORRE I POLINOMI!! MA ALLORA… IL PROBLEMA E’ CAMBIATO: SI DEVONO SCOMPORRE I POLINOMI!! MA COME SI FA?? Esci

Cosa significa quindi … scomporre un polinomio in fattori? Significa scrivere il polinomio come prodotto di polinomi di grado minore o uguale a quello del polinomio dato ossia: In altri termini: Forma additiva Forma moltiplicativa x2 + x x (x+1) Addendo Addendo Fattore Fattore somma moltiplicazione Polinomio di 2° grado 2 Polinomi di 1° grado Tramite il metodo di scomposizione in fattori Esci

Formula additiva Formula moltiplicativa Alcuni esempi Forma additiva Forma moltiplicativa 3a 6ab Polinomio di 1° grado + 2 Polinomi di 1° grado 3a (1+2b) Addendo somma Fattore moltiplicazione (a+1) (a+2) 2 Polinomi di 1° grado a2 3a 2 Polinomio di 2° grado + Addendo somma Fattore moltiplicazione Esci

Polinomi Riducibili o Irriducibili ? Un polinomio che si può scrivere come prodotto di polinomi ciascuno dei quali di grado minore o al più uguale al polinomio dato Riducibile Irriducibile Un polinomio che non può essere scritto come prodotto di polinomi 3a + 6ab = 3a (1+2b) (verifica:3a·1+3a·2b=3a + 6ab) 3a (1+2b) sono due fattori irriducibili a2 + 3a + 2 = (a+1) (a+2) (verifica: a2+2a+a+4= a2+3a+2) (a+1) e (a+2) sono due fattori irriducibili Esci

Ma come si fa a scomporre un polinomio in fattori? Come ti sarai reso conto il problema della fattorizzazione è diventato molto più complesso. Lavorando con i numeri le difficoltà insorgono quando si trattano numeri “abbastanza grandi”, invece quando si lavora con i polinomi si possono incontrare notevoli difficoltà anche quando consideriamo polinomi di grado “piccolo” Perché accade questo ? Perché non esistono delle regole che consentono, in generale, di trovare la scomposizione di un polinomio E allora come facciamo ? Prima di tutto: NON TI SCORAGGIARE Vai avanti e lo scoprirai !!!! Esci

Linee guida per la scomposizione (1) Esistono, in ogni caso, dei metodi da scegliere in modo opportuno, in funzione del polinomio Non esistono delle regole ben precise per la scomposizione dei polinomi MA Nota Bene: L’abilità nella scelta del metodo più opportuno e nella combinazione dei vari metodi possono essere acquisite solo con l’esperienza e l’esercizio Come si fa a scegliere il metodo più opportuno ? Ci si basa principalmente su due criteri guida Raccogliere a fattor comune il M.C.D., se esiste e se è diverso da 1, tra tutti termini del polinomio Contare i termini che compongono il polinomio Esci

Linee guida per la scomposizione (2) Verificare se è possibile applicare il Metodo di Raccoglimento a Fattor Comune (o Totale) SI POI Applicare la tecnica di Raccoglimento Totale Verificare se il polinomio è ulteriormente scomponibile 1° Passo NO COME ? 2° Passo Contare i termini del polinomio Non sono due, né tre, né quattro o sei oppure Non è possibile applicare nessuna delle tecniche suggerite Sono Due ? Applica la tecnica Differenza di due quadrati Somma o differenza di due cubi Sono Tre ? Applica la tecnica Sviluppo del quadrato di un binomio Un trinomio di secondo grado Applica la tecnica Cubo di un binomio Differenza di due quadrati di cui uno è il quadrato di un binomio Sono Quattro? Quadrato di un trinomio Differenza dei quadrati di due binomi Applica la tecnica Sono Sei ? 3° Passo Allora Per continuare, seleziona una tecnica Tentare con la tecnica di Scomposizione Parziale Tentare con il Teorema e la Regola di Ruffini Esci

Raccoglimento totale (detto anche “a fattor comune”) Osserva per prima cosa se tutti i termini del polinomio sono divisibili per uno stesso fattore perché allora potrai mettere questo fattore in evidenza. Ma come? In pratica metterai in evidenza il M.C.D. dei termini del polinomio, qualora sia diverso da 1, utilizzando, all’inverso, la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione. Esempio 3x2 + 6xy = 3x∙x + 2·3x∙y = 3x∙(x + 2y) Esci

Raccoglimento totale (esempi) Esempio n°1 6a2+2a = 2a∙3a +2a∙1 = 2a∙(3a + 1) Esempio n°2 8a2bx2 + 4abx3- 12a2bx = 4abx·2ax 4abx ∙x2 4abx·3a + − = 4abx · (2ax + x2 − 3a) Esempio n°3 x(a+b)−2y(a+b) = x·(a+b)−2y∙(a+b) = (a+b) · (x - 2y) e ora prova tu Esci

Raccoglimento parziale A volte si possono eseguire prima dei raccoglimenti parziali e poi un raccoglimento totale a x + a y + 2x + 2y = a fattore comune 2 fattore comune a (x + y ) + 2(x + y) = = (x + y) fattore comune (x + y)(a + 2) = continua …… Esci

Raccoglimento parziale (esempi) Esempio n°1 x4 – x3 – x + 1 Il polinomio possiamo pensarlo così x3(x-1)-1(x-1) (x3-1) (x-1) da cui Esempio n°2 2a2+3a+2ab+3b+ac+bc = polinomio da scomporre 2a2+2ab+3a+3b+ac+bc = prop. commutativa dell’addizione 2a(a+b)+3(a+b)+c(a+b) = raccoglimenti parziali e finalmente (a+b)(2a+3+c) = raccoglimento totale di (a+b) e ora prova tu…… Esci

E’ una differenza di quadrati? E’ una somma o una differenza di cubi? Binomio E’ una differenza di quadrati? E’ una somma o una differenza di cubi? Puoi allora utilizzare il teorema di Ruffini per scomporlo così Puoi allora utilizzare il prodotto notevole della somma di due termini per la loro differenza per scomporlo così se è una somma: Segno concorde a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) Segno discorde a2-b2=(a-b)(a+b) se è una differenza: Segno concorde a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) Segno discorde continua …… continua …… Esci 15

Binomio differenza di quadrati Esempio n°1 può essere pensato come = (2x)2-(3)2 4x2 - 9 = (2x + 3)(2x - 3) allora può essere scritto come Esempio n°2 = - 0,01b2 + 0,25a4 -(0,1b)2 + (0,5a2 )2 = (0,1b+0,5a2)(-0,1b+0,5a2) allora può essere scritto come e ora prova tu…… Esci

Binomio somma o differenza di cubi Esempio n°1 può essere pensato come 8x3 - 27 = (2x)3-(3)3 e quindi può essere scritto come segno discorde (2x - 3) [(2x)2 +(2x)(3)+ (3)2] ovvero (2x - 3) (4x2 +6x+ 9) segno discorde Esempio n°2 può essere pensato come a9 + b6c3 (a 3)3+(b2c )3 = e quindi può essere scritto come segno discorde (a 3+ b2c) [(a 3)2 - (a 3)(b2c)+ (b2c)2] ovvero (a 3+ b2c) (a 6 - a 3b2c + b4c2) e ora prova tu…… segno discorde Esci

trinomio notevole o caratteristico! Ci sono due termini che sono quadrati di monomi? E’ un trinomio del tipo x2+sx+p Il terzo termine è il doppio del prodotto dei due monomi? con s e p numeri interi? Allora puoi cercare, se esistono, due numeri interi tali che Allora è il quadrato di un binomio! m+n=s e m∙n=p Esempio: 4a2 – 12ab+ 9b2 e scomporre così il polinomio (x+m)(x+n) (2a)2 (3b)2 Questo è chiamato: trinomio notevole o caratteristico! inoltre 2(2a)(3b) = 12ab Esempio: x2 – 5x +6 4a2 – 12ab+ 9b2 = (2a -3b)2 (-2) + (-3) =-5 e (-2)∙ (-3) = 6 stesso segno allora il trinomio si può scomporre così (x-2) (x-3) continua …… continua …… Esci

Trinomio quadrato di un binomio stesso segno a. 16x4 +8x2 +1 = (4x2 + 1)2 (4x2 )2 12 e 2 (4x2) (1) = 8x2 b. 4x2 +6x +9 allora non è il quadrato di un binomio! (2x)2 32 ma 2 (2x) (3) ≠ 6x c. 25x2 +10x -1 allora non è il quadrato di un binomio ! (5x)2 -1 non è un quadrato e ora prova tu…… Esci 19

Trinomio notevole (x-7)(x+3) (x+10)(x-1) x2-4x-21 (-7)+(+3) = -4 Esempio 1 trovo due numeri la cui somma sia x2-4x-21 (-7)+(+3) = -4 (-7)∙(+3) = -21 trovo due numeri il cui prodotto sia allora il trinomio si può scomporre così (x-7)(x+3) Esempio 2 trovo due numeri la cui somma sia a2+9a-10 (+10)+(-1) = +9 (+10)∙(-1) = -10 trovo due numeri il cui prodotto sia allora il trinomio si può scomporre così (x+10)(x-1) e ora prova tu…… Esci

ma allora si tratta del cubo di un binomio! Quadrinomi Nel quadrinomio ci sono due termini che sono cubi di due monomi? Una volta ordinato il quadrinomio si presenta nella forma x3+3x2y+3xy2+y3 ? ma allora si tratta del cubo di un binomio! (x + y)3 vediamo qualche esempio continua…… Esci

Quadrinomi (esempi) ma allora si tratta del cubo di (a+2b)3 Esempio1 a3 +6a2b +12ab2+8 b3 3 (a)2(2b) 3 (a) (2b)2 (a)3 (2b)3 ma allora si tratta del cubo di (a+2b)3 Esempio 2 8x3 -12x2y +6xy2-y3 3(2x)2(-y) 3(2x) (-y) 2 (2x)3 (-y)3 ma allora si tratta del cubo di (2x-y)3 e ora prova tu…… Esci

Cosa sono i fattori primi ? Cosa sono i numeri primi ? I fattori primi di un numero intero positivo sono i numeri primi che lo dividono esattamente, dando resto 0. Un numero naturale diverso da zero è primo se si può dividere solo per 1 e per se stesso per ottenere resto 0. Sono primi i seguenti numeri: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …

Cosa vuol dire “scomporre un numero in fattori primi” ? Scomporre un numero in fattori primi significa uguagliarlo al prodotto di soli numeri primi. Es.: 15 = 3∙5 (sia 3 che 5 sono numeri primi) Es.: 18 = 32∙2 (non posso scrivere 9∙2 perché 9 non è primo) Come si fa a scomporre un numero in fattori primi? Se lo vuoi sapere clicca qui.

mcm Minimo Comune Multiplo Il minimo comune multiplo (mcm) di due numeri interi a e b è il più piccolo intero positivo che è multiplo sia di a che di b. Esempi: Calcolo di mcm(3, 5, 7 ): i tre numeri sono primi, quindi mcm(3,5,7)=3·5·7=105 Calcolo di mcm(7, 8, 20): i numeri devono essere scomposti in fattori primi 7=7 8=2·2·2=2³ 20=2·2·5=2²·5 allora il mcm risulta: mcm(7,8,20)=7·2³·5=280. il fattore primo 2 è stato preso con esponente massimo 3. Se vuoi avere qualche dettaglio in più clicca qui.

Frazione algebrica Una frazione algebrica è un particolare tipo di frazione dove sia il numeratore che il denominatore sono rappresentati da polinomi. Più precisamente, una frazione algebrica presenta sempre una parte letterale al denominatore; essa può essere anche un semplice monomio. In generale una frazione algebrica si presenta sempre nella forma P/Q, dove P e Q sono appunto polinomi. Quelli che seguono sono esempi di frazioni algebriche: