LA RIASSICURAZIONE …Settore chiave della finanza mondiale… Gaia Barbarossa Alessandra Bruno Francesca Maschiella Sandro Matonti

a fronte del pagamento del premio TRASFERISCE Il contratto di assicurazione trova la sua ragione d’essere nel concetto di «RISCHIO», ovvero dal bisogno dell’uomo di tutelarsi dal rischio. Assicurato a fronte del pagamento del premio TRASFERISCE all’ assicuratore un RISCHIO che altrimenti i dovrebbe sopportare da solo

Le compagnie come possono mitigare il rischio? Coassicurazione Pool RIASSICURAZIONE Offrire protezione contro il verificarsi di uno o più sinistri di entità molto rilevante, o accumulo di perdite derivanti da un singolo sinistro SCOPO È uno strumento tecnico per ridurre la volatilità dei risultati e quindi migliorare l’impiego del capitale

(l’assicurato rimane estraneo al contratto) Che cos’è la riassicurazione? Con la riassicurazione l’assicuratore (riassicurato) trasferisce una parte di rischio o dei rischi assunti ad un altro assicuratore (l’assicurato rimane estraneo al contratto) ASSICURATO ASSICURATORE RIASSICURATORE rischio rischio rischio 100% 100%-X% X%

Fonte: Straub Non life insurance mathematics

TIPI DI RIASSICURAZIONE copre rischi singoli (l’assicuratore può cedere le quote di rischio che ritiene opportune e il riassicuratore può accettare o meno la cessione) copre una vasta gamma di rischi (la cedente e il riassicuratore concordano di osservare un trattato che obbliga la cedente a trasferire al riassicuratore una quota prestabilita del proprio portafoglio e il riassicuratore ad accettare quanto trasferito dalla cedente) facoltativa per la cedente e obbligatoria per il riassicuratore FACOLTATIVA OBBLIGATORIA FACOB

EXCESS OF LOSS STOP LOSS quota parte quota parte rimborso sinistro premio rimborso sinistro premio PROPORZIONALE QUOTE SHARE SURPLUS NON PROPORZIONALE EXCESS OF LOSS STOP LOSS

QUOTE SHARE: l’assicuratore cede al riassicuratore una PROPORZIONALE QUOTE SHARE: l’assicuratore cede al riassicuratore una percentuale identica di tutti i rischi sottoscritti. Quindi il riassicuratore condivide tutti i sinistri proporzionalmente e riceve la stessa proporzione dei premi meno le commissioni. SURPLUS: viene ceduta la parte di rischio eccedente un importo determinato (pieno di conservazione). Si garantisce così una migliore omogeneità quantitativa del portafoglio in quanto le polizze con i capitali assicurati al di sotto o pari al pieno di conservazione rimangono a carico della cedente.

EXCESS OF LOSS: il riassicuratore si impegna ad NON PROPORZIONALE EXCESS OF LOSS: il riassicuratore si impegna ad indennizzare la cedente di tutta quella parte dei singoli danni che eccede una certa somma fissa. STOP LOSS: il riassicuratore indennizza la cedente solo se i sinistri globali dell’anno eccedono una percentuale prefissata dei premi.

Politica ottimale di ritenzione dei rischi Obiettivo della compagnia minimizzare la probabilità di rovina massimizzare la sicurezza dell’impresa

Probabilità di rovina 𝐺 𝑖 < -U IPOTESI portafoglio chiuso DELLA TEORIA durata annuale n= numero contratti 𝑿 𝒊 = guadagno sulla i-esima polizza U= fondo di garanzia σi² = varianza di 𝑋 𝑖 𝑮 𝒊 = guadagno sulle n polizze Y= esborso aleatorio P = somma dei premi m = caricamenti Evento da considerare: Y > P + m +U Poiché 𝐺 𝑖 = P + m – Y 𝐺 𝑖 < -U

S: indice di stabilità relativa del portafoglio Pertanto la probabilità di rovina, ovvero di contenere l’esborso dell’importo Y sarà: Standardizzando otteniamo: 𝑝=Φ (− 𝑢+𝑚 𝜎 ) = Φ (-s) S: indice di stabilità relativa del portafoglio

La compagnia di assicurazione per ridurre la probabilità di rovina può agire su U,m e σ. Aumentare e/o risulta molto difficile Soluzione: diminuire σ cedendo parte del rischio ad una impresa di riassicurazione U m situazione economico-finanziaria della compagnia situazione concorrenziale del mercato

CRITERIO DELL’UTILITÀ ATTESA Ricerca della politica ottima: massimizzazione dell’utilità attesa del guadagno aleatorio del portafoglio riassicurato per un esercizio. Utilizzando il modello di utilità esponenziale: 𝑢 𝑥 =𝐵(1− 𝑒 −𝑥 𝐵 ) Definiamo il guadagno aleatorio dopo la riassicurazione: 𝐺 𝑟 =P + C – 𝑃 (𝑟) - 𝛤 (1) Dove: P: premio netto dell’assicuratore C: provvigione dell’assicuratore riconosciutagli dal riassicuratore 𝑷 (𝒓) : premio chiesto dal riassicuratore (importo certo) Γ (𝟏) : ritenzione della cedente (importo aleatorio)

𝐺 𝑟 diventa: 𝑖=1 𝑟 𝐺 (𝑟) = 𝑖=1 𝑟 ( 𝑃 𝑖 + 𝐶 𝑖 − (𝑃 𝑖 )r − ᴦ 𝑖 ) Dove 𝑃 𝑟 e ᴦ sono funzioni della percentuale a di ritenzione nel caso di riassicurazione proporzionale, delle priorità L nel caso di non proporzionale e delle coppie (a,L) nel caso di miste. Ricerca dei valori a e L che massimizzano: 𝐸 𝑢 𝐺 𝑟 =𝐵 [1−𝐸( 𝑒 𝐺 (𝑟) 𝐵 )]

ω 𝑮 𝒓 =6 𝐵 2 𝐸 𝐺 𝑟 3 B var 𝐺 𝑟 + 𝜇 3 (𝐺 𝑟 ) Definiamo la speranza matematica Si ricerca il minimo di φ 𝐺 (𝑟) (− 1 𝐵 ) = E( 𝑒 −𝐺 (𝑟) 𝐵 ) ln φ 𝐺 (r) ( −1 𝐵 ) Si ricava il valore di una quota a o di una priorità L che massimizzi il funzionale del guadagno aleatorio: ω 𝑮 𝒓 =6 𝐵 2 𝐸 𝐺 𝑟 3 B var 𝐺 𝑟 + 𝜇 3 (𝐺 𝑟 ) Per vedere l’effetto della provvigione poniamo: 𝑃 𝑟 − C = E (x - ᴦ) + 𝑚 𝑟 𝑚 𝑟 : guadagno medio del riassicuratore al netto della provvigione Se poniamo ᴦ = aX determiniamo la quota ottimale 𝒂 ∗ = 𝑩 𝒎 𝒓 𝝈 𝟐 (1- 1 2 𝑚 𝑟 𝜎 𝛾) se a <1 1 se a ≥1

Calcolo dei premi del riassicuratore QUOTE SHARE SURPLUS 𝑃 𝑖 𝑟𝑒 = 1− α 𝑃 𝑖 𝑐𝑒𝑑 𝑃 𝑖 𝑟𝑒 = (1 − 𝛼 𝑖 ) 𝑃 𝑖 𝑐𝑒𝑑 TRATTATO STOP LOSS BURNING COST Riassicurazione proporzionale Riassicurazione non proporzionale

BURNING COST 𝜏= 1 𝐾 𝐶 𝑖 1 𝑘 𝑃 𝑖 oppure 𝜏 ∗ = 1 𝑘 1 𝑘 𝐶 𝑖 𝑃 𝑖 𝐶 𝑖 = esborsi del riassicuratore nei k anni precedenti 𝑃 𝑖 = premi incassati dalla cedente 𝑰𝑴𝑷𝑶𝑹𝑻𝑶 𝑹𝑰𝑴𝑨𝑺𝑻𝑶 𝑨 𝑪𝑨𝑹𝑰𝑪𝑶 𝑫𝑬𝑳 𝑹𝑰𝑨𝑺𝑺𝑰𝑪𝑼𝑹𝑨𝑻𝑶𝑹𝑬 𝑴𝑶𝑵𝑻𝑬 𝑷𝑹𝑬𝑴𝑰 𝑫𝑬𝑳𝑳𝑨 𝑪𝑬𝑫𝑬𝑵𝑻𝑬 𝑰𝑵 𝑸𝑼𝑬𝑳 𝑳 ′ 𝑨𝑵𝑵𝑶

Problema del Burning Cost nel calcolo del premio non considera gli effetti inflattivi E. CO. MO. R. (Excedent du Cont Moyen Relatif)

risarcimento dell’ n-esimo sinistro E. CO. MO.R. L’assicuratore classifica, in ordine decrescente rispetto all’ammontare del risarcimento, i sinistri di maggiore entità Il riassicuratore copre l’eccesso di ciascuno dei primi n sinistri rispetto all’ammontare dell’ n-esimo (n è fissato contrattualmente) mentre il premio da corrispondere al riassicuratore dipende dall’ammontare del risarcimento dell’ n-esimo sinistro

𝐻 𝑉 (x)= ( 𝑥 0 𝑥 ) 𝛼 per 𝑥 𝑜 ≤𝑥 ≤ + ∞ (𝛼<1) Nella realtà non è possibile conoscere quale sarà l’entità dell’n-esimo sinistro, quindi si assume che quest’ultimo sia distribuito come una distribuzione di Pareto. Assumendo che: 𝐻 𝑉 (x)= ( 𝑥 0 𝑥 ) 𝛼 per 𝑥 𝑜 ≤𝑥 ≤ + ∞ (𝛼<1) Se l’n-esimo sinistro della graduatoria si realizzerà con un valore pari a 𝑋 𝑛 allora l’eccesso medio di un sinistro di entità superiore a 𝑋 𝑛 sarà uguale a: 𝑒 𝑛 = 𝑥 𝑛 +∞ 𝐻 𝑦 𝑥 𝑑𝑥 𝐻 𝑦 ( 𝑥 𝑛 ) = 𝑥 𝑛 𝛼 −1

Pertanto il premio del riassicuratore per la copertura degli eccessi dei primi n-1 sinistri sopra la priorità 𝑋 𝑛 risulta uguale a: 𝑛 −1 𝑒 𝑛 Tale premio è funzione del parametro α e risente, quindi, dell’inflazione. Affinché questa soluzione si mantenga valida a fonte di fenomeni legati all’inflazione sarebbe necessario che non risentisse del parametro α

Conclusioni La riassicurazione può essere vista come una leva operativa anche per diversificare opportunamente il portafoglio ottimizzando il rapporto rischio-rendimento. Al fine di garantire l’equilibrio economico della gestione, un elemento che deve contraddistinguere il portafoglio di una Compagnia è una sufficiente omogeneità dei rischi, sia qualitativa sia quantitativa. Affinché la strategia riassicurativa risulti vincente, è necessario che il riassicuratore affianchi le imprese di assicurazione nella determinazione dell’ottimalità della ritenzione, che queste ultime valutino attraverso modelli interni il rischio trasferito e determinino un prezzo equo di scambio. Infine, affinché sia garantita l’efficienza della strategia riassicurativa, è richiesta l’ottimalità delle transazioni sul mercato, sia dal punto di vista del riassicurato, che del riassicuratore.

Riferimenti Daboni L. – Lezioni di tecnica attuariale delle assicurazioni contro i danni De Ferra C. – L’assicurazione nozioni concetti basi matematiche Straub E. – Non life insurance mathematics www.generali.com www.swissre.com