Scattering in Meccanica Quantistica

Sommario Trattazione indipendente dal tempo dello scattering Sviluppo in onde parziali Teorema ottico Regola d’oro e scattering Esempio: potenziale di Yukawa Scattering elastico ed anelastico Fabrizio Bianchi

Formule Utili Formule di Eulero Ortonormalita’ dei Polinomi di Legendre Fabrizio Bianchi

Scattering in MQ Diversi modi di descrivere i processi di collisione/decadimento: Modo indipendente dal tempo Descrizione in termini di stati di scattering, analoghi a quelli stazionari Soluzione dell’equazione di Schroedinger, sviluppo in onde parziali Modo dipendente dal tempo Descrizione in termini di evoluzione temporale Applicazione della regola d’oro Fabrizio Bianchi

Trattazione Indipendente dal Tempo (1) Diffusione di una particella da un potenziale di range finito. A grande distanza gli stati asintotici saranno stati di particella libera. Fascio incidente ha direzione e momento ben definiti: onda piana progressiva lungo l’asse z: eikz Scattering elastico: cambiamento di direzione della particella incidente conservando l’energia. Fascio diffuso non ha una direzione particolare, ma conserva il modulo del momento del fascio incidente. Puo’ essere rappresentato da un’onda sferica uscente dal centro di diffusione: eikr/r Soluzione dell’equazione di Schroedinger sara’ una combinazione lineare dell’onda incidente e quella diffusa: Fabrizio Bianchi

Trattazione Indipendente dal Tempo (2) f(q) Ampiezza di Scattering, [L] Probabilita’ per unita’ di tempo che la particella diffonda nell’elemento di superficie dS=r2dW e’ dato dal flusso per dS (ossia |Y|2 per la velocita’ v per dS): Dividendo per v (flusso onda incidente) si ha la sezione d’urto differenziale: Fabrizio Bianchi

Sviluppo in Onde Parziali (1) Soluzione generale dell’equazione di Schroedinger in potenziale centrale, richiedendo simmetria assiale attorno all’asse z (direzione particelle incidenti): Pl sono i polinomi di Legendre. Le funzioni radiali Rl sono soluzioni dell’eq. radiale: Per kr>>1, hanno la forma asintotica: Fabrizio Bianchi

Sviluppo in Onde Parziali (2) Lo sviluppo della slide 6 corrisponde ad analizzare lo stato di scattering in autostali del momento angolare L. Possiamo scrivere: Un onda piana, nel limite asintotico si puo’ scrivere come: D’altro canto dall’espressione di Y della slide 4: Fabrizio Bianchi

Sviluppo in Onde Parziali (3) Quindi: Ponendo Al=iledl Da cui: Fabrizio Bianchi

Sviluppo in Onde Parziali (4) L’ampiezza di scattering e’ completamente determinata dagli sfasamenti dl, a loro volta determinati dal potenziale. Il processo di scattering e’ descritto da un insieme (in principio infinito) di ampiezze parziali ognuna corrispondente ad un particolare valore di l. L’ampiezza l-esima e’ data da: La sezione d’urto totale : diventa, sfruttando la relazione di ortonormalita’ dei polinomi di Legendre,: Fabrizio Bianchi

Sviluppo in Onde Parziali (5) Poiche’: Fabrizio Bianchi

Regola d’Oro e Scattering (1) Probabilita’ di transizione per unita’ di tempo: Stati iniziale e finale: Onde piane Fabrizio Bianchi

Regola d’Oro e Scattering (2) Caso di diffusione elastica da un potenziale fisso Sezione d’urto differenziale: Eventualmente: Generalizzazione Numeratore Prob. di trans./Unita' di ang. solido, Energia, ..., Unita' di tempo Es. Onde piane con direzione entro dW a (q,f) Fabrizio Bianchi

Regola d’Oro e Scattering (3) Probabilita’ di transizione verso un gruppo di stati del continuo: Fabrizio Bianchi

Regola d’Oro e Scattering (4) Esempio: scattering elastico: Fabrizio Bianchi

Regola d’Oro e Scattering (5) Fabrizio Bianchi

Esempio: Potenziale di Yukawa (1) Fabrizio Bianchi

Esempio: Potenziale di Yukawa (2) Fabrizio Bianchi

Esempio: Potenziale di Yukawa (3) Fabrizio Bianchi

Scattering fra Particelle Esempio considerato: interazione particella – potenziale Esempi piu’ realistici: interazione particella – particella Regole generali per collisioni non relativistiche: Conservazione/Non conservazione energia cinetica totale Scattering elastico/anelastico Conservazione quantita’ di moto totale Conservazione mom. angolare totale: Scattering: Stati iniziale e finale non hanno di solito mom. angolare definito Decadimenti: Stati iniziale e finale hanno mom. angolare definito Fabrizio Bianchi

Scattering Elastico vs Anelastico Per collisioni e decadimenti in approssimazione non relativistica Scattering elastico: Lo stato interno di proiettile e bersaglio restano invariati nella collisione Conservazione della massa Conservazione dell’energia totale (cinetica) Conservazione della quantita’ di moto totale Scattering anelastico: Lo stato interno di proiettile e/o bersaglio cambia nella collisione Conservazione dell’energia totale (cinetica+potenziale) Fabrizio Bianchi