La via più breve Geodetiche nella geometria iperbolica Poincarè e l’infinito di Escher Geodetiche sul cono Liceo Scientifico R. Donatelli - prof.ssa Mara Massarucci Emanuele Giorgi, classe VD Riccardo Calzoni, Tommaso Campi, Andrea Mattioli, classe VG

Geometria Iperbolica La geometria iperbolica, anche chiamata geometria della sella o geometria di Lobachevsky, è una geometria non euclidea ottenuta rimpiazzando il postulato delle parallele* con il cosiddetto postulato iperbolico, che afferma: "Data una retta L e qualche punto A non su L, almeno due rette distinte esistono che passano per A e sono parallele a L." In questo caso parallelo significa che le rette non intersecano L, anche se non hanno distanza costante da L. * Nei testi di geometria in uso nelle scuole oggi, il V postulato viene generalmente enunciato nei seguenti termini: “Data una qualsiasi retta r ed un punto P non appartenente ad essa, è possibile tracciare per P una ed una sola retta parallela alla retta r data"

L’inversione circolare detta anche trasformazione per raggi vettori reciproci del piano

(Il numero k viene detto potenza dell’inversione circolare) Consideriamo la circonferenza γ di centro O e raggio r; si definisce inversione circolare di centro O e di potenza k = r^2, o equivalentemente inversione circolare relativa a γ, la trasformazione che associa ad ogni punto P del piano il punto P' appartenente alla semiretta uscente da O e passante per P tale che: (Il numero k viene detto potenza dell’inversione circolare) Tale trasformazione è inoltre biunivoca e involutoria: non è quindi necessario distinguere il piano dei punti P da quello dei punti P’ (piani sovrapposti).

dell’inversione circolare LE PROPRIETA’ dell’inversione circolare 1) I punti di γ si trasformano in se stessi. 2) Le rette passanti per O si trasformano in se stesse. L’inversione circolare è dunque un’interessante trasformazione che non trasforma rette in rette!

Usando le animazioni con Cabri è visibile che mentre P descrive una circonferenza con verso antiorario, il punto P’ descrive una circonferenza immagine con verso orario (e viceversa): l’inversione è una trasformazione che inverte l’ordinamento su una data curva chiusa 3) Le rette non passanti per O si trasformano in circonferenze per O e viceversa. 4) Le circonferenze non passanti per O si trasformano in circonferenze.

Circonferenze ortogonali

Rette del primo e del secondo tipo

RETTE PARALLELE ED IPERPARALLELE

Nel fascio di rette passanti per P, le rette r ed s incontrano la retta passante per A e B sul bordo di γ separano le rette incidenti alla retta AB da quelle che non si intersecano con quest’ultima. Le rette r ed s sono così definite parallele alla retta AB. Tra le rette r ed s sono comprese infinite rette che non intersecano la retta AB. Tali rette si definiscono iperparallele alla retta AB. Possiamo dunque concludere che: SONO VALIDI TUTTI GLI ASSIOMI DI EUCLIDE TRANNE QUELLO DELLE PARALLELE!

Il triangolo iperbolico Nella geometria iperbolica non abbiamo il V postulato, non è quindi affatto scontato che gli angoli di un triangolo iperbolico si comportino come quelli di un triangolo euclideo. Fare in modo che si possa allargare la circonferenza, per far vedere che se r tende all’infinito, la geometria è quella euclidea (orizzonte all’infinito) e quindi la somma torna ad essere 180° Spostando l’orizzonte all’infinito si ritorna alla geometria euclidea!

La somma degli angoli di ogni triangolo è minore di 180°. Si può infatti verificare che: La somma degli angoli di ogni triangolo è minore di 180°. Se due triangoli hanno rispettivamente uguali i tre angoli, allora sono congruenti. Osserviamo che, mentre nella geometria euclidea i criteri di congruenza dei triangoli sono tre (due angoli e un lato, due lati e l'angolo compreso, tre lati), in quella iperbolica ce n'è uno in più. Inoltre, nella geometria iperbolica, non esiste la similitudine.

LE CONICHE

LE GEODETICHE NEL PIANO DI POINCARE’ La distanza tra due punti nel piano di Poincarè è così definita: La lunghezza iperbolica di un segmento AB gode di alcune proprietà: è definita per ogni coppia di punti interni al cerchio. è sempre positiva o nulla. è nulla se e solo se il punto A coincide con B. possiede la proprietà additiva, ovvero se A, B, C appartengono allo stesso segmento e B sta tra A e C, allora la lunghezza di AB + la lunghezza di BC = la lunghezza di AC. la lunghezza di un segmento AB tende all’infinito se il punto B tende a Q oppure se il punto A tende a P.

Poincarè e l’infinito di Escher Grazie alla geometria iperbolica di Poincarè, Escher racchiude e delimita l’infinito in un cerchio, e chiama la sua opera “Cerchio limite IV” Il titolo è troppo misterioso: Ho aggiunto un sottotitolo

Provare a disegnare le rette passanti per altri punti: basta spostare A o B in altri punti di intersezione delle ali degli angeli Ho fatto delle modifiche… se ti va!

Da “THE TRIGONOMETRY OF ESCHER'S WOODCUT Circle Limit III is likewise based on circular arcs, but in this case, instead of being orthogonal to the boundary circle, they meet it at equal angles of almost precisely 80. (Instead of a straight line of the hyperbolic plane, each arc represents one of the two branches of an equidistant curve.") Da “THE TRIGONOMETRY OF ESCHER'S WOODCUT CIRCLE LIMIT III" H. S. M. COXETER Muovere uno dei punti rossi per cercare di ottenere le altre linee… non si ottengono mai!!!

Geodetiche sul cono La via più breve per andare da B al punto F, non è l’arco BF sulla circonferenza di base del cono ma, come si vede sullo sviluppo nel P.V., è il segmento B'F'. Muovere il punto P’ ed osservare la traccia di H sul cono.

Geodetiche sul cono Una geodetica chiusa è la via più breve per partire da B, circumnavigare il cono e tornare in B stesso. Basta osservare il segmento B'B'', rappresentazione della stessa linea rossa, sul piano verticale ,dove è sviluppato il cono.