Cosa significa la parola funzione?

Proviamo a cercarla sul dizionario…..

Siano A e B due insiemi non vuoti Siano A e B due insiemi non vuoti . Si chiama funzione di A in B una legge di qualunque natura, che fa corrispondere ad ogni elemento x di A uno ed un solo elemento y di B

Vediamo qualche esempio…..

La legge che ad ogni studente di una classe fa corrispondere il suo cognome è una funzione di A ,insieme degli studenti della classe, in B, insieme dei cognomi La legge ad ogni cittadino italiano fa corrispondere il suo codice fiscale è una funzione di A,insieme dei cittadini italiani,in B,insieme delle stringhe che costituiscono i codici fiscali La legge che ad ogni libro di una biblioteca fa corrispondere il suo numero di pagine è una funzione di A, insieme dei libri della biblioteca,in B,insieme dei numeri naturali

Vediamo qualche esempio di legge che non è una funzione

La legge che ad ogni libro di una biblioteca associa il cognome dell’ autore non è una funzione di A,insieme dei libri, in B, insieme dei cognomi, perché molti libri possono avere più autori, quindi ad un elemento di A possono corrispondere più elementi di B

La legge che associa ad ogni insegnante di una scuola, la classe in cui insegna, non è una funzione perché un insegnante può insegnare in più classi

Una funzione può essere rappresentata con un diagramma a frecce che collegano due diagrammi di Eulero Venn che raffigurano gli insiemi A e B (Tale rappresentazione ha senso se gli insiemi A e B sono finiti)

A può essere pensato come un insieme di arcieri, ognuno dei quali ha una sola freccia e deve scoccarla colpendo un elemento dell’ insieme B. Non è detto che tutti gli elementi di B vengano colpiti A . . . . B . . . . . x. . A è detto dominio. Il sottoinsieme di B dei “bersagli” colpiti si chiama codominio della funzione

La legge seguente non è una funzione, perché un arciere scocca più di una freccia . . B . . . . x. .

Per indicare una funzione f tra due insiemi A e B si usa la scrittura f:A B. L’ elemento y che è associato ad un particolare elemento x di A si dice immagine di x mediante f. Ogni elemento x di cui y è immagine è detto controimmagine di y. Se y è immagine di x mediante f, si scrive y=f(x) o anche f:x f(x) . . . . x1 . y1 . x2 . y2 x3 . x4. y3 . . Nel disegno risulta y1=f(x1), y2=f(x2), y3=f(x3), ma anche y3=f(x4),

Potremmo pensare ad una funzione come una macchina di input- output. Se A e B sono sottoinsiemi propri o impropri dell’ insieme ℝ, la funzione si dice funzione reale di variabile reale. Consideriamo la funzione f:ℝ ℝ che associa ad ogni numero reale il suo quadrato f:x x2 Potremmo pensare ad una funzione come una macchina di input- output. Prende un oggetto come input e ne fornisce un altro come output macchina Quadrato del numero numero

Ad esempio macchina La funzione ha espressione analitica y=x2 -3 x2= (-3)2 9 x=-3 input y=9 output Consideriamo la funzione f:ℝ ℝ descritta dalla legge x 2x-7. Come lavora questa funzione? Prendiamo ad esempio il numero reale 5 macchinana La funzione ha come espressione analitica y=2x-7 cioè associa ad ogni numero reale il suo doppio diminuito di 7 2x-7= 3 5 y=3 output x=5 input

Riconosciamo l’ oggetto y=2x-7?

Scopriamo quindi che la retta è una funzione reale di variabile reale.

In generale chiamiamo funzione lineare la legge che ad ogni numero reale x faccia corrispondere il numero mx+q al variare di m e q in ℝ cioè la funzione la cui espressione analitica sia y=mx+q