Prodotto vettoriale Dati due vettori 𝒂 e 𝒃 , il prodotto vettoriale 𝒄 = 𝒂 × 𝒃 è un vettore che gode delle proprietà seguenti: il modulo di 𝒄 è dato da absinθ, dove θ è l’angolo minore di 180° compreso tra 𝒂 e 𝒃 la direzione di 𝒄 è perpendicolare al piano individuato da 𝒂 e 𝒃 il verso di 𝒄 è calcolato mediante diverse regole a b c θ

Regola della vite destrorsa o del cavatappi: Si orienta la vite perpendicolarmente al piano individuato dai due vettori. Si ruota la vite nel verso che corrisponde alla rotazione del primo vettore verso il secondo. Il verso di avanzamento della vite indica il verso del prodotto vettoriale c b  a

La regola della mano destra Prima formulazione Si dispone il pollice lungo il primo vettore Si dispone l’indice lungo il secondo vettore Il verso del medio individua il verso del prodotto vettoriale Seconda formulazione (detta da alcuni Regola di Fonzie) Si chiude a pugno la mano destra mantenendo sollevato il pollice Le dita chiuse a pugno devono indicare il verso in cui il primo vettore deve ruotare per sovrapporsi al secondo in modo che l’angolo θ di rotazione sia minore di 180° Il verso del pollice individua il verso del prodotto vettoriale a b a × b a b a × b

ha come verso quello secondo il quale si deve disporre un osservatore con i piedi nel punto O d’applicazione dei due vettori affinché possa veder ruotare il vettore u in senso antiorario dell’angolo  perché si sovrapponga al vettore v . c b  O a

Proprietà del prodotto vettoriale Il modulo del prodotto vettoriale è pari all’area del parallelogramma individuato dai due vettori b θ a Area ( 𝒂 ; 𝒃 ) = a.b.senq Precisamente, si può considerare il parallelogramma avente per lati i due vettori in esame. Indicando  l’angolo convesso formato dai due vettori u,v si riconosce che l’altezza del parallelogramma relativa al lato determinato dal vettore u è data dal prodotto v*sin (confrontare la figura) per cui l’area del parallelogramma è:

Il prodotto vettoriale è nullo se i due vettori sono paralleli (θ=0) Il prodotto vettoriale gode della proprietà anticommutativa:

Prodotto vettoriale in componenti cartesiane Tenendo conto che i versori degli assi cartesiani sono a due a due perpendicolari fra loro, ed applicando la regola della mano destra, si hanno le seguenti relazioni: Pertanto, esprimendo i vettori in termini delle loro componenti cartesiane, si ha che:

HALLIDAY - capitolo 3 problema 19 Due vettori 𝒓 ed 𝒔 giacciono nel piano xy. I loro moduli sono rispettivamente di 4,50 e 7,30 unità, e le loro direzioni sono rispettivamente di 320° e 85° misurate in senso antiorario dal semiasse positivo delle x. Quali sono i valori di 𝒓 ∙ 𝒔 e 𝒓 × 𝒔 ? x y O s 85° r 320°

y 85° 320° x O Prodotto scalare: Alternativamente, possiamo calcolare l’angolo minore di 180° fra i due vettori e sfruttare la definizione di prodotto scalare. x y O r 320° s 85° α

y 85° 320° x O Prodotto vettoriale: Alternativamente, possiamo calcolare il modulo del prodotto vettoriale con la definizione e stabilire il suo verso usando la regola della mano destra. x y O r 320° s 85° Applicando la regola della mano destra si può verificare che il prodotto vettoriale è diretto in verso uscente rispetto al piano del foglio, e quindi concorde con il semiasse z positivo