Matematica Generale A cura di Beatrice Venturi Derivate 29-03.-17

1. INTRODUZIONE AL CONCETTO DI DERIVATA Problema: determinare la tangente in un generico punto ad una curva data. Tale problema venne risolto dai greci in modo elementare nel caso della circonferenza. 29-03.-17

Circonferenza e retta tangente 29-03.-17

1. INTRODUZIONE AL CONCETTO DI DERIVATA Per determinare la tangente in un punto abbiamo bisogno di conoscere la sua inclinazione, cioè il suo coefficiente angolare. Dati due punti: 29-03.-17

INTRODUZIONE AL CONCETTO DI DERIVATA Consideriamo variazione delle ascisse variazione delle ordinate 29-03.-17

INTRODUZIONE AL CONCETTO DI DERIVATA Inclinazione o coefficiente angolare di una retta ( è la tangente trigonometrica all’angolo ) Tasso o saggio di accrescimento della variabile y rispetto alla variabile x 29-03.-17

Definizione di derivata 29-03.-17

Definizione di funzione derivabile Data una funzione f(x) definita in un intervallo I=(a,b) si dice che è derivabile in I se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale  xI. 29-03.-17

Retta tangente y=f(x0)+f’(x0)(x- x0) Data una funzione f(x) definita in un intervallo I=(a,b), l’equazione della retta tangente alla curva f(x) nel punto di ascissa x0 è: y=f(x0)+f’(x0)(x- x0) 29-03.-17

Retta Tangente 29-03.-17

Definizione della derivata prima In tutti i punti in cui fa f(x) è derivabile risulta definita una nuove funzione che si indica con f’(x) oppure con D1f(x). La funzione f’(x) assume i valori della derivata della funzione f(x) calcolata per lo stesso valore della x. f’(x) si chiama derivata prima della funzione f(x). 29-03.-17

Definizione della derivata seconda Si chiama derivata seconda della funzione f(x) la derivata prima della funzione f’(x). In tutti i punti in cui fa f(x) è derivabile due volte risulta definita la derivata seconda che si indica con f’’(x) oppure con D2f(x). 29-03.-17

Relazione tra derivabilità e continuità Una funzione f(x) derivabile in un punto x è anche continua nello stesso punto. derivabilità  continuità Se una funzione f(x) è continua in un punto x NON è detto che sia anche derivabile. 29-03.-17

Relazione tra derivabilità e continuità Contro esempio: y=|x| valutato nell’origine. 29-03.-17

Punto angoloso 29-03.-17

Data una funzione f(x) definita in un intervallo Punto angoloso Data una funzione f(x) definita in un intervallo I = (a,b), sia x  I 29-03.-17

Punto con tangente verticale o flesso verticale 29-03.-17

Punto con tangente verticale o flesso verticale Data una funzione f(x) definita in un intervallo I = (a,b), sia x  I 29-03.-17

Cuspide 29-03.-17

Data una funzione f(x) definita in un intervallo Cuspide Data una funzione f(x) definita in un intervallo I = (a,b), sia xI 29-03.-17

Regole di derivazione Se f(x) e g(x) sono derivabili in (a,b) allora valgono le seguenti regole: 29-03.-17

Regole di derivazione Addizione e sottrazione: 29-03.-17

Regole di derivazione Prodotto: 29-03.-17

Regole di derivazione Rapporto : nei punti in cui g(x)0 29-03.-17

Regole di derivazione Logaritmo : 29-03.-17

Regole di derivazione Esponenziale: 29-03.-17

Regole di derivazione Potenza (1) : 29-03.-17

Regole di derivazione Potenza (2): 29-03.-17

Regole di derivazione Prodotto per una costante: 29-03.-17

Regole di derivazione Funzione inversa: Se y=f(x) è una funzione crescente (decrescente) e derivabile nell’intervallo (a,b) allora è dotata di inversa e, in tutti i punti in cui è f’(x)0, anche la sua funzione inversa f -1(y) è derivabile e si ha: 29-03.-17

Regole di derivazione Funzione composta: Una funzione y=f[g(x)] composta per mezzo di due funzioni derivabili è anch’essa derivabile e si ha che la sua derivata è data da: 29-03.-17

Derivate notevoli Funzione potenza: xR e nN 29-03.-17

Derivate notevoli Funzione esponenziale: xR e a>0 29-03.-17

Derivate notevoli Funzione logaritmica: x>0 e a>0 29-03.-17

Derivate notevoli Funzione radice: x  0 e nN 29-03.-17

Derivate notevoli Funzione iperbole: xR \{0} 29-03.-17