Programmazione di Calcolatori Lezione III Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi

i giorni della settimana Gli insiemi Insieme: una collezione di oggetti distinti detti elementi Esempio: Lunedì Martedì Mercoledì Giovedì Venerdì Sabato Domenica i giorni della settimana Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi

Gli insiemi Esempio: i numeri interi positivi minori o uguali a 10 10 2 4 1 5 3 6 8 7 9 10 Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi

A Notazione Appartenenza: Esempio: se a è un elemento di A, scriveremo se a non è un elemento di A, scriveremo Esempio: 2 4 1 3 5 A Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi

Definizione di un insieme Modalità di definizione di un insieme: intensionale estensionale Definizione intensionale: descrizione della caratteristica posseduta da tutti e soli gli elementi dell’insieme Esempio: I giorni della settimana I numeri interi positivi minori o uguali a 10 Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi

Definizione di un insieme Definizione estensionale: elenco di tutti e soli gli elementi dell’insieme Esempio: i giorni della settimana i numeri interi positivi minori o uguali a 10 Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi

Intensionale vs Estensionale Esempio: intensionale ? estensionale Esempio: 26 63 1.039.806 126 1.009.311 979.418 9 … estensionale intensionale { x | x = i3+4i2-2i+6, iN, 1  i 100} Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi

Intensionale vs Estensionale Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi

Sottinsieme Sottinsieme: Esempio: A è un sottoinsieme di B se e solo se ogni elemento di A è anche elemento di B Esempio: Lunedì Martedì Mercoledì Giovedì Venerdì Sabato Domenica Giorni della Settimana (GdS) Festivi Feriali Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi

Prodotto cartesiano Prodotto Cartesiano: il prodotto cartesiano di A e B è l’insieme di tutte le coppie il cui primo elemento è un elemento di A e il cui secondo elemento è un elemento di B Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi

Prodotto cartesiano Esempio: Numeri Decimali x Numeri Romani (1, II) (1, III) (1, IV) (2, I) (2, II) (2, III) (2, IV) (3, I) (3, II) (3, III) (3, IV) Numeri Decimali x Numeri Romani 2 1 3 Numeri Decimali II IV I III Numeri Romani Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi

Prodotto cartesiano Esempio: Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi

Relazioni binarie Relazione binaria R tra A e B: è un sottoinsieme del prodotto cartesiano di A per B Relazione binaria R tra A e B: Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi

Relazioni binarie Esempio: Numeri Decimali x Numeri Romani (1, II) (1, III) (1, IV) (2, I) (2, II) (2, III) (2, IV) (3, I) (3, II) (3, III) (3, IV) Numeri Decimali x Numeri Romani 2 1 3 Numeri Decimali Maggiori Uguali di II IV I III Numeri Romani Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi

Relazioni binarie Esempio: Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi

Funzioni f  AxB t.c. aA  (a,b)f e se (a,b) e (a, b’) f  b=b’ Funzione: una funzione f definita su A e a valori in B è una relazione binaria che associa ad ogni elemento a di A uno e un solo elemento b di B f  AxB t.c. aA  (a,b)f e se (a,b) e (a, b’) f  b=b’ Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi

Funzioni Esempio: Numeri Decimali x Numeri Romani Numeri Decimali (1, II) (1, III) (1, IV) (2, I) (2, II) (2, III) (2, IV) (3, I) (3, II) (3, III) (3, IV) Numeri Decimali x Numeri Romani 2 1 3 Numeri Decimali Conversione II IV I III Numeri Romani Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi

Funzioni Esempio: Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi

Funzioni NO E’ una funzione? Numeri Decimali x Numeri Romani (1, II) (1, III) (1, IV) (2, I) (2, II) (2, III) (2, IV) (3, I) (3, II) (3, III) (3, IV) Numeri Decimali x Numeri Romani Conversione NO Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi

Funzioni NO E’ una funzione? Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi

Nome, dominio, codominio, immagine Notazione: Nome Dominio Codominio Immagine di f: Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi

Nome, dominio, codominio, immagine (1, II) (1, III) (1, IV) (2, I) (2, II) (2, III) (2, IV) (3, I) (3, II) (3, III) (3, IV) Numeri Decimali x Numeri Romani Conversione Esempio: 2 1 3 Numeri Decimali II I IV III Numeri Romani Dominio Codominio Nome Immagine Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi

Definizione di una funzione Signature o arietà: nome dominio codominio Legge che associa ad ogni elemento del dominio un elemento del codominio Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi

Definizione di una funzione Esempio: funzione che associa ad ogni numero naturale il suo quadrato Signature o arietà: Nome: quadrato Dominio: N Codominio: N Legge che associa ad ogni elemento del dominio un elemento del codominio: quadrato(x) = x*x Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi

Funzioni iniettive Funzione iniettiva: f : AB è iniettiva se e solo se associa valori diversi ad argomenti diversi o più formalmente f : A B e iniettiva se  a, a’A, se f(a)=f(a’), allora a = a’ Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi

Funzioni iniettive? SI SI NO Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi

Funzioni iniettive? SI SI NO NO La funzione identità f(x)=x La funzione f : N→N definita da f(x)=2x+1 La funzione g : N→N definita da g(x)=x2 La funzione g : Z→N definita da g(x)=|x| SI SI NO NO Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi

Funzioni suriettive Funzione suriettiva: f : AB è surgettiva se e solo se Im(f) = B o analogamente f : A B è suriettiva se e solo se  bB,  aA, t.c. f(a)=b Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi

Funzioni suriettive? SI NO SI Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi

Funzioni suriettive? SI NO NO SI La funzione identità La funzione f : N→N definita da f(x)=2x+1 La funzione g : N→N definita da g(x)=x2 La funzione g : Z→N definita da g(x)=|x| SI NO NO SI Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi

Funzioni biiettive SI NO NO Funzione biiettiva: f : A B è biettiva se e solo se è iniettiva e suriettiva NO NO Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi

Equipotenza tra insiemi A è equipotente a B (AB) se e solo se  f : A →B biettiva Esempio: N  {x | x = i  3, i  N} Npari  Ndispari Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi