Poligoni e triangoli

SPEZZATA Si chiama spezzata una figura costituita da due o più segmenti consecutivi non adiacenti C B E A D A, B, C, D, E …. Vertici AB, BC, CD, DE, ….. Lati

Una spezzata può essere aperta chiusa – quando il primo vertice coincide con l’ultimo Spezzata aperta Spezzata chiusa (Poligonale)

POLIGONO Si chiama poligono la figura formata da una poligonale e dalla parte finita di piano delimitata dalla stessa. Vertici Lati Contorno

TRIANGOLI Definizione: Si chiama triangolo un poligono di tre lati B C A

CLASSIFICAZIONE TRIANGOLI In base ai lati :scaleno, isoscele, equilatero Scaleno Isoscele Equilatero In base agli angoli :acutangolo, rettangolo, ottusangolo Ottusangolo Rettangolo Acutangolo

DEFINIZIONI SUI TRIANGOLI Mediana: si chiama mediana relativa ad un lato il segmento che congiunge il punto medio del lato con il vertice opposto Baricentro Baricentro: punto di intersezione delle mediane relative ai tre lati

DEFINIZIONI SUI TRIANGOLI Bisettrice: si chiama bisettrice relativa ad un lato il segmento che congiunge il lato con il vertice opposto sulla semiretta bisettrice dell’angolo. Incentro Incentro: punto di intersezione delle tre bisettrici

DEFINIZIONI SUI TRIANGOLI Altezza: si chiama altezza relativa ad un lato il segmento che congiunge il vertice opposto con il lato formando con esso due angoli retti Ortocentro Ortocentro: punto di intersezione delle tre altezze

TRIANGOLI CONGRUENTI Due triangoli si dicono congruenti se possono essere sovrapposti uno sull’altro mediante un movimento rigido A B’ B C’ A’ C

TRIANGOLI CONGRUENTI Due triangoli si dicono congruenti se possono essere sovrapposti uno sull’altro mediante un movimento rigido

TRIANGOLI CONGRUENTI I triangoli congruenti hanno i lati e gli angoli ordinatamente congruenti ABDE BCEF ACDF A  D B E C F A E B F D C

I° CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI Se due triangoli hanno due lati e l’angolo compreso congruenti allora sono congruenti Se AB A’B’ ACA’C’ ’ A B’   B β' γ' Risulta anche: BC B’C’ ’ ’ α'  A’ C’ C

ESERCITAZIONE Hp: CMMB AMMD A Th: BDAC CDAB B M C D Dato un triangolo qualunque ABC, tracciamo la mediana AM e prolunghiamola, dalla parte di M, di un segmento MDAM. Dimostrare che BDAC e che CDAB Hp: CMMB AMMD A Th: BDAC CDAB B M C D

II° CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI Teorema: Due triangoli che hanno un lato e i due angoli ad esso adiacenti congruenti sono congruenti Hp: ACA’C’ ’ e ’ A B’   B β' γ' Th: BC B’C’ ABA’B’ ’ α'  A’ C’ C

PROPRIETA’ DEL TRIANGOLO ISOSCELE Teorema: in un triangolo isoscele gli angoli adiacenti alla base sono congruenti Hp: ABBC (il triangolo è isoscele) A \ Th: ABC  ACB Dimostrazione ABBC per ipotesi ATAT per la proprietà riflessiva della congruenza BAT CAT perché AT è la bisettrice per costruzione C B T I triangoli ABT e ACT risultano congruenti per il primo criterio di congruenza Bisettrice

PROPRIETA’ DEL TRIANGOLO ISOSCELE Teorema: in un triangolo isoscele gli angoli adiacenti alla base sono congruenti I triangoli ABT e ACT risultano congruenti per il primo criterio di congruenza perché hanno due lati e l’angolo compreso congruenti A Poiché ABTACT allora ne consegue che ABC  ACB perché angoli omologhi di triangoli congruenti C B T Resta pertanto dimostrata la tesi C.V.D. (Come Volevasi Dimostrare) Bisettrice

PROPRIETA’ DEL TRIANGOLO ISOSCELE Teorema inverso: se un triangolo ha due angoli congruenti allora è isoscele Hp: ABC  ACB A Th: il triangolo è isoscele cioè ABBC Dimostrazione Consideriamo i triangoli TCB e SBC BCBC per la proprietà riflessiva della congruenza BTCS per costruzione C TBC SCB perché angoli supplementari di angoli congruenti B I triangoli TCB e SBC risultano congruenti per il primo criterio di congruenza (due lati e l’angolo compreso) T S

PROPRIETA’ DEL TRIANGOLO ISOSCELE Teorema inverso: se un triangolo ha due angoli congruenti allora è isoscele Poiché TCB SBC risulta BSCT e TCB SBC A Consideriamo i triangoli ASB e ATC BSCT per la precedente dimostrazione BAS CAT perché angoli coincidenti ABSACT perché somma di angoli congruenti ABC + SBC  ACB + TCB C B I triangoli ASB e ATC risultano congruenti per il secondo criterio di congruenza (due angoli e il lato compreso congruenti) T S Pertanto in particolare risulta ABBC che è la tesi C.V.D.

III° CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI Teorema: Due triangoli che hanno i tre lati ordinatamente congruenti sono congruenti Hp: AB A’B’ ACA’C’ BC B’C’ A B’  B  β' γ' α'  A’ Th: ’ ’ ’ C