Programmazione di calcolatori Lezione III Cenni di teoria ingenua degli insiemi Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi
i giorni della settimana Gli insiemi Insieme: una collezione di oggetti distinti detti elementi Esempio: Lunedì Martedì Mercoledì Giovedì Venerdì Sabato Domenica i giorni della settimana Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi
Gli insiemi Esempio: i numeri interi positivi minori o uguali a 10 10 2 4 1 5 3 6 8 7 9 10 Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi
A Notazione Appartenenza: Esempio: se a è un elemento di A, scriveremo se a non è un elemento di A, scriveremo Esempio: 2 4 1 3 5 A Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi
Definizione di un insieme Modalità di definizione di un insieme: intensionale estensionale Definizione intensionale: descrizione della caratteristica posseduta da tutti e soli gli elementi dell’insieme Esempio: I giorni della settimana I numeri interi positivi minori o uguali a 10 Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi
Definizione di un insieme Definizione estensionale: elenco di tutti e soli gli elementi dell’insieme Esempio: i giorni della settimana i numeri interi positivi minori o uguali a 10 Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi
Intensionale vs Estensionale Esempio: intensionale ? estensionale Esempio: 26 63 1.039.806 126 1.009.311 979.418 9 … estensionale intensionale { x | x = i3+4i2-2i+6, iN, 1 i 100} Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi
Intensionale vs Estensionale Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi
Sottinsieme Sottinsieme: Esempio: A è un sottoinsieme di B se e solo se ogni elemento di A è anche elemento di B Esempio: Lunedì Martedì Mercoledì Giovedì Venerdì Sabato Domenica Giorni della Settimana (GdS) Festivi Feriali Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi
Prodotto cartesiano Prodotto Cartesiano: il prodotto cartesiano di A e B è l’insieme di tutte le coppie il cui primo elemento appartiene ad A e il cui secondo elemento appartiene a B Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi
Prodotto cartesiano Esempio: Numeri Decimali x Numeri Romani (1, II) (1, III) (1, IV) (2, I) (2, II) (2, III) (2, IV) (3, I) (3, II) (3, III) (3, IV) Numeri Decimali x Numeri Romani 2 1 3 Numeri Decimali II IV I III Numeri Romani Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi
Prodotto cartesiano Esempio: Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi
Relazioni binarie Relazione binaria R tra A e B: è un sottoinsieme del prodotto cartesiano di A per B Relazione binaria R tra A e B: Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi
Relazioni binarie Esempio: Numeri Decimali x Numeri Romani (1, II) (1, III) (1, IV) (2, I) (2, II) (2, III) (2, IV) (3, I) (3, II) (3, III) (3, IV) Numeri Decimali x Numeri Romani 2 1 3 Numeri Decimali Maggiori Uguali di II IV I III Numeri Romani Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi
Relazioni binarie Esempio: Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi
Funzioni f AxB t.c. aA (a,b)f e se (a,b) e (a, b’) f b=b’ Funzione: una funzione f da A in B è una relazione binaria che associa ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B f AxB t.c. aA (a,b)f e se (a,b) e (a, b’) f b=b’ Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi
Funzioni Esempio: Numeri Decimali x Numeri Romani Numeri Decimali (1, II) (1, III) (1, IV) (2, I) (2, II) (2, III) (2, IV) (3, I) (3, II) (3, III) (3, IV) Numeri Decimali x Numeri Romani 2 1 3 Numeri Decimali Conversione II IV I III Numeri Romani Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi
Funzioni Esempio: Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi
Funzioni NO E’ una funzione? Numeri Decimali x Numeri Romani (1, II) (1, III) (1, IV) (2, I) (2, II) (2, III) (2, IV) (3, I) (3, II) (3, III) (3, IV) Numeri Decimali x Numeri Romani Funzione ? NO Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi
Funzioni NO E’ una funzione? Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi
Nome, dominio, codominio, immagine Notazione: Nome Dominio Codominio Immagine di f: Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi
Nome, dominio, codominio, immagine (1, II) (1, III) (1, IV) (2, I) (2, II) (2, III) (2, IV) (3, I) (3, II) (3, III) (3, IV) Numeri Decimali x Numeri Romani Conversione Esempio: 2 1 3 Numeri Decimali II I IV III Numeri Romani Dominio Codominio Nome Immagine Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi
Definizione di una funzione Signature o arietà: nome dominio codominio Legge che associa ad ogni elemento del dominio un elemento del codominio Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi
Definizione di una funzione Esempio: funzione che associa ad ogni numero naturale il suo quadrato Signature o arietà: Nome: quadrato Dominio: N Codominio: N Legge che associa ad ogni elemento del dominio un elemento del codominio: quadrato(x) = x*x Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi
Funzioni iniettive Funzione iniettiva: f : AB è iniettiva se associa a valori diversi del dominio valori diversi del codominio o più formalmente f : A B è iniettiva se a e a’A t.c. a ≠ a’ f(a) ≠ f(a’) Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi
Funzioni iniettive? SI SI NO Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi
Funzioni iniettive? SI SI NO NO La funzione identità f(x)=x La funzione f : N→N definita da f(x)=2x+1 La funzione g : Z→N definita da g(x)=x2 La funzione g : Z→N definita da g(x)=|x| SI SI NO NO Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi
Funzioni suriettive Funzione suriettiva: f : AB è suriettiva se e solo se Im(f) = B o analogamente f : A B è suriettiva bB, aA, t.c. f(a)=b Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi
Funzioni suriettive? SI NO SI Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi
Funzioni suriettive? SI NO NO SI La funzione identità La funzione f : N→N definita da f(x)=2x+1 La funzione g : N→N definita da g(x)=x2 La funzione g : Z→N definita da g(x)=|x| SI NO NO SI Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi
Funzioni biunivoche SI NO NO Funzione biunivoca: f : A B è biunivoca se e solo se è iniettiva e suriettiva NO NO Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi
Funzioni invertibili Funzione inversa: se f : A B è biunivoca allora esiste f-1: B A, t.c. se b=f(a) allora f-1(b)=a, bB f-1 Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi
Equipotenza tra insiemi A è equipotente a B (AB) se e solo se f : A →B biunivoca Esempio: N {x | x = i 3, i N} Npari Ndispari Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi