La geometria delle trasformazioni Summer school 2007 Politecnico di Milano Emanuele Munarini

Contenuti della lezione Il programma di Erlangen Gruppi di trasformazioni Geometrie del piano Geometria proiettiva Un modello del piano proiettivo reale Sezioni coniche Topologia Deformazioni continue Superfici topologiche Classificazione delle superfici chiuse connesse

Il programma di Erlangen Geometria e trasformazioni

Programma di Erlangen (Felix Klein, 1872) La geometria è lo studio delle proprietà invarianti rispetto ad un gruppo di trasformazioni. Le proprietà geometriche delle figure non sono determinate dalla forma della figura ma dalle trasformazioni che possono agire su di essa.

Geometria del piano p : piano della geometria elementare figura piana: un qualsiasi sottoinsieme del piano (punti, rette, triangoli, rettangoli, circonferenze, dischi, etc.) trasformazione piana: una qualunque funzione biunivoca T : p  p.

Composizione di trasformazioni Date due trasformazioni piane T1 : p  p e T2 : p  p la trasformazione composta è la funzione T2  T1 : p  p definita applicando prima T1 e poi T2, ossia ponendo (T2  T1)(P) = T2(T1(P)) per ogni punto P del piano p.

La composizione di due funzioni biunivoche è ancora una funzione biunivoca Quindi, la composizione di due trasformazioni piane è ancora una trasformazione piana. L’insieme S(p) di tutte le trasformazioni del piano p è chiuso rispetto alla composizione (e possiede una struttura di gruppo).

Struttura di gruppo di S(p) la composizione è un’operazione interna;   la composizione è un’operazione associativa: T1  (T2  T3) = (T1  T2)  T3 esiste un elemento neutro, la funzione identità E : p  p, P  P, tale che T  E = E  T = T esistono le trasformazioni inverse: per ogni trasformazione T esiste una trasformazione inversa T-1 tale che T  T-1 = T-1  T = E.

Figure piane equivalenti Due figure piane F1 ed F2 sono equivalenti, o congruenti, se esiste una trasformazione piana T che porta la prima figura nella seconda, ossia se F2 = T(F1). In questo modo abbiamo definito una relazione tra le figure del piano che generalizza la relazione di uguaglianza. Più precisamente questa relazione è una relazione di equivalenza.

Relazioni di equivalenza riflessività: ogni figura è equivalente a sé stessa; simmetria: se una figura F1 è equivalente ad una figura F2 allora anche la figura F2 è equivalente alla figura F1; transitività: se una figura F1 è equivalente ad una figura F2 e la figura F2 è a sua volta equivalente ad una figura F3 allora la figura F1 è anch’essa equivalente alla figura F3.

Geometrie piane Dare una geometria piana significa assegnare un sottogruppo G di S(p) delle trasformazioni ammissibili. La geometria è lo studio delle proprietà che restano immutate comunque si applichi una delle trasformazioni ammissibili. Ossia una proprietà geometrica di una figura piana F è una proprietà che vale per F e per ogni altra figura T(F) che si può ottenere da F mediante una trasformazione piana T appartenente al gruppo G.

Classificazione Due figure piane F1 ed F2 sono equivalenti, o congruenti, se esiste una trasformazione piana T appartenente al gruppo G che porta la prima figura nella seconda: F2 = T(F1). Affinché questa relazione sia una relazione di equivalenza occorre che G sia un gruppo. Classificare le figure significa determinare le classi di equivalenza, ossia i tipi di figure.

Geometria euclidea metrica Supponiamo che p sia dotato di un’unità di misura e quindi di una distanza d(P,Q) tra i punti. Una isometria è una trasformazione T : p  p che conserva le distanze, ossia tale che d(T(P),T(Q)) = d(P,Q) per ogni punto P e Q del piano. Esempi: traslazioni, rotazioni, simmetrie. Figure invarianti: rette, rette parallele, rette perpendicolari, triangoli, circonferenze. Proprietà invarianti: lunghezze, aree, angoli.

Geometria euclidea simile Una similitudine è una trasformazione T : p  p che conserva i rapporti tra le distanze. Esempi: traslazioni, rotazioni, omotetie. Proprietà invarianti: rapporti tra le distanze, parallelismo tra rette, ampiezza degli angoli, rettangoli, il teorema di Pitagora. Proprietà non invarianti: lunghezze, aree. Le isometrie sono particolari similitudini (quelle per cui il rapporto delle desianze è 1). Allora ogni proprietà simile è anche una proprietà metrica.

Geometria affine Una affinità è una trasformazione T : p  p che conserva le rette, ossia l’allineamento dei punti. Proprietà invarianti: parallelismo di rette, congruenza tra segmenti, ellissi, le mediane di un triangolo si intersecano in un unico punto . Proprietà non invarianti: lunghezze, angoli, rapporti tra distanze, circonferenze, rettangoli. Le isometrie e le similitudini sono affinità.

La geometria delle proiezioni o delle ombre Geometria proiettiva La geometria delle proiezioni o delle ombre

Proiezioni p1 e p2: piani nello spazio ordinario P: punto esterno a p1 e p2. Proiezione: trasformazione T : p1  p2 definita in modo che T(A) = B = PA  p2:

Punti impropri Per avere una corrispondenza biunivoca tra i due piani bisogna aggiungere dei nuovi punti, detti punti impropri o all’infinito. I punti all’infinito di un piano formano una retta detta retta impropria. I punti all’infinito del piano p1 sono quelli che vengono mandati nella retta che si ottiene intersecando il piano p2 con il piano p' parallelo a p1 e passante per il punto P.

Geometria proiettiva Una proiettività è una trasformazione che si ottiene componendo un numero finito di proiezioni e di sezioni. Proprietà invarianti: rette, coniche, birapporto. Le proiettività non conservano i punti all’infinito, ossia possono portare un punto proprio in un punto all’infinito e viceversa. Le affinità del piano coincidono con le proiettività che conservano la retta impropria.

Un semplice modello del piano proiettivo reale La geometria elementare nell’usuale piano euclideo reale E2 è determinata dai seguenti assiomi fondamentali riguardanti l’incidenza tra punti e rette. E1) per due punti distinti passa una ed una sola retta; E2) due rette distinte si intersecano esattamente in un punto oppure non hanno punti in comune.

Problema: gli assiomi E1 ed E2 non sono simmetrici. Più precisamente si ha, per così dire, un difetto nell’assioma E2: le rette parallele non hanno punti in comune. Tuttavia anche due rette parallele hanno qualcosa in comune: la direzione. Questo diventa il punto di partenza per rimediare al difetto degli assiomi euclidei. Si amplia il piano euclideo ordinario introducendo un nuovo tipo di punti, i punti all’infinito.

Il piano esteso i punti sono dati le rette sono date da tutti i punti del piano euclideo E2, che verranno chiamati punti propri, e da tutte le direzioni in esso contenute, che verranno chiamate punti impropri, o punti all’infinito;  le rette sono date da tutte le rette del piano euclideo E2, che verranno chiamate rette proprie, e da una nuova retta r formata da tutti i punti impropri, che verrà chiamata retta impropria o retta all’infinito.

Una nuova geometria Chiameremo piano proiettivo P2 l’insieme formato dai punti e dalle rette che abbiamo appena introdotto. Vediamo ora in che modo si modificano i due assiomi E1 ed E2 che definivano la geometria euclidea nel piano. L’assioma E1 continuerà a valere ma l’assioma E2 cambia, semplificandosi.

Per due punti distinti passa una ed una sola retta. Dimostrazione. Siano P e Q due punti distinti. Se P e Q sono propri, per l’assioma E1 esiste esattamente una retta propria che passa per essi. Se P è proprio e Q è improprio allora esiste esattamente una retta propria che passa per P e che ha la direzione data da Q (quinto postulato di Euclide). Lo stesso vale se P è improprio e Q è proprio Se P e Q sono entrambi punti impropri, allora appartengono alla retta impropria. Inoltre non possono appartenere ad una stessa retta propria perché sono distinti ed ogni retta propria ha esattamente un punto improprio (che coincide con la sua direzione).

Due rette distinte si intersecano esattamente in un punto. Dimostrazione. Siano r ed s due rette distinte. Se r ed s sono entrambe proprie, per l’assioma E2 hanno esattamente un punto proprio in comune (e chiaramente non possono avere alcun punto improprio in comune) oppure non hanno punti propri in comune ma allora hanno esattamente un punto improprio in comune (la loro direzione). Se una delle due rette è propria e l’altra è impropria, allora hanno in comune esattamente il punto improprio che da la direzione della retta propria.

Rappresentazione del piano proiettivo A livello intuitivo possiamo rappresentare il piano proiettivo come un disco il cui bordo rappresenta la retta impropria, dove i punti del bordo antipodali sono da considerarsi uguali tra di loro:

Sezioni coniche

Classificazione euclidea e affine delle coniche Dal punto di vista euclideo le coniche irriducibili sono le ellissi, le parabole e le iperboli. Dal punto di vista affine c’è una sola ellisse, una sola parabola ed una sola iperbole. Cosa accade dal punto di vista proiettivo?

Coniche nel piano proiettivo C’è una sola conica irriducibile, ossia tutte le coniche irruducibili sono proiettivamente equivalenti.

La geometria delle deformazioni continue Topologia La geometria delle deformazioni continue

Nascita della topologia: i ponti di Königsberg E’ possibile attraversare tutti e sette i ponti esattamente una volta e tornare al punto di partenza? Risposta: No (Eulero, 1736)

Deformazione continua

Equivalenza topologica

Trasformazioni continue Una deformazione continua è una trasformazione che porta punti vicini in punti vicini. E’ lecito: tirare, torcere, piegare. E’ proibito: tagliare, lacerare, strappare, bucare. Un omeomorfismo del piano è una trasformazione T : p  p continua tale che anche la sua inversa sia continua.

Topologia La topologia è la geometria delle deformazioni continue. Le proprietà topologiche sono le proprietà che restano invariate per deformazioni continue. Proprietà topologiche: essere connessi ( cioè essere fatti di un solo pezzo), possedere dei buchi, avere un bordo, essere orientabili, ... Proprietà non topologiche: distanze, lunghezze, aree, parallelismo, ortogonalità, allineamenti, …

Superfici topologiche Una superficie è una figura dello spazio in cui ogni punto è circondato da una regione topologicamente equivalente ad un disco. Può essere utile pensare le superfici topologiche come se fossero oggetti perfettamente elastici che possono essere piegati, tirati, compressi o ritorti a piacere purché non si verifichino strappi, lacerazioni o tagli. Si può anche tagliare e ricucire, purché nel ricucire il taglio i punti originariamente vicini tornino ad essere vicini.

Esempi di deformazioni

Disco e cilindro

Sfera

Toro

Toro a due buchi e a tre buchi

Bottiglia di Klein

Piano proiettivo reale

Figure che non sono superfici topologiche

Superfici chiuse connesse Le superfici possono avere un bordo (disco, cilindro) oppure possono essere senza bordo (sfera, toro). Una superficie è chiusa quando è senza bordo, come la sfera ed il toro. Il disco ed il cilindro non sono superfici chiuse. Una superficie connessa è una superficie formata da un solo pezzo. Dischi, sfere, tori, bottiglie di Klein, piani proiettivi reali e cilindri sono tutte superfici connesse.

Superfici orientabili Intuitivamente le superfici orientabili sono quelle che hanno due facce (una “interna” ed una “esterna” se chiuse), come la sfera, il toro, il disco ed il cilindro. In questo caso una ipotetica formichina posta su una delle due facce non può passare sull’altra faccia senza fare buchi (e senza attraversare il bordo).

Superfici non orientabli Benché le superfici orientabili siano quelle più note ed intuitive, esistono anche superfici non orientabili, ossia con una sola faccia. Questo significa che la nostra ipotetica formichina può percorrere tutta quanta la superficie senza mai dover fare dei buchi (e senza mai dover oltrepassare il bordo).

Nastro di Möbius (1858)

Non orientabilità del nastro di Möbius M. C. Escher, Möbius Strip II (Red Ants), 1963.

Bordo del nastro di Möbius Il bordo del nastro di Möbius è una circonferenza.

Superfici non orientabili Una superficie non è orientabile quando contiene un nastro di Möbius. Le bottiglie di Klein e i piani proiettivi reali sono esempi di superfici chiuse non orientabili. Quindi, come vedremo, esse contengono un nastro di Möbius.

Sviluppo piano del tetraedro

Costruzione delle superfici chiuse: poligoni fondamentali I poliedri possono essere sviluppati nel piano dopo aver effettuato opportuni tagli lungo alcuni lati. Anche le superfici chiuse connesse possono essere rappresentate mediante opportuni sviluppi piani. Ogni superficie chiusa connessa può essere costruita a partire da un poligono orientato con un numero pari di lati identificando a due a due i suoi lati. Tale poligono è detto il poligono fondamentale della superficie.

Alcuni poligoni fondamentali Identificando i lati etichettati con le medesime lettere, rispettando la direzione delle frecce, si ottengono rispettivamente: la sfera il toro il piano proiettivo reale la bottiglia di Klein

Costruzione della bottiglia di klein

Non orientabilità della bottiglia di Klein

Teorema Il piano proiettivo reale si può ottenere incollando, lungo il bordo, un disco ed un nastro di Möbius. Dimostrazione: Rimovendo un disco da un piano proiettivo reale si ottiene un nastro di Möbius:

Teorema La bottiglia di Klein si può ottenere incollando due nastri di Möbius lungo il bordo. Dimostrazione. Si considerino due nastri di Möbius. Dopo aver identificato il bordo dei due nastri (indicando con a e con b i due lati opposti), tagliamo il primo nastro lungo il suo asse. Incollando tra di loro i lati contrassegnati con a e con b si ottiene il poligono che rappresenta una bottiglia di Klein. Ossia

Somma connessa di superfici La somma connessa di due superfici S1 e S2 è la superficie S1 # S2 che si ottiene rimovendo un disco da entrambe le superfici ed incollandole lungo il bordo dei due dischi rimossi. Ad esempio la somma connessa di due tori è un toro a due buchi:

Proprietà della somma connessa Commutatività: S1 # S2 = S2 # S1. Associatività: (S1 # S2 ) # S3 = S1 # (S2 # S3 ). Esistenza dell’elemento neutro: S # S = S # S = S dove S è la sfera.

Somma connessa con un toro o con un piano proiettivo reale La somma connessa di due tori è un toro a due manici (con due buchi): La somma connessa di una superficie S con un toro T può essere pensata come la superficie S alla quale si attacca un manico. Se S è orientabile allora anche S # T è orientabile.

Somma connessa con un piano proiettivo reale La somma connessa di una superficie S con un un piano proiettivo reale può essere pensata come la superficie S alla quale si attacca una cross-cup. S # P non è mai orientabile.

Somma connessa di due piani proiettivi reali Teorema La somma connessa di due piani proiettivi è una bottiglia di Klein.  Dimostrazione. Rimovendo un disco da due piani proiettivi ed incollando i due poligoni lungo il bordo del disco rimosso si ottiene una bottiglia di Klein.

Classificazione delle superfici chiuse connesse I Teorema (Deh - Heergaard, 1907) Ogni superficie chiusa e connessa S dello spazio ordinario è topologicamente equivalente alla somma connessa di g tori: S = T #  # T = T#g (g 0) se è orientabile; (se g = 0, S è una sfera S); alla somma connessa di k piani proiettivi reali: S = P #  # P = P#g (k 1) se non è orientabile.

Poliedri Un poliedro è una figura geometrica delimitato da poligoni, dette facce, che si incollano lungo i lati, detti spigoli. Gli spigoli si intersecano nei vertici. Esempi: prisma, piramide.

Poliedri regolari Un poliedro è regolare quando tutte le facce sono poligoni regolari e uguali. Esempi: tetraedro, cubo, ottaedro, dodecaedro, icosaedro.

Caratteristica di Eulero La caratteristica di Eulero di un poliedro P è il numero c(P) = V – S + F dove V è il numero dei vertici, S è il numero degli spigoli ed F è il numero delle facce di P. Teorema (Formula di Eulero) Per ogni poliedro P semplicemente connesso (cioè senza buchi) la caratteristica di Eulero è data da c(P) = 2.

Caratteristica di Eulero del cubo V = 8 S = 12 F = 6 c(Q) = V – S + F = 8 – 12 + 6 = 2

Poliedri regolari Teorema Esistono solo cinque poliedri regolari: il tetraedro (V = 4, S = 6, F = 4, c = 2) il cubo o esaedro (V = 8, S = 12, F = 6, c = 2) l’ottaedro (V = 6, S = 12, F = 8, c = 2) il dodecaedro (V = 20, S = 30, F = 12, c = 2) l’icosaedro (V = 12, S = 30, F = 20, c = 2)

Caratteristica di Eulero di una superficie chiusa La caratteristica di Eulero di una superficie chiusa S è definita come la caratteristica di Eulero di una qualunque superficie poliedrale topologicamente equivalente a S. Si dimostra che la definizione è ben posta, ossia che c(S) non dipende dalla superficie poliedrale utilizzata per calcolarla.

Caratteristica di Eulero del toro V = 16 S = 32 F = 16 c(T) = V – S + F = 16 – 32 + 16 = 0

Caratteristica di Eulero di alcune superfici Disco: c(D) = 1 Cilindro: c(C) = 0 Nastro di Möbius: c(N) = 0 Sfera: c(S) = 2 Toro: c(T) = 0 Piano proiettivo reale: c(P) = 1 Bottiglia di Klein: c(K) = 2

Caratteristica di Eulero di una somma connessa Teorema La caratteristica di Eulero di una somma connessa S1 # S2 è data da c(S1 # S2) = c(S1) + c(S2) – 2. Per la somma connessa di k superfici si ha c(S1 #  # Sk) = c(S1) +  + c(Sk) – 2(k-1). Se S1 =  = Sk = S si ha c(S #  # S) = k c(S) – 2(k-1).

Caratteristica di Eulero delle superfici chiuse e connesse Per la sfera e per il toro si ha c(S) = 2 e c(T) = 0. Quindi per le superfici chiuse orientabili: c(T#g) = g c(T) – 2(g-1) = 2 – 2 g Per il piano proiettivo reale si ha c(P) = 1. Quindi per le superfici chiuse non orientabili: c(P#k) = k c(P) – 2(k-1) = k – 2 k + 2 = 2 – k

Caratteristica di Eulero di una superficie chiusa connessa Teorema Per ogni g 0 e per ogni k 1 si ha c(T#g # P#k) = 2 – 2 g – k. Dimostrazione c(T#g # P#k) = c(T#g) + c(P#k) – 2 = 2 – 2 g + 2 – k – 2 = 2 – 2 g – k.

Classificazione delle superfici chiuse e connesse II Teorema Le superfici chiuse e connesse sono completamente caratterizzate, a meno di omeomorfismi, dalla caratteristica di Eulero e dall’orientabilità. Le superfici chiuse orientabili hanno sempre caratteristica di Eulero pari (c(T#g) = 2 – 2 g). Le superfici chiuse con caratteristica di Eulero dispari sono non orientabili: P # T #  # T. Le superfici non orientabili con caratteristica di Eulero pari, sono: K # T #  # T.

Esempio 1 Che superficie si ottiene dalla somma connessa di un toro e di un piano proiettivo reale? Si ha una superficie non orientabile T # P con caratteristica c(T # P) = c(T) + c(P) – 2 = -1. Ma c(P # P # P) = 3 c(P) – 4 = 3 – 4 = - 1. Quindi la superficie T # P è topologicamente equivalente alla somma connessa di tre piani proiettivi reali, ossia T # P = P # P # P.

Esempio 2 Che superficie si ottiene dalla somma connessa di una bottiglia di Klein con un piano proiettivo reale? Si ha una superficie non orientabile con caratteristica c(K # P) = c(K) + c(P) – 2 = -1. Quindi si ha K # P = P # P # P. Di conseguenza T # P = K # P, anche se il toro e la bottiglia di Klein non sono topologicamente equivalenti.

Fine