F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Curve e superficie prima parte : coniche nel piano e nello spazio 10

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa le curve antiche introduzione Linee e superfici come astrazioni percettive: specificazioni del paradigma del tipo Loriginaria doppia natura dei modelli geometrici delle curve e delle superficie: come leggi del moto di un punto e come sezione di corpi NOZIONI BASILARI le antiche coniche 1. coniche come luoghi solidi 1.1 le coniche di Menecmo (380 a.C. – 320) 1.2 le coniche di Apollonio (262 a.C. – 190) 2. coniche come luoghi geometrici del piano 2.1 fuochi 2.2 direttrici ed eccentricità

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Che forma ha? / Che forma è?

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Curve e superficie come attributi della forma dei corpi

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F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Modello geometrico delle curve e delle superficie

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Luoghi legittimi: cinematismi piani e grafici delle Funzioni La curva come luogo di punti è immaginata come prodotta da un cinematismo piano a un solo grado di libertà; è dunque il Luogo delle posizioni consecutive di un punto in movimento secondo una legge data come relazione analitica fra le coordinate x e y del piano (soddisfatta da tutti e soli i punti della curva): equazione della curva. 1) ciascuna coordinata è espressa come funzione di un parametro (ad esempio il tempo) x = f (t), y = g (t) 2) oppure entrambe le coordinate sono espresse in una sola equazione f (x,y) = 0 in forma cartesiana o polare. A esempio in forma polare…:

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Tracciare una linea retta

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F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Grado delle equazioni e ORDINI delle curve Se f(x, y) è un polinomio (ridotto) di grado m, la curva è algebrica di Ordine m (di primo grado per una retta, di secondo grado per una conica). Lordine ha il noto significato proiettivo del massimo numero di intersezioni con una retta del piano proiettivo. La curva si dice algebrica oppure trascendente secondo che sia algebrica o trascendente la sua equazione Il punto doppio si conta due volte Lordine di una curva non dipende dal tipo coordinate (cartesiane, polari, bipolari …) nei quali è rappresentata la sua equazione poiché le relazioni che permettono il passaggio da un sistema di riferimento cartesiano a un altro sono lineari e dunque l'ordine di una curva algebrica rimane invariato quando si cambia sistema di riferimento.

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Punti speciali di una curva MULTIPLO - Se una curva torna su stessa una o più volte il punto nel quale avviene questo ritorno assume generalmente tangenti distinte ed è nominato PUNTO DOPPIO o TRIPLO o MULTIPOLO. Le tangenti possono coincidere, o divenire a coppie immaginarie coniugate. NODO - In un punto doppio le tangenti possono essere reali e distinte e allora il punto si dice NODO; CUSPIDE - possono essere invece reali e coincidenti, allora quel punto è una CUSPIDE e le tangenti reali e coincidenti invertono il loro senso. ISOLATO - Le tangenti nel punto doppio possono anche essere immaginarie e coniugate, allora il punto si dice ISOLATO. ASINTOTICO è un punto attorno al quale la curva compie infinite evoluzioni. Per dualità nel piano dallidea di punto multiplo si ammette quella di tangenti multiple aventi con la curva multipli punti di contatto. Una tangente doppia sega la curva in due punti reali e distinti o coincidenti, oppure immaginari e coniugati; tali punti sono detti DI FLESSO;

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F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa TANGENTE di una curva e curva come INVILUPPO La tangente in un generico punto A di una curva piana è la posizione limite della secante in A e in un punto A' quando A' tende a A. il variare del coefficiente angolare delle tangenti si esprime traducendo la forma esplicita dellequazione y = f(x) nella funzione sua derivata prima y'(x). La curva è così anche lINVILUPPO delle sue rette tangenti, si può immaginare ogni suo punto come generato dal moto di una retta che interseca in ogni istante la sua posizione precedente. Una curva è linsieme dei punti di contatto della famiglia delle sue tangenti.

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F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Luoghi legittimi: cinematismi spaziali a due gradi di libertà e funzioni rappresentati superficie Superficie è ogni oggetto topologico localmente omeomorfo al piano; lo si può immaginare descritto dal moto di una curva (generatrice) lungo unaltra curva (direttrice) e dunque assimilabile a un cinematismo a tre dimensioni e due gradi libertà In quanto tale (sia come luogo di punti o inviluppo di piani) una superficie può essere descritta con funzioni di tre variabili, se lequazione è algebrica la si dice algebrica e il suo ordine equivale al grado del polinomio. I piani sono superficie di primo ordine, le quadriche di secndo, le cubiche di terzo, le quartiche del quarto…

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F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Coniche di Menecmo ORTOTOMA OXITOMA AMBLITOMA 1. STEROI TOPOI (luoghi solidi)

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa ORTOTOMA OXITOMA AMBLITOMA Cono rettangolo Cono acutangolo Cono ottusangolo

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa superficie conica rotonda superficie conica rotonda è il luogo delle rette g (generatrici) che passano per un punto V (vertice) di una retta v (asse) e che formano con v un angolo costante. Sezione conica Sezione conica è la curva (necessariamente chiusa) nella quale un piano taglia una superficie conica rotonda. 1.2 Coniche di Apollonio

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Un qualunque piano (non passante per V) taglia la superficie conica in una curva simmetrica lungo un asse detto asse focale o asse principale della sezione conica. Tale asse focale è lintersezione del piano della conica con il piano ad esso che passa per lasse v della superficie conica e dunque è anche un piano di simmetria della superficie. Lasse focale incontra la curva nei suoi due apsidi A 1 e A 2, vertici principali della conica la cui distanza 2a misura la lunghezza dellasse focale. Apside A 1 Apside A 2 2a asse focale Conica (sezione)

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa parabolaellisse iperbole parabola iperbole ellisse circolo Lasse focale della sezione conica può formare un angolo rispetto allasse v uguale, minore o maggiore di (langolo formato dalle generatrici g della superficie) a seconda che il piano sia // a una, a due o a nessuna generatrice. Nel primo caso incontra al finito tutte le generatrici tranne quella a esso // per cui la curva, parabola, ha tutti punti propri tranne il suo secondo vertice principale. Nel secondo caso i vertici della curva sono propri ma, essendo // a due generatrici, la curva, iperbole, ha due punti impropri e dunque consta di due rami. Nel terzo caso incontra tutte le generatrici al finito e quindi si determina una curva, ellisse o in particolare circolo, composta di tutti punti propri che presenta anche una coppia di vertici secondari agli estremi di un secondo, minore, asse di simmetria ortogonale.

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F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa conica degenere Consideriamo sezione conica qualunque sezione piana della superficie conica, e dunque è una conica, anche quella ottenuta con un piano sezionante che passi per il vertice della superficie, solo che in quel caso la curva si riduce o a un punto o a una coppia di rette (distinte oppure coincidenti) è detta conica degenere.

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa conica degenere circolo

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F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Le proprietà metriche e grafiche delle sezioni del cono si deducono da quelle della superficie conica. Il luogo dei punti medi di tutta la schiera di corde parallele di una superficie conica sono i punti di un piano che passa per il vertice e che chiamiamo piano diametrale coniugato alla direzione delle corde //. Così sul piano della sezione conica il luogo dei punti medi di una schiera di corde // della curva è una retta che viene detta diametro coniugato alla direzione delle corde. Una schiera di piani // taglia generalmente una superficie conica in una serie di coniche centrali omotetiche rispetto al vertice V; quindi il luogo dei centri di queste coniche è una retta che passa per V che viene detta diametro coniugato alla giacitura dei piani // considerati. Segue che (se una sezione conica ha centro) tutti i diametri coniugati passano per il centro della conica. Caso particolare è quello in cui taglia la superficie conica in una parabola, allora il piano diametrale coniugato a una direzione // a passa per la generatrice // a. Tutti i diametri di una parabola sono // al suo asse. Nel punto in cui un diametro incontra la conica, la tangente alla conica è \\ alla direzione coniugata a quel diametro.

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F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Dalle diverse coniche di Apollonio alle coniche come diverse manifestazioni di un unico ente matematico

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F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Coniche come luogo geometrico di punti del piano rispondenti a proprietà metriche 2.1 fuochi

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa FUOCHI 2.1 Distanze dai FUOCHI

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Come il circolo è il luogo dei punti di un piano equidistanti da un solo punto F (centro), lellisse è quello dei punti per i quali è costante la somma delle distanze da due punti F 1, F 2 detti fuochi,

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F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa liperbole è il luogo dei punti per i quali è costante la differenza delle distanze da due fuochi F 1, F 2,

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F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa direttrice la parabola è il luogo dei punti per i quali è uguale la distanza da un punto F (fuoco) e una retta d (direttrice). fuoco

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F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa direttrici

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F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa eccentricità eccentricità e= PF/Pd Le coniche si possono anche definire come il luogo dei punti P di un piano tali che il rapporto tra la loro distanza PF da un punto F detto Fuoco e la loro distanza Pd da una retta d (corrispondente a F) detta direttrice è sempre costante; tale rapporto si dice eccentricità e= PF/Pd, e per e=1, e 1 la curva è rispettivamente parabola, ellisse ed iperbole.

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F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Significato fisico delle proprietà metriche

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CURVE 2 proipprietà proiettive e stereotomiche delle coniche

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa La relazione tra proprietà metriche e proprietà stereotomiche: Teorema di Quetelet e Dandelin

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Teorema di Quetelet e Dandelin. In una superficie conica rotonda sezionata con un piano non // a una generatrice (caso dellellisse e delliperbole) esistono due sfere iscritte alla superficie conica e tangenti al piano nei fuochi F 1 e F 2 della conica. Se è // a una generatrice esiste una sola sfera iscritta alla superficie e tangente al piano nel fuoco F della parabola. Inoltre i piani dei circoli di contatto delle sfere iscritte con la superficie conica intersecano il piano sezionante nelle direttrici della sezione conica.

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Per dimostrare questa proposizione si consideri la sezione con il piano e che passa per lasse v della superficie conica; esso taglia la superficie secondo due generatrici g 1 e g 2 e individua su lasse principale A 1 A 2 della conica. In quel piano le due sfere iscritte alla superficie conica e tangenti a risultano tagliate in due cerchi massimi che si possono disegnare facilmente uno come il circolo (di centro C 1 ) iscritto al triangolo VA 1 A e laltro come quel circolo (di centro C 2 ) ex- iscritto del trilatero VA 1 A 2 che ha centro sullasse v.

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa È evidente che il trilatero VA 1 A 2 rappresenta le tangenti condotte dai punti A 1,e A 2 ai due circoli di centri C 1 e C 2 nei punti Q 2, Q 1, F 2, F 1, R 2, R 1. E per la simmetria del cerchio sono ovviamente uguali i due segmenti di tangente che vanno dai punti di contatto R e Q ai punti esterni A per i quali si conducono tali tangenti: così A 1 Q 1 = A 1 F 1 e A 1 F 2 = A 1 R 1.

F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Si vede dunque come sia A 1 Q 1 + A 1 R 1 = 2a (lunghezza dellasse focale A 1 A 2 della conica) e quindi come un qualsiasi segmento di generatrice compreso tra i due circoli di contatto delle sfere iscritte abbia estensione uguale allasse focale A 1 A 2. Si immagini uno qualunque di questi segmenti di generatrice P 1 P 2 compresi tra i due circoli di contatto intersecare il piano nel punto P. I segmenti PP 1 e PP 2 (distanze di P dai circoli di contatto) sono i segmenti di tangenti condotte da P alle due sfere iscritte e per la simmetria della sfera si può constatare che PP 1 = PF 1 e PP 2 = PF 2 e concludere che PF 1 + PF 2 = A 1 A 2 = 2a, cioè che tutti i possibili punti P della sezione individuano unellisse poiché sono tali per cui resta costante (= 2a)la somma delle loro distanze da F 1 e da F 2.

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F. Gay, Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dellArchitettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa Coniche come trasformazioni proiettive del circolo

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