PITAGORA GENERALIZZATO A.Martini IL TEOREMA DI PITAGORA GENERALIZZATO

Consideriamo un triangolo scaleno

Consideriamo un triangolo scaleno

Consideriamo un triangolo scaleno  a b   B A H c

Adesso scomodiamo la matematica per fare una serie di operazioni su questo triangolo scaleno 23

Non chiedertene il motivo. Lo so che sembrano operazioni inutili o comunque gratuite 23

Ne capirai il significato solo alla fine della dimostrazione. Abbi pazienza: è così che si procede di solito. 23

Io non ti spiegherò ogni singolo passaggio: per esercizio cerca di capirlo da solo, 23

i passaggi che non comprendi segnateli sul quaderno delle domande e poi chiedi spiegazione al prof. 23

C  a b   B A H c

C  a b   B A H c AB =AH + HB

C  a b   B A H c AB =AH + HB AH = b cos 

C  a b   B A H c AB =AH + HB AH = b cos  HB = a cos 

C  a b   B A H c AB =AH + HB AH = b cos  HB = a cos  AB = c

C  a b   B A H c c = b cos  + a cos  AB =AH + HB AH = b cos  HB = a cos  AB = c

C  a b   B A H c c = b cos  + a cos 

C  E’ possibile, come ci insegna la trigonometria, passare da questa ad altre formule corrette sostituendo ad ogni lettera quella corrispondente successiva, seguendo una rotazione in senso antiorario (o orario). a b   B A H c c = b cos  + a cos 

C  a b   B A H c c = b cos  + a cos  a =

C  a b   B A H c c = b cos  + a cos  a = c

C  a b   B A H c c = b cos  + a cos  a = c cos 

C  a b   B A H c c = b cos  + a cos  a = c cos + b

C  a b   B A H c c = b cos  + a cos  a = c cos + b cos 

C  a b   B A H c c = b cos  + a cos  a = c cos + b cos  b = a cos + c cos 

C  a b   B A H c c = b cos  + a cos  a = c cos + b cos  b = a cos + c cos 

C  a b   B A moltiplichiamo ambo i membri per: H c c c = b cos  + a cos  -a a = c cos + b cos  b b = a cos + c cos 

C  a b   B A moltiplichiamo ambo i membri per: H c c c2 = bc cos  + ac cos  -a a = c cos + b cos  b b = a cos + c cos 

C  a b   B A moltiplichiamo ambo i membri per: H c c c2 = bc cos  + ac cos  -a -a2 = -ac cos - ab cos  b b = a cos + c cos 

C  a b   B A moltiplichiamo ambo i membri per: H c c c2 = bc cos  + ac cos  -a -a2 = -ac cos - ab cos  b b2 = ab cos + bc cos 

C  a b   B A sommiamo membro a membro: H c c2 = bc cos  + ac cos  -a2 = -ac cos - ab cos  b2 = ab cos + bc cos 

C  a b   B A sommiamo membro a membro: H c c2 = bc cos  + ac cos  -a2 = -ac cos - ab cos  b2 = ab cos + bc cos  c2 -a2 + b2 = bc cos  + accos  -ac cos -ab cos ab cos + bc cos 

C  a b   B A sommiamo membro a membro: H c c2 = bc cos  + ac cos  -a2 = -ac cos - ab cos  b2 = ab cos + bc cos  c2 -a2 + b2 = bc cos  + accos  -ac cos -ab cos ab cos + bc cos 

C  a b   B A semplifichiamo: H c c2 = bc cos  + ac cos  -a2 = -ac cos - ab cos  b2 = ab cos + bc cos  c2 -a2 + b2 = bc cos  + accos  -ac cos -ab cos ab cos + bc cos 

C  a b   B A semplifichiamo: H c c2 = bc cos  + ac cos  -a2 = -ac cos - ab cos  b2 = ab cos + bc cos  c2 -a2 + b2 = bc cos  + accos  -ac cos -ab cos ab cos + bc cos 

C  a b   B A semplifichiamo: H c c2 = bc cos  + ac cos  -a2 = -ac cos - ab cos  b2 = ab cos + bc cos  c2 -a2 + b2 = bc cos  + accos  -ac cos -ab cos ab cos + bc cos 

C  a b   B A semplifichiamo: H c c2 = bc cos  + ac cos  -a2 = -ac cos - ab cos  b2 = ab cos + bc cos  c2 -a2 + b2 = bc cos  + accos  -ac cos -ab cos ab cos + bc cos 

C  a b   B A semplifichiamo: H c c2 = bc cos  + ac cos  -a2 = -ac cos - ab cos  b2 = ab cos + bc cos  c2 -a2 + b2 = bc cos  + accos  -ac cos -ab cos ab cos + bc cos 

C  a b   B A semplifichiamo: H c c2 = bc cos  + ac cos  -a2 = -ac cos - ab cos  b2 = ab cos + bc cos  c2 -a2 + b2 = bc cos  + bc cos 

C  a b   B A semplifichiamo: H c c2 = bc cos  + ac cos  -a2 = -ac cos - ab cos  b2 = ab cos + bc cos  c2 -a2 + b2 = bc cos  + bc cos = 2bc cos 

C  a b   B A H c c2 -a2 + b2 = 2bc cos 

C  a b   B A H c c2 -a2 + b2 = 2bc cos  -a2 = - b2 - c2 + 2bc cos 

C  a b   B A H c c2 -a2 + b2 = 2bc cos  -a2 = - b2 - c2 + 2bc cos  a2 = b2 + c2 - 2bc cos 

C  a b   B A H c a2 = b2 + c2 - 2bc cos 

C  a b   B A H c a2 = b2 + c2 - 2bc cos 

C  a b   B A H c a2 = b2 + c2 - 2bc cos 

C  a b   B A c H a2 = b2 + c2 - 2bc cos 

C  a b   B A c H a2 = b2 + c2 - 2bc cos 

C  a b   B A c H a2 = b2 + c2 - 2bc cos 

a  c a2 = b2 + c2 - 2bc cos  b C   B A H Teorema di Pitagora generalizzato: Il quadrato costruito su un lato di un triangolo scaleno è uguale alla somma dei quadrati costruiti su gli altri due lati, meno il doppio prodotto di questi per il coseno dell’angolo fra essi compreso.

con il teorema di Pitagora generalizzato La SOMMA DI DUE VETTORI con il teorema di Pitagora generalizzato

Adesso applichiamo questo teoria matematico ad un caso particolarmente utile: 23

Consideriamo due vettori qualsiasi e sommiamoli graficamente, come sappiamo già fare. 23

n m

n m

n m

V n m

V n h m

V n h m

V n h h m

V n h n h     m

Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo V n h n h     m

Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo V n h n h     m V2 = m2 + n2 - 2mn cos 

V2 = m2 + n2 - 2mn cos   Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo V n h n h     m V2 = m2 + n2 - 2mn cos   poiché è:

V2 = m2 + n2 - 2mn cos   coscos Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo V n h n h     m V2 = m2 + n2 - 2mn cos   poiché è: coscos si ha:

V2 = m2 + n2 + 2mn cos   coscos Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo V n h n h     m V2 = m2 + n2 + 2mn cos   poiché è: coscos si ha:

Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo V n  m V2 = m2 + n2 + 2mn cos 

Come vedi, si può calcolare l’intensità del vettore risultante tra due vettori senza fare disegni 23

l’intensità dei due vettori e l’angolo fra essi compreso conoscendo l’intensità dei due vettori e l’angolo fra essi compreso 23

Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo V n  m V = m2 + n2 + 2mn cos 

V2 = m2 + n2 + 2mn cos  Determiniamo la direzione di V V n h n h      m

V2 = m2 + n2 + 2mn cos  Determiniamo la direzione di V V n h n h      m h = n sen 

V2 = m2 + n2 + 2mn cos  Determiniamo la direzione di V V n h n h      m h = n sen  h = V sen 

V2 = m2 + n2 + 2mn cos  Determiniamo la direzione di V V n h n h      m h = n sen  h = V sen  n sen = V sen 

V2 = m2 + n2 + 2mn cos  Determiniamo la direzione di V m n V h    h = n sen  h = V sen  n sen = V sen  sen = (n/V) sen 

Come vedi, si può determinare la direzione del vettore risultante, calcolando l’angolo fra la sua direzione e quella di uno dei due vettori componenti 23

Come vedi, si può determinare la direzione del vettore risultante, calcolando l’angolo fra la sua direzione e quella di uno dei due vettori componenti V n   m sen = (n/V) sen  23

Esercizio Esperienze

Teoria: la reazione vincolare La 1^ condizione di equilibrio Come pesare un carrello “senza” bilancia

ESERCIZIO

S2=30m 70° S1=46m

Il nostro amico sa che in uno di questi sacchi c’è un tesoro, mentre negli altri ci sono solamente serpenti. Sa anche che per raggiungere il sacco potrebbe avanzare per 46 metri nella direzione rossa e poi per 30 metri in quella blu, che forma con la rossa un angolo di 70°. Però può raggiungere il sacco con il tesoro procedendo in una sola direzione e non fermandosi mai se non per raccogliere il sacco. Sapresti indicargli che cosa fare? S2=30m 70° S1=46m

S2=30m 70° S1=46m

Ti suggerisco solo la risposta perché tu possa controllare se hai fatto bene. 23

Procedi per 59,1 m in direzione 28,5° rispetto alla direzione rossa fine