Ricostruzione di polyomini L-convessi G. Castiglione, A. Restivo, R. Vaglica. Dipartimento di Matematica e Applicazioni, Università di Palermo

Polyomino insieme finito e connesso di celle (quadrati unitari) del piano cartesiano definito a meno di una traslazione Polyomino convesso : polyomino le cui righe e colonne sono connesse due celle di un insieme discreto si dicono connesse se esiste un cammino (sequenza di celle adiacenti) che le collega contenuto nell’insieme.

Polyomini L-convessi polyomini convessi in cui ogni coppia di celle risulta connessa da un cammino monotono con al più un solo cambiamento di direzione (L-path) L-convesso In un polyomino convesso qualunque coppia di celle risulta connessa da almeno un cammino monotono. Cammino monotono: cammino autoevitante costituito da passi in due sole direzioni

Ricostruzione di insiemi discreti a partire da informazioni parziali L-cammini { 1, 2, ... ,} Proiezioni orizzontali e verticali (Tomografia discreta) 1 3 8 6  H V  2 2 3 8 7 7 3 3

Ricostruzione di polyomini L-convessi L-cammini Proiezioni orizzontali e verticali (Tomografia discreta) L-cammini massimali L-cammini bordati unicità unicità unicità Ricostruzione banale (L-convessi) Algoritmo di ricostruzione

L-cammini L(P): insieme degli L-cammini contenuti nel polyomino L-convesso P Denotiamo con x,y (x,yℤ-{0}) un L-cammino fatto da |x|-1 passi orizzontali, |y|-1 passi verticali orientato come segue se x>0 e y>0 se x>0 e y<0 se x<0 e y>0 se x<0 e y<0 Esempio L-cammino 3,4 contenuto in un polyomino L-convesso L(P) { x,y / x,y  P }

Relazione tra altezza e larghezza di P e l’insieme Lmax(P) L-cammini massimali (L(P), ) è un insieme parzialmente ordinato x,y è massimale (in L(P)) se  x',y'  L(P) , x,y  x',y'  x  x'  y  y' Lmax(P): insieme di tutti gli elementi massimali di L(P) Osservazione: gli elementi di Lmax(P) possono avere più occorrenze in P. Tutte queste occorrenze connettono celle appartenenti ai bordi di P Relazione tra altezza e larghezza di P e l’insieme Lmax(P)

parzialmente ordinato Rettangoli massimali [x,y]  Polyomino di forma rettangolare avente larghezza x ed altezza y. R(P) { [x,y] t.c. [x,y]  P } parzialmente ordinato Rmax(P): insieme di tutti gli elementi massimali di R(P) Osservazione: Rmax(P) è un insieme finito di rettangoli non confrontabili ovvero  [x,y], [x',y']Rmax(P) tali che [x,y]  [x',y']  [x',y']  [x,y] Rmax(P) {[x1,y1] , [x2,y2] , … , [xn,yn]} x1  x2  …  xn and y1  y2  …  yn ordinamento canonico

Rettangoli non confrontabili in posizione crossing Dati i rettangoli [x,y], [x',y'] non confrontabili si dice che essi si trovano in una posizione crossing se rettangoli in posizione non crossing rettangoli in posizione crossing Teorema: Un polyomino convesso P è un L-convesso se e solo se i suoi rettangoli massimali hanno a due a due una posizione crossing in P.

I polyomini L-convessi sono caratterizzati dai loro L-cammini massimali? [x1 , y1]  [w(P) , min{y : x,y Lmax(P), xw(P) }] [xn , yn]  [ min{x : x,y Lmax(P), yh(P) } , h(P) ] Rmax(P) {[x1 , y1] , … , [xi , yi] , … , [xn , yn] } ordine canonico se Rmax(P)  {[x,y]}, ovvero P  [x,y], e QL è tale che Lmax(P)  Lmax(Q)  Q  P L  famiglia dei polyomini L-convessi

Corrispondenza tra un polyomino L-convesso P e la famiglia Lmax(P ) Lemma. Sia Rmax(P)  2.  QL tale che Lmax(P)  Lmax(Q), la dimensione e la reciproca posizione del primo e secondo (penultimo ed ultimo) rettangolo massimale di Q coincideranno con quelle del primo e del secondo (penultimo ed ultimo rispettivamente) rettangolo massimale di P. Teorema. Sia P L. Se Rmax(P)  3 allora P è univocamente determinato da Lmax(P) . Lmax(P)  P nel caso in cui P è costituito al più da 3 rettangoli massimali

Controesempio Questo esempio considera due polyomini L-convessi distinti, con più di tre rettangoli massimali, aventi lo stesso insieme di L-cammini massimali riportato in tabella.   4 rettangoli massimali P1 P2 2 occorrenze

Multiset ? P1 P2 multiset Questo esempio considera due polyomini L-convessi differenti aventi lo stesso multiset di L-cammini massimali. non è massimale

L- cammini bordati 1 8 2 3 8 8 7 3 6 6 3 3 ; Polyomino L-convesso

Problemi affrontati Consistenza Ricostruzione Unicità

L-cammini bordati Sia P un polyomino convesso. Un L-cammino  è bordato in P se parte da una cella del bordo procede ortogonalmente rispetto allo stesso bordo quando incontra il bordo opposto gira in senso antiorario  # quindi procede dritto fino al bordo opposto #   # SE bordato se parte dal bordo superione EN bordato se parte dal bordo sinistro NW bordato se parte dal bordo inferiore WS bordato se parte dal bordo destro In particolare  è detto : #  # 

Definizione di un L-cammino bordato Sia un L-cammino che cambia direzione nella cella . è detto SE bordato se è in direzione SE e EN bordato se è in direzione EN e NW bordato se è in direzione NW e WS bordato se è in direzione WS e denota la cella

Definizione di una funzione di valutazione per un L-cammino La size di un L-cammino è la funzione definita da dove . tutte le coppie di interi positivi che rappresentano la size di un L-cammino SE bordato SE = Analogamente E N , W S, N W card (SE) = card (N W) = (P) card (E N) = card (W S) = h(P)

Esempio  #  #

Struttura dell’algoritmo Prima fase  determina gli elementi di Rmax(P) [x1,y1] [x2,y2] [x3,y3] [x4,y4] x1  x2  x3  x4 and y1  y2  y3  y4

Struttura dell’algoritmo Seconda fase  determina la mutua posizione dei rettangoli massimali a partire… Ω = (ω1, ω2, ω3, ω4) Σ = (σ1, σ2, σ3, σ4)  ascisse dei SW corners  ordinate dei SW corners

Prima fase LEMMA. Sia P un polyomino L-convesso. Gli elementi di Rmax(P) sono univocamente determinati da SE (o equivalentemente da E N , N W , W S) Dalla prova di questo lemma si ricava una procedura per determinare gli elementi di Rmax(P) a partire dall’insieme SE

Seconda fase Ω  Due procedure che determinano Ω OMEGA1 (SE, E N)  OMEGA2 (SE, WS) Determinare la reciproca posizione di due rettangoli massimali significa stabilire quale tipo di intersezione crossing hanno. incrociato allineato a sinistra allineato a destra

Seconda fase Ω  P P* Ω Ω* Σ … due tipi of sizes sono necessari!!! Due procedure che determinano Ω Ω OMEGA1 (SE, E N)  OMEGA2 (SE, WS) Scegliendo solo una delle due procedure … P P* (SE, WS) Ω OMEGA2 (SE *, WS *) Ω* Σ clock.rotation of π/2 OMEGA2 (SE, E N) … due tipi of sizes sono necessari!!!

Seconda fase Ω OMEGA1 (SE, E N)  OMEGA2 (SE, WS) Tuttavia il nostro scopo è ricostruire univocamente P da un’unica coppia di set di sizes. (SE, E N) Ω OMEGA1 (SE *, WS *) Ω* Σ clock.rotation of π/2 OMEGA2 (SE, E N) Teorema: Ogni polyomino L-convesso è univocamente determinato da (SE, E N).