Linee e superfici : le forme e le forze 6 Linee e superfici : le forme e le forze

sommario Classificazione proiettiva delle quadriche Proprietà meccaniche delle curve e delle superficie Rassegna morfologica per generazione meccanica delle curve Categorizzazione delle curve Esercizio sulle superfici di Lamé

QUADRICHE

3. Trasformazioni omografiche della sfera

PUNTO ELLITTICO

ellissonide

paraboloidi

4. Trasformazione omografica della superficie conica rotonda

PUNTO PARABOLICO

P.L. Nervi: Aviorimesse a Orvieto (1935)

F. Dischinger: Copertura del mercato di Lipsia (1929

Mole antonelliana a Torino (1863-80)

5. iperboloidi

PUNTO IPERBOLICO DIREZIONE ASINTOTICA

Paraboloide iperbolico: sezioni parabolociche

Paraboloide iperbolico: sezioni iperboliche

Paraboloide iperbolico come superficie rigata

Iperboloide a una falda

V. Choukhov: Torre radio a Mosca (1922),...........

CURVE e SUPERFICIE 3 Cubiche, quartiche e alcune trascendenti; superfici di rivoluzione a sezione meridiana variabile

breve panoramica morfologica Curve e superficie d’ordine superiore una breve panomarica morfologica e un’applicazione in architettura Semplice esempio introduttivo: ordine della curva e senso palastico della variabilità breve panoramica morfologica dalla parabola alle curve di efficiente resistenza cicloidi e prime curve cinematiche Concoidali e chiasmiche Quartiche e toriche Trascendenti tipiche: spirali Curve elastiche e parametriche Curve di Bezier, B-Spline e NURBS Una generalizzazione delle coniche: curve e superficie di Lamè Descrizione delle superfici architettoniche Esercizio in aula

Ordini delle curve e senso plastico della variazione di curvatura

Grado dell’equazione e ORDINE DELLA CURVA: una rassegna morfologica Coniche (Quadratiche) Cubiche ellittiche (Parabole divergenti) e cubiche razionali (duplicatrice)

LE FORME E LE FORZE: Senso plastico ed efficienza meccanica delle curve:

Catenaria d’ugual resistenza Serie morfologiche parabola catenaria Catenaria d’ugual resistenza

Eugene Freyssinet Hangar di Orly (1923)

sinusoide Cicloide di Sturm lintearia

kappa Curva di Schoute a forma di punta di matita qui ottenuta come inversione biassiale dell’iperbole

Curva di Agnesi Cubica di Lamé Curva di Gauss Grafico della funzione Inversa del coseno iperbolico Cubica di Lamé Curva di Gauss

Trisettrice di MacLaurin strofoide Folium di Cartesio Trisettrice di MacLaurin Qui costruita come intersezione di due rette che ruotano costantemente una alla velocità tripla dell’altra

Cubica circolare razionale cissoide Cissoide come curva mediana della retta del circolo

Cubiche di Chasles Iperboli cubiche (P è un polinmio di terzo grado)

Parabole (cubiche) divergenti

Quartica razionale piriforme                                                             . Curva a “lacrima”

Lemniscata di Bermouilli Lemniscata di Gerono

Quartiche bicircolari razionali Lumaca di Pascal

Cardioide Qui costruita come pericicloide                                                  .                                                  .

Quartiche di Bermuoilli Qui resa come curva mediana tra due circoli concentrici Qui resa come curva descritta dalla biella di Berad

Spiriche di Perseo Fissati A e B variando C. 1) Se 0 < B < A Spiriche e toriche

Ovali di Cassini Ovali e Lemniscate di Booth e Ippopede di Proclo

Costruzioni cinematiche (come curve di Watt) delle curve di Booth come luoghi del centro di una conica che ruota senza scivolare su una a lei uguale e con i vertici coincidenti

Quartiche di Plücker

Trascendenti tipiche: le spirali Spirale logaritmica Caso di fibonacci Cfr. Modulor

Spirale d’Archimede E la sua inversa: Spirale iperbolica

Involuta del circolo Le involute di una data curva piana C sono le curve (inviluppo) tracciate dall’estremo di un filo teso lungo C e srotolato da C;detto altrimenti sono le tracce nel piano di un punto d’una retta ruotante senza scivolare su C (sono dunque dei casi particolari di cicloidi). Una qualunque curva della quale un’altra curva C è l’evoluta si dice Evolvente di C (quì il circolo è l’Evolvente).

Evolute dell’ellisse (curve di Lamè)

Curve elastiche e parametriche   Curve elastiche e parametriche Curve piane la cui curvatura in ciascun punto M è proporzionale alla distanza da una curva detta direttrice

curve (di approssimazione) di Bézier curva di approssimazione ottenuta come interpolazione di punti di controllo che non passa attraverso i punti che interpola (tranne il primo e dell’ultimo). L’ordine di una curva di Bézier è sempre uguale al numero dei punti di controllo. (una curva di Bézier di ordine 9 si costruice con un polinomio è di ottavo grado).

Come per Euclide la retta è quella curva che coincide con ogni sua tangente (la curva è una retta se e solo se tutti i “punti di controllo” giacciono sulla curva) così nelle curve parametriche di Bézier la curva è una retta se e solo se i punti di controllo sono collineari. Una curva quadratica di Bézier si costruisce assegnando i punti intermedi Q0 e Q1 al variare di t da 0 a 1 il punto Q0 varia da P0 to P1 e descrive una curva lineare di Bézier. Il punto Q1 varia da P1 to P2 e descrive una curva lineare di Bézier. Il punto B(t) varia da Q0 to Q1 e descrive una curva quadratica di Bézier. tragitto di B(t) da P0 a P1.

La curva è tangente ai due capi è tangente al primo e all’ultimo tratto della spezzata di controllo È tutta all’interno di un poligono convesso che racchiude la spezzata

Curve di approssimazione (B-spline) Una generalizzazione delle dalle curve di Bézier sono le curve formate da più tratti di ordine uguale ma anche minore del numero p. Se vi sono n vertici di controllo l’ordine della curva può variare tra n (in questo caso sarebbe una curva di Bézier) e 2 (in questo caso degenera nella spezzata di controllo). la curva passa per il primo e l’ultimo vertice evendone per tangenti rispettivamente il primo e l’ultimo tratto della spezzata di controllo.

Non Uniform Rational B-spline sono B-spline controllate da punti e da pesi relativi ad ogni punto di controllo (le B-spline sono casi di NURBS con i pesi dei punti controllo sono tutti eguali). Le NURBS (come le Spline) sono composta da più archi ma la continuità tra questi è regolabile da un numero intero: se = 0 gli archi sono semplicemente contigui se = 1 gli archi sono contigui e ammettono la medesima tangente nel punto di saldatura se = 2 gli archi sono contigui, ammettono la medesima tangente e hanno la medesima curvatura nel punto di saldatura.

I parametri che modellano una NURBS sono dunque: - il numero dei poli o punti di controllo e il loro peso; - il numero degli archi o spans che compongono la curva; - la continuità tra gli archi nei punti di saldatura (knots); - il grado (ordine) della curva. Attraverso le NURBS si descrivono le coniche esattamente e non per approssimazione, come con le altre spline.

La categorizzazione comune delle curve

Curve di Lamè

Curve e Superfici di Lamè

Le sezioni meridiane variano la loro foma secondo un’affinità omologica ortogonale Le sezioni parallele variano la loro forma secondo un’omotetia con centro sull’asse

Test finale in aula si disegni in un sistema assonometrico a piacere il superelissoide di Lamé scelto (nella tabella proiettata successivamente) a seconda delle ultime due cifre nel proprio numero di matricola: le sezioni orizzontali siano della forma corrispondente alla penultima cifra del numero di matricola; le sezioni meridiane siano della forma corrispondente all’ultima cifra del numero di matricola.

Le sezioni meridiane variano la loro foma secondo un’affinità omologica ortogonale Le sezioni parallele variano la loro forma secondo un’omotetia con centro sull’asse