Di Cunzolo Alessandro Farioli Giuseppe 10 Gennaio 2012 Metodi matematici per l'ottimizzazione Seminario Equazioni differenziali Ordinarie Metodi One Step Di Cunzolo Alessandro Farioli Giuseppe 10 Gennaio 2012

Equazioni differenziali Ordinarie Introduzione Una equazione differenziale è un’equazione che coinvolge una o più derivate di una funzione incognita. Se tutte le derivate sono calcolate rispetto ad una sola variabile indipendente, l’equazione si dirà equazione differenziale ordinaria (ODE). Quando sono presenti derivate rispetto a più variabili indipendenti, avremo invece una equazione differenziale alle derivate parziali (PDE). Una equazione differenziale avrà ordine n, se n è l’ordine massimo delle derivate che vi compaiono. La forma generale di una ODE di ordine n è: dove è la funzione cercata. Una funzione è detta soluzione di una ODE se essa riduce l’equazione ad una identità quando viene sostituita nell’equazione.

Equazioni differenziali Ordinarie Introduzione Alcuni esempi: y’ = 2 sin(x) ODE di ordine 1, sol : y(x) = -2 cos(x) + C y’’= -4y ODE di ordine 2, sol : y(x) = Acos(2x) + Bsin(2x) (oscillatore armonico y’ = e-x ODE di ordine 1, sol : y(x) = - e-x + C semplice) y’ = y ODE di ordine 1, sol : y(x) = C ex y’ = -ky ODE di ordine 1, sol : y(x) = C e-kx (decadimento radioattivo) y’ = 3y-4x ODE di ordine 1, sol : y(x) = C e3x + 4/3 x + 4/9

Equazioni differenziali Ordinarie Introduzione Una equazione differenziale ordinaria ha infinite soluzioni, come mostrato nel seguente esempio: cioè la soluzione generale contiene una costante arbitraria c. Ogni volta che si fissa un valore per c, otteniamo una soluzione particolare. La soluzione generale di una ODE di grado n, conterrà n costanti arbitrarie. Il grafico di ogni soluzione particolare è detto curva integrale della ODE.

Equazioni differenziali Ordinarie Grafico curve integrali Ad esempio, consideriamo la funzione con soluzione ; il grafico delle curve integrali della funzione è il seguente:

Equazioni differenziali Ordinarie Es. condizioni iniziali Per isolare una soluzione particolare dobbiamo aggiungere delle condizioni che sono note come condizioni iniziali. Esempio: abbiamo l’equazione e vogliamo che in sia Allora la soluzione cercata è Il problema di cercare una soluzione particolare di una ODE con certe condizioni iniziali e’ detto problema di Cauchy (problema ai valori iniziali: IVP).

ODE di primo ordine Forma generale di una equazione differenziale ordinaria di primo ordine: dove è la funzione incognita. Per semplicità assumiamo che l’equazione sia scritta nella forma: con la condizione quando cioè :

ODE di primo ordine Interpretazione geometrica Interpretazione geometrica della soluzione: Ogni soluzione particolare è rappresentata da una curva nel piano (x, y); preso un punto arbitrario P(x,y), allora f(x,y) sarà uguale alla pendenza della tangente alla curva desiderata nel punto P.

ODE di primo ordine Campo delle direzioni Associando ad ogni punto del piano la direzione della retta la cui pendenza è f(x,y) otteniamo il campo delle direzioni di una equazione differenziale Esempio : y’=y(2-y)

Alcuni esempi: Equazioni differenziali integrabili Una equazione differenziale ordinaria si dice integrabile per quadrature, se la sua soluzione generale è esprimibile in una forma esplicita o implicita, che può contenere quadrature (cioè integrali indefiniti) di qualche funzione incognita. Esempio di equazioni differenziali integrabili sono le equazioni differenziali a variabili separabili: Forma generale di cui soluzione generale sarà

Alcuni esempi: Equazioni differenziali integrabili Esempio: vogliamo risolvere l’equazione differenziale Soluzione :

Alcuni esempi: Equazioni differenziali lineari Una equazione differenziale ordinaria è detta lineare, se F è una funzione lineare nella funzione incognita e nelle sue derivate, cioe’ e’ del tipo: Se si divide per a(x) si ottiene: (1) con Se f(x)=0 l’equazione è detta omogenea lineare.

Alcuni esempi: Equazioni differenziali lineari Se l’equazione è non omogenea (f(x)≠0) bisogna dapprima risolvere l’equazione omogenea associata: (2) Separiamo le variabili e otteniamo: Risolvendola: Con e è ottenuta da z ponendo c=1. è una soluzione particolare della (2).

Alcuni esempi: Equazioni differenziali lineari Avendo calcolato z cerchiamo la soluzione della (1) nella forma: (3) In cui da determinare. Sostituendo la (3) nella (1): Ma è soluzione della (2) quindi l’espressione in parentesi è nulla e si ha: e sostituendo nella (3) otteniamo: Questa è la soluzione generale della (1). Questo metodo è un’applicazione del metodo noto come metodo di variazione delle costanti (di Lagrange).

Alcuni esempi: Funzione esponenziale Si consideri l’equazione: (k = costante) Separiamo le variabili: (4) Con . Se è data una condizione iniziale si avrà: Da cui: Sostituendo il valore calcolato di C, nella (4) si ha infine:

Problema di Cauchy in una dimensione Sia , , cerchiamo una funzione , y derivabile in I, tale che: (5) con Tale problema è detto problema ai valori iniziali. Supponiamo che siano verificate le ipotesi del teorema di esistenza ed unicità della soluzione.

Teorema di esistenza e unicità Sia un dominio ed una funzione continua che soddisfi la condizione di Lipschitz: Comunque si scelgano e qualche costante segue che: ha soluzione unica in tale intervallo.

Metodi numerici: Introduzione Data un’equazione differenziale è facile pensare che trovare una soluzione per via analitica è piuttosto difficile. In tal caso bisogna ricorrere ai metodi numerici per ricavarne una soluzione approssimata, trasformando in tal modo il problema matematico in un problema discreto. Consideriamo una successione di nodi con (con punto della condizione iniziale ed passo della discretizzazione) Supponiamo Se a e b sono gli estremi di I, si ha:

Metodi numerici: Introduzione I metodi numerici si basano sul Sviluppo in serie di Taylor. Sia la soluzione vera in e la soluzione approssimata in , e supponendo che y(x) sia sufficientemente regolare si ha: Sviluppo in serie di Taylor di y(x) attorno xi Se tronchiamo la serie al k-esimo termine, si ottiene: con:

Metodi numerici: Metodi ad un passo Data un’equazione differenziale, i metodi numerici per la risoluzione della stessa possono essere ad un passo o a più passi. Metodi a un passo: Un metodo numerico è detto ad un passo (one-step) se, per dipende solo da :

Metodi numerici: Metodo di Eulero esplicito Se poniamo k=1 in otteniamo : detto metodo di Eulero in avanti o esplicito. Es. test: Applicando il metodo otteniamo:

Interpretazione geometrica Metodo di Eulero esplicito In ogni intervallo si sostituisce all'integrale particolare cercato, il segmento di retta tangente nel punto alla curva integrale che passa in quel punto. Soluzione analitica Soluzione calcolata

Metodi numerici: Metodo di Eulero implicito È possibile ottenere anche la seguente relazione: detto metodo di Eulero all’indietro o implicito. Es. test: Applicando il metodo otteniamo:

Metodi numerici: Metodi espliciti e impliciti Quando un metodo si dice esplicito? Quando implicito? Definizione: Un metodo è detto esplicito se dipende solo dai valori ai passi precedenti, mentre è detto implicito se dipende pure da se stesso tramite f. I metodi impliciti richiedono la soluzione di una equazione non lineare se f è non lineare in y.

Metodi numerici: Metodo dei Trapezi Data , osserviamo che se f è una funzione continua rispetto ad ed integrabile tra e si ha: Se approssimiamo l’integrale tra e con la regola del trapezio, si ha: dove .

Metodi numerici: Metodo dei Trapezi Osservando la formula del metodo dei Trapezi si capisce subito che tale metodo è implicito. Es test: Applicando il metodo otteniamo: da cui si ottiene

Metodi numerici: Metodo di Heun Tale metodo è espresso dalla relazione: si ottiene applicando il metodo dei trapezi ed il metodo di Eulero in avanti per calcolare . Es. test: Applicando il metodo otteniamo:

Metodi numerici: Zero-stabilità Un metodo numerico del tipo si dice zero-stabile, se: dove ed sono le soluzioni del problema perturbato e di quello non perturbato: con . Tale stabilità riguarda il comportamento del metodo numerico quando h0. Se il metodo è zero-stabile la soluzione è poco sensibile alla perturbazione dei dati.

Metodi numerici: Convergenza Definizione: Un metodo si dice convergente se , con C(h) infinitesimo rispetto ad h; se si dice convergente di ordine p. Teorema di convergenza Sia y(x) soluzione di: ed la soluzione approssimata data da . Supponiamo, inoltre, che sia lipschitziana nella seconda variabile: con Sia infine: Allora:

Metodi numerici: Interpretazione geometrica errori Sia la soluzione dell’equazione differenziale: Dato un punto sia una approssimazione di .Sia u(x) una curva integrale di y’=f(x,y) che passa per , cioè che soddisfa: Se la soluzione approssimata è calcolata da: Allora si ha il seguente grafico:

Metodi numerici: Assoluta stabilità Riguarda la propagazione degli errori accumulati ai passi precedenti. Un metodo si dice assolutamente stabile, se per h fissato, è limitato per Dato il problema test: La soluzione sarà del tipo . Se Definiamo regione di assoluta stabilità l’insieme: Un metodo numerico è assolutamente stabile se , soluzione numerica del problema test, è tale che:

Assoluta stabilità: Eulero esplicito Applicando Eulero esplicito al problema test abbiamo ottenuto: Quindi la (6) è vera se . Considerando l’insieme dei punti con otteniamo il bordo di un cerchio di centro (-1, 0) e raggio 1. La regione di assoluta stabilità è data : Im z Re z -1

Assoluta stabilità per Problema test: con Assoluta stabilità per Soluzione analitica Soluzione calcolata

Assoluta stabilità: Eulero implicito Applicando Eulero implicito al problema test abbiamo ottenuto: Quindi la (6) è vera se . Considerando l’insieme dei punti otteniamo il bordo di un cerchio di centro (1, 0) e raggio 1. La regione di assoluta stabilità è data : Im z Re z 1

Assoluta stabilità: Metodi dei trapezi e di Heun Analogamente per il metodo dei trapezi avevamo ottenuto: In questo caso la (6) è vera , cioè se Per il metodo di Heun avevamo ottenuto: La (6) è vera se :

Metodi numerici: Metodi di Runge-Kutta I metodi ad un passo possono essere dedotti dallo sviluppo in serie di Taylor: con: I metodi di Runge-Kutta sono costituiti da formule del tipo: con concidente con per un certo numero di termini senza utilizzare le derivate. Per un metodo di k-ordine si ha:

Metodi di Runge-Kutta di quarto ordine Il metodo più noto è quello del quarto ordine: dove: Metodi di ordine maggiore non sono convenienti poiché richiedono un numero troppo grande di valutazioni della funzione f.

Implementazione Matlab ODE

Implementazione Matlab Metodo di Eulero Applico il metodo di Eulero in avanti al problema test: con λ= -5 Confronto della soluzione analitica con la soluzione calcolata dal metodo di Eulero. Osservazione dell’andamento del metodo variando i passi di discretizzazione h. : Gui_Eulero.m Applicazione_Eulero_avanti.m eulero_avanti.m

Implementazione Matlab Metodo di Runge-Kutta Applico il metodo di Runge Kutta del 4° ordine al problema test: con λ= -5 Confronto della soluzione analitica con la soluzione calcolata dal metodo Runge-Kutta. Osservazione dell’andamento del metodo variando i passi di discretizzazione h. : Gui_RK4.m Applicazione_RK4.m rk4.m

Implementazione Matlab Eulero vs Runge-Kutta Applico i 2 metodi al problema test: con λ= -5 Confronto tra i due metodi. Osservazione dell’andamento dei metodi variando i passi di discretizzazione h. Confronto del tempo di esecuzione tra i due metodi. : Gui_Confronto.m Applicazione_Confronto.m Eulero_avanti.m rk4.m

Applicazioni Reali Uso delle equazioni differenziali per risolvere problemi della vita reale

Applicazioni Reali - Pubblicità Problema 1 Si vuole analizzare il seguente fenomeno: Un nuovo prodotto di cereali «Oat Puffs», viene introdotto attraverso una campagna pubblicitaria per una popolazione di 1 milione di potenziali clienti. La velocità con cui la popolazione sente parlare del prodotto si presume essere proporzionale al numero di persone che non sono ancora a conoscenza del prodotto. Entro la fine di 1 anno, la metà della popolazione ha sentito parlare del prodotto. Quante persone avranno sentito parlare del prodotto entro la fine di due anni?

Ricaviamo l’equazione differenziale associata al problema: Applicazioni Reali - Pubblicità Ricaviamo l’equazione differenziale associata al problema: Sia y il numero (in milioni) di persone che al tempo t hanno sentito parlare del prodotto. Ciò significa che (1-y) è il numero di persone che non sono a conoscenza del prodotto, ed è il tasso alla quale la popolazione sente parlare del prodotto. Dalle osservazioni appena fatte è possibile scrivere l'equazione differenziale come segue : Il tasso del cambiamento di y è proporzionale alla differenza tra 1 e y Svolgimento…

Applicazioni Reali - Pubblicità Conoscenza della pubblicità Potenziali clienti (in millioni) Tempo (in anni)

Applicazioni Reali - Serbatoio Problema 2 Si vuole analizzare il seguente fenomeno: Un serbatoio contiene 40 litri di una soluzione composta da 90% d’acqua e da 10% d’alcool. Una seconda soluzione contenente metà acqua e metà alcool è aggiunta al serbatoio al ritmo di 4 litri al minuto. Allo stesso tempo, il serbatoio viene svuotato al ritmo di 4 litri al minuto, come mostrato nella figura seguente : 4 litri/min 4 litri/min Supponendo che la soluzione si mescoli costantemente, quanto alcool sarà presente nel serbatoio dopo 10 minuti ?

Ricaviamo l’equazione differenziale associata al problema: Applicazioni Reali - Serbatoio Ricaviamo l’equazione differenziale associata al problema: Sia y il numero di litri di alcool nel serbatoio in un qualsiasi istante t. La percentuale di alcool nel serbatoio da 40 litri in qualsiasi istante è . Inoltre, visto che 4 litri di soluzione vengono drenati ogni minuto, il tasso di variazione di y è : è pari alla quantità di alcool drenata fuori Il tasso del cambiamento di y più l’ammontare di alcool uscente Svolgimento…