Pierdaniele Giaretta Primi elementi di logica Nozioni fondamentali e linguaggio logico

connettivi logici vero-funzionali La definizione e lo studio della validità di un’inferenza e la formulazione delle leggi logiche presuppongono l’introduzione e l’uso di un linguaggio appropriato e, innanzitutto, di simboli per i connettivi logici vero-funzionali

I CONNETTIVI VERO-FUNZIONALI sono espressioni mediante le quali a partire da enunciati o funzioni enunciative si possono ottenere altri enunciati o funzioni enunciative. Sono detti vero-funzionali perché il valore di verità dell’espressione ottenuta dipende soltanto dai valori di verità delle espressioni da essi connesse. ~ non & e  o  se...,allora...  se e solo se

Siano “A”, “B”, “C”, … lettere enunciative o variabili proposizionali che stanno per enunciati qualsiasi. (Varzi et al. usano allo stesso modo “P”, “Q”, “R”, … e presentano i connettivi come operatori logici.) Mediante le lettere enunciative, i connettivi e le parentesi si possono costruire le formule : (~A), (A & B), (A  B), (A  B), (A B). A pag. 59 di Varzi et al. (II ed.) vengono presentati il vocabolario e la definizione di formula ben formata (per un sistema) della logica proposizionale. A questo scopo Varzi et al. usano le variabili metalinguistische “” e ””, che - si noti bene - non sono lettere enunciative: rappresentano formule ben formate qualsiasi e, in particolare, anche lettere enunciative.

Esempi di formule ben formate (nei quali sono omesse alcune parentesi non necessarie per la lettura univoca della formula): A  A A  ~~A ~~A  A (A & B)  A A  (A  B) (A & (A  B))  B (A & ( B A))  A A((B  ~A)  ~A) ((A  B) & (B  C))  (A  C) ~A & (A  A) ~B  ((B  ~A)  A) (A & ~A)  B Le formule ben formate possono essere usate per rappresentare forme logiche di enunciati del linguaggio naturale. Vedi esercizi 3.5 e 3.7 di Varzi et al. Notare che il segno “|_” non appartiene al linguaggio della logica proposizionale, ma al linguaggio con cui ne parliamo. Così anche “” e ””.

SIGNIFICATO DEI CONNETTIVI Varzi et al. usano “” e ”” anche per introdurre il significato vero-funzionale (le tavole di verità) dei connettivi. Qui, per semplicità, userò le lettere enunciative. Negazione ~A è vero se e solo se A è falso. A ~A V F F V

Congiunzione A & B è vero se e solo se A e B sono entrambi veri. A B A & B V V V V F F F V F F F F Disgiunzione A  B è vero se e solo se A è vero o B è vero. A B A  B V F V F V V

A si dice antecedente, B conseguente del condizionale. (Implicazione) A  B è vero se e solo se A è falso o B è vero. Cioè l'enunciato A  B è falso solo nel caso in cui A sia vero e B sia falso. A B A  B V V V V F F F V V F F V A si dice antecedente, B conseguente del condizionale.

FORMULAZIONI EQUIVALENTI DI UN ENUNCIATO CONDIZIONALE Se A, allora B B se A A solo se B A è condizione sufficiente per B B è condizione necessaria per A

Bicondizionale (Equivalenza) A  B è vero se e solo se A e B sono entrambi veri o entrambi falsi. A B A  B V V V V F F F V F F F V

USO DELLE FORMULE BEN FORMATE PER RAPPRESENTARE ENUNCIATI DEL LINGUAGGIO NATURALE Come risulta dalla definizione di formula ben formata e dagli esempi fatti nella diapositiva 5, i connettivi possono essere applicati anche a formule ben formate qualunque, che in Varzi et al. sono indicate mediante le lettere greche ,  .... Le formule ben formate complesse possono rappresentare enunciati del linguaggio naturale. Ad esempio, nei seguenti esercizi sul condizionale abbiamo enunciati delle forme: A  B A  ~B ~A  B

ESERCIZI SUL CONDIZIONALE Dicendo “se ha una Regina, allora non ha un Re” quale o quali dei seguenti casi vengono esclusi: ha una Regina e non ha un Re  non ha una Regina e ha un Re  non ha una Regina e non ha un Re  ha una Regina e ha un Re  Dicendo “se non ha un Re, allora ha un Fante” quale o quali ha un Re e ha un Fante  ha un Re e non ha un Fante  non ha un Re e non ha un Fante  non ha un Re e ha un Fante 

Dicendo “ha una Regina solo se non ha un Re” quale o quali dei seguenti casi vengono esclusi: ha una Regina e non ha un Re  non ha una Regina e ha un Re  non ha una Regina e non ha un Re  ha una Regina e ha un Re  Dicendo “non ha un Re solo se ha un Fante” quale o quali dei ha un Re e ha un Fante  ha un Re e non ha un Fante  non ha un Re e non ha un Fante  non ha un Re e ha un Fante 

Dicendo “solo se ha un Re, ha un Fante” si enuncia un condizionale (NON un bicondizionale). Specificare qual è l’antecedente e quale il conseguente: Ant.: Cons.: Indicare quale o quali dei seguenti casi sono incompatibili con la sua verità: ha un Fante e ha un Re  ha un Fante e non ha un Re  non ha un Fante e non ha un Re  non ha un Fante e ha un Re 

Dicendo “condizione necessaria per l’ammissione è avere una laurea in economia” si enuncia un condizionale. Formulare tale condizionale con “solo se”. Indicare quale o quali dei seguenti casi sono incompatibili con la sua verità: è ammesso e ha una laurea in economia  non è ammesso e non ha una laurea in economia  è ammesso e non ha una laurea in economia  non è ammesso e ha una laurea in economia 

Dicendo “condizione necessaria per l’ammissione è avere una laurea in economia” si enuncia un condizionale. Formulare tale condizionale con “se … allora”. Indicare quale o quali dei seguenti casi sono incompatibili con la sua verità: è ammesso e ha una laurea in economia  non è ammesso e non ha una laurea in economia  è ammesso e non ha una laurea in economia  non è ammesso e ha una laurea in economia 

Dicendo “condizione sufficiente per l’ammissione è avere una laurea in economia” si enuncia un condizionale. Formulare tale condizionale con “se … allora”. Indicare quale o quali dei seguenti casi sono incompatibili con la sua verità: è ammesso e ha una laurea in economia  non è ammesso e non ha una laurea in economia  è ammesso e non ha una laurea in economia  non è ammesso e ha una laurea in economia 

CALCOLO DEL VALORE DI VERITA’ Le lettere enunciative si possono pensare come enunciati minimali, cioè enunciati che non sono costruiti a partire da altri enunciati mediante l’applicazione di connettivi. Se si conoscono i valori di verità delle lettere enunciative si può calcolare il valore di verità della formula composta servendosi delle tavole di verità dei connettivi nel modo qui sotto illustrato A B ~A ~B A  ~B (A  ~B)  ~A V V F F F F V F F V V V F V V F V V F F V V V V

LOGICO-PROPOSIZIONALI ALCUNE FORMULE LOGICO-PROPOSIZIONALI A  A A  A A  A A  A A  A (A & B)  A (A & B)  B A  (A  B) B  (A  B) (A & (A  B))  B ((A  B) & B)  A (A  B)  ((A B) & (B  A))

Le formule della diapositiva precedente sono tutte tali da risultare vere in ogni caso, cioè per ogni assegnazione di valori di verità alle lettere enunciative, com’è mostrato, ad es., dalla seguente tavola di verità: A B ~A ~B A  B (A  B) & ~B ((A  B) & ~B)  ~A V V F F V F V V F F V F F V F V V F V F V F F V V V V V Tali formule sono dette TAUTOLOGIE. Invece non tutte le formule che seguono sono tautologie. Alcune risultano false per ogni assegnazione di valori di verità alle lettere componenti, e sono dette CONTRADDIZIONI. Per esercizio trovare tra le formule che seguono almeno una tautologia, almeno una contraddizione e almeno una che non sia né una tautologia, né una contraddizione.

A((B  ~A)  A) ~A ((B & ~A)  A) (A  (B  A))  A A((B & ~A)  A) ~B  ((B  ~A)  A) ~B & ((B  ~A)  A) ~(A & (B  A))  A ~A & ((B  ~C)  A) ((A  B) & (B  C))  (A  C) (A & ( B A))  A A((B  ~A)  ~A) ~A & (~A  A) (A  (B & A))  ~A ~A  (~A  A) (A & (B  A))  B (A  ~B)  (B  A) (A & ~A)  B B  (A  ~A)

VALIDITÀ INFERENZIALE TAVOLE DI VERITÀ E VALIDITÀ INFERENZIALE Un’inferenza formulata nel linguaggio naturale è valida se la sua forma inferenziale è valida. Ma cosa vuol dire che una forma inferenziale è valida? Se la forma inferenziale è formulata nel linguaggio della logica proposizionale, ciò significa che le lettere enunciative che occorrono in essa non possono assumere valori di verità tali che le premesse siano vere e la conclusione falsa. Relativamente al linguaggio della logica proposizionale, il metodo delle tavole di verità può essere usato per verificare la validità di una forma inferenziale.

Come esempio consideriamo la seguente forma inferenziale: A  B, B |_ A Costruiamo la tavola di verità di tutte le formule di questa forma inferenziale nel modo seguente: A B A  B, B |_ A V V V V V FV FV V F V F F V F FV F V F V V FV VF F F F V F VF VF Quindi controlliamo che in tutte le righe nelle quali le premesse risultano vere anche la conclusione risulti vera. Nel nostro esempio le premesse sono vere in una sola riga e in essa anche la conclusione è vera. Dunque la forma inferenziale è valida.

Esempio La seguente forma inferenziale A  B, B |_ A non è valida. Infatti, se costruiamo la tavola di verità di tutte le formule di questa forma inferenziale: A B A  B, B |_ A V V V V V V V V F V F F F V F V F V V V F x F F F V F F F vediamo che non in tutte le righe nelle quali le premesse risultano vere anche la conclusione risulta vera. Nella terza riga le premesse sono vere e la conclusione è falsa.

Esempio: P Q R R |_ P  (P  (P & Q)) V V V V V V V V V V V V V F F V V V V V V V V F V V V V V V V F F V F F F V V V V V F F F V V V F V F F F F V F V F F F V F F F F V F F V V F V F F F F F F F F F F V F F F F F Poiché la conclusione è una tautologia, non si può dare il caso le premesse - la premessa, nel nostro caso - siano vere e la conclusione falsa, e dunque lo schema inferenziale è valido.

La seguente forma inferenziale A & A |_ B è valida. Se costruiamo la tavola di verità di tutte le formule di questa forma inferenziale: A B A & A |_ B V V V F FV V V F V F FV F F V F F VF V F F F F VF F vediamo che in nessuna riga la premessa risulta vera e la conclusione falsa e dunque la condizione di validità è soddisfatta.

RELAZIONI LOGICO-SEMANTICHE TRA FORMULE Definizione: La formula X è logicamente equivalente (per brevità log-eq) alla formula Y se e solo se per ogni assegnazione di valori di verità alle lettere enunciative che occorrono in X o in Y, le formule X e Y hanno lo stesso valore di verità. Esempi: (A & B) log-eq (A  B) (I legge di De Morgan) (A  B) log-eq (A & B) (II legge di De Morgan) (A & B) log-eq (A  B) (A  B) log-eq (A & B) A  B log-eq A  B A  B log-eq (A & B)

A & B log-eq (A  B) A  B log-eq A  B Teorema: La formula X è logicamente equivalente alla formula Y se e solo se X  Y è una tautologia. Ne segue che sono tautologie: (A & B)  (A  B) (A  B)  (A & B) (A & B)  (A  B) (A  B)  (A & B) A  B  A  B A  B  (A & B) (A & B)  (A  B ) (A  B)  (A  B)

Invece di dire che una forma inferenziale è valida, si dice spesso che la conclusione segue logicamente dalle premesse, o è una conseguenza logica delle premesse. Relativamente al linguaggio della logica proposizionale la nozione di conseguenza logica si definisce come segue. Definizione La formula X è conseguenza logica della formula Y (o segue logicamente dalla formula Y, per brevità Y I= X) se e solo se per ogni assegnazione di valori di verità alle lettere enunciative che occorrono in X o in Y, se Y è vera, anche X è vera [equivalentemente: …se e solo se non c’è alcuna assegnazione di valori di verità alle lettere enunciative che occorrono in X o in Y tale che Y sia vera e X sia falsa] Esempi: A I= A A & B I= A  B

A & A I= B B I= A  A A I= B  A Teorema La formula X è conseguenza logica della formula Y se e solo se Y  X è una tautologia. Perciò sono tautologie: A  A (A & B)  (A  B) (A & A)  B B  ( A  A ) A  ( B  A )

Definizione generalizzata La formula X è conseguenza logica delle formule Y1, …, Yn (o segue logicamente dalle formule Y1, …, Yn, per brevità Y1, …, Yn I= X) se e solo se per ogni assegnazione di valori di verità alle lettere enunciative che occorrono in Y1 o …o in Yn o in X, se Y1, …, Yn sono vere, anche X è vera. [Equivalentemente: …se e solo se non c’è alcuna assegnazione di valori di verità alle lettere enunciative che occorrono in X o in Y1 o …o in Yn tale che Y1, …, Yn siano vere e X falsa] Esempi: A, B I= A & B A, A  B I= B A  B, B I= A

Teorema La formula X è conseguenza logica delle formule Y1, …, Yn (o segue logicamente dalle formule Y1, …, Yn, per brevità Y1, …, Yn I= X) se e solo se la formula (Y1  …  Yn )  X è una tautologia. Ne segue che sono tautologie: (A & B)  (A & B) (A & (A  B))  B ((A  B) & B)  A OSSERVAZIONE IMPORTANTE: Il connettivo  NON esprime la relazione di conseguenza logica. Solo quando è il connettivo principale di una tautologia,  rappresenta il fatto che il conseguente segue logicamente dall’antecedente.

ALBERI DI REFUTAZIONE Le tavole di verità sono, in generale, un metodo di verifica inefficiente della tautologità, della contraddittorietà e della validità inferenziale. In particolare sono inefficienti, quando occorrono molte lettere enunciative. Rispetto agli stessi obiettivi sono più efficienti gli alberi di refutazione. Data una lista di formule, un ALBERO DI REFUTAZIONE è una ricerca esaustiva dei modi in cui tutte le formule della lista possono essere vere. Per VERIFICARE LA VALIDITÀ DI UNA FORMA INFERENZIALE mediante gli alberi di refutazione, 1) si forma una lista composta dalle sue premesse e dalla negazione della conclusione;

2) si analizzano le formule della lista allo scopo individuare le sequenze di lettere enunciative o loro negazioni tali che se è possibile valutarle come vere, risultano vere anche le formule della lista iniziale. 3) Se mediante l’analisi si trova qualche assegnazione di verità o falsità alle lettere enunciative che rende vere tutte le formule della lista, allora, rispetto a quell’assegnazione, le premesse della forma inferenziale sono vere mentre la conclusione è falsa, cioè si è dimostrato che la forma è invalida. Se invece la ricerca non permette di scoprire nessuna assegnazione di verità o falsità alle lettere enunciative che renda vere tutte le formule della lista, allora il tentativo di refutazione è fallito e la forma è valida.

Verifica della validità di “ AB, B |_ A ” (o di: AB, B |= A ) Le formule scritte nella riga che comincia con ** si ricavano da AB, la formula preceduta da *, pensando alle condizioni sotto le quali questa formula è vera, cioè: A vero o B vero. Se seguiamo entrambi i rami che partono da *, vediamo che in ciascuno di essi non abbiamo mai una lettera enunciativa e la sua negazione. Abbiamo, invece, B e A che possono essere resi veri assegnando a B vero e ad A falso. Per questa assegnazione le formule AB, B e A risultano tutte vere, quindi risultano vere AB, B e falsa A. Ciò mostra che

la forma inferenziale “ AB, B |_ A ” non è valida o (equivalentemente) non è vero che AB, B |= A Verifica della validità di “ A&B |_ A ” (o di: A&B |= A ) * A&B + A ** A ** B ++ A In questo caso abbiamo un unico ramo, e in esso compare la lettera A e la sua negazione A. Quindi in tutti i rami abbiamo una lettera e la sua negazione. Ciò vuol dire che non esiste alcun modo di rendere vera la premessa A&B e falsa la conclusione A. Ciò mostra che

la forma inferenziale “ A&B |_ A ” è valida o (equivalentemente) A&B |= A Esempi più complessi si trovano nel testo di Varzi et al. (II ed.), pp. 77-89. Conviene esaminarli dopo aver letto e compreso le seguenti regole: Negazione (): Se un cammino aperto contiene sia una formula, sia la sua negazione, scrivere una 'X' in fondo al cammino. Negazione negata (): Se un cammino aperto contiene una formula non segnata della forma , segnarla e scrivere  alla fine di ogni cammino aperto contenente la formula appena segnata.

Congiunzione (&): Se un cammino aperto contiene una formula non segnata della forma  & , segnarla e scrivere  e  alla fine di ogni cammino aperto contenente la formula appena segnata. Disgiunzione (): Se un cammino aperto contiene una formula non segnata della forma   , segnarla, tracciare due rami sotto ciascun cammino aperto contenente la formula appena segnata, e scrivere  alla fine del primo ramo e  alla fine del secondo. Condizionale (): Se un cammino aperto contiene una formula non segnata della forma   , segnarla, tracciare due rami sotto scrivere ~ alla fine del primo ramo e  alla fine del secondo. Bicondizionale (): Se un cammino aperto contiene una formula segnata della forma   , segnarla e tracciare due rami sotto ciascun cammino aperto che contiene la formula appena segnata, scrivere  e  alla fine del primo ramo e scrivere  e  alla fine

del secondo. Congiunzione negata (&): Se un cammino aperto contiene una formula non segnata della forma ( & ), segnarla e tracciare due rami sotto ciascun cammino aperto contenente la formula appena segnata, scrivere  alla fine del primo e  alla fine del secondo. Disgiunzione negata ( ): Se un cammino aperto contiene una formula non segnata della forma (  ), segnalarla e scrivere sia  che  alla fine di ogni cammino aperto contenente la formula appena segnata. Condizionale negato ( ): Se un cammino aperto contiene una formula non segnata della forma (  ), segnarla e scrivere sia  che  alla fine di ogni cammino aperto contenente la

Bicondizionale negato ( ): Se un cammino aperto contiene una formula non segnata della forma (  ), segnarla e tracciare due rami sotto ciascun cammino aperto contenente la formula appena segnata, scrivere  e  alla fine del primo ramo e scrivere  e , alla fine del secondo. VERIFICA DELLA TAUTOLOGICITÀ Un albero di refutazione può essere costruito anche per verificare la tautologicità di una formula. Ad esempio il seguente albero prova che la formula A&B  A è una tautologia. * A&B  A * A&B * A A B A

Finora ci siamo occupati delle forme inferenziali e delle leggi logiche da un punto di vista semantico, utilizzando tecniche per testare la validità deduttiva di forme argomentative (o relazioni di conseguenza logica tra premesse e conclusione) e la tautologità di una formula. Queste tecniche sono basate sull’interpretazione intesa degli operatori logici. Tuttavia quando deduciamo procediamo in modo diverso. Senza controllare direttamente la validità, procediamo per piccoli passi fino a che otteniamo la conclusione che ci interessa. Ciascun passo può essere considerato il risultato dell’applicazione di una regola d’inferenza. In generale

Una REGOLA D’INFERENZA è uno schema che rappresenta una classe di passi inferenziali. Le regole d’inferenza più semplici e usuali hanno la forma: Y1 . Yn X dove Y1, …, Yn sono le premesse e X la conclusione della inferenza. Definizione Una regola d’inferenza della logica enunciativa è logicamente valida se e solo se la conclusione X è conseguenza logica delle premesse Y1, …, Yn.

Ci sono alcuni passi inferenziali molto elementari che sono governati da regole d’inferenza (valide) basate sul significato dei connettivi. Eliminazione della negazione (~E): Da una formula della forma ~~ possiamo inferire . ~~  Eliminazione del condizionale (E): Da un condizionale e dal suo antecedente possiamo inferire il suo conseguente.    

Esempio di derivazione 1 ~A  ~~B Ass. 2 ~~~A Ass. 3 ~A 2 ~E 4 ~~B 1,3 E 5 B 4 ~E Questa derivazione mostra che la forma inferenziale ~A  ~~B, ~~~A |_ B è valida poiché le regole d’inferenza in essa applicate per ottenere la conclusione B dalle premesse ~A  ~~B e ~~~A sono valide.

Introduzione della congiunzione (&I): Da formule qualsiasi  e ψ, possiamo inferire la congiunzione &ψ.    &  Eliminazione della congiunzione (&E): Da una congiunzione possiamo inferire l’uno o l’altro dei congiunti.  &   &   

Esempio di derivazione 1 (A & B)  (C & D) Ass. 2 ~~A Ass. 3 B Ass. 4 A 2 ~E 5 A & B 3, 4 &I 6 C & D 1, 5 E 7 D 6 &E Questa derivazione mostra che la forma inferenziale (A & B)  (C & D), ~~A, B |_ D è valida poiché le regole d’inferenza in essa applicate per ottenere la conclusione dalle assunzioni sono valide.

Introduzione della disgiunzione (I): Da una formula  possiamo inferire la disgiunzione di  con qualsiasi formula ( può essere sia il primo che il secondo disgiunto di questa disgiunzione).         Eliminazione della disgiunzione (E): Da formule della forma , χ, e χ possiamo inferire la formula χ.      χ   χ χ

Esempi di derivazioni 1 A Ass. 2 A  B 1 I 3 A  C 1 I 4 (A  B) & (A  C) 2,3 &I Ciò dimostra: A |_ (A  B) & (A  C) 1 A  B Ass. 2 A  (C & ~C) Ass. 3 B  (C & ~C) Ass. 4 C & ~C 1,2,3 E Ciò dimostra: A  B, A  (C & ~C), B  (C & ~C) |_ C & ~C

Introduzione del bicondizionale (I): Da due qualsiasi formule della forma () e () possiamo inferire .          Eliminazione del bicondizionale(E): Da una qualsiasi formula della forma   , possiamo inferire  o .        

Esempi di derivazioni 1 A  B Ass. 2 (A  B)  (B  A) Ass. 3 B  A 1,2 E 4 A  B 1,3 I Ciò dimostra: A  B, (A  B)  (B  A) |_ A  B È facile comprendere, e anche ricordare, le regole riguardanti il bicondizionale tenendo conto che  è logicamente equivalente a (() & ()) e quindi introdurre ed eliminare un bicondizio_ nale è come, rispettivamente, introdurre ed eliminare una congiunzione.

Le regole d’inferenza introdotte finora hanno tutte la forma hanno la forma: Y1 . . Y1, …, Yn . o Yn X dove Y1, …, Yn sono le premesse e X la conclusione della inferenza. Altre regole , quelle riguardanti l’introduzione di  e di ~ hanno invece la seguente forma: [Y] Z

dove Y è un’ipotesi aggiuntiva che non compare tra le ipotesi già date, o assunte fin dall’inizio. Se da essa si deriva Z allora si può concludere X, “scaricando” Y cosicché X non “dipende” da Y. Il ruolo dell’ipotesi Y è bene illustrato nelle pp. 87 e 88 di Varzi et al., dove regole che hanno questa forma sono presentate con il nome di REGOLE IPOTETICHE. Introduzione della negazione (~I): Data la derivazione di un assurdo da una ipotesi , scaricare l’ipotesi e inferire ~. [] .  & ~ ~

Introduzione del condizionale (I): Data la derivazione di una formula  da una ipotesi , scaricare l’ipotesi  e inferire . [] .     Si osservi che l’introduzione della negazione rappresenta il modo in cui si ragiona per assurdo, mentre l’introduzione del condizionale rappresenta il modo in cui si dimostrano teoremi della forma “Se A, allora B”. Ricordiamo che in questo caso si procede assumendo l’ipotesi A e derivando B da A e dagli assiomi (o teoremi già dimostrati) e da altre ipotesi che si hanno a disposizione.

Esempi di derivazioni 1 A  B Ass. 2 ~B Ass. 3 A [Ass.] 4 B 1,3 E 5 B & ~B 2,4 &I 6 ~A 3-5 ~I Ciò dimostra: A  B, ~B |_ ~A (Modus tollens) 1 A  B Ass. 2 B  C Ass. 4 B 1,3 E 5 C 2,4 E 6 A  C 3-5 I Ciò dimostra: A  B, B  C |_ A  C