Scattering in Meccanica Classica

Sommario Scattering Diffusione Thomson e Rayleigh Sezione d’urto in meccanica classica Attenuazione Scattering da una sfera rigida Sezione d’urto di Rutherford F. Bianchi

Scattering (1) Mezzo sperimentale per eccellenza per ottenere informazioni sulla struttura del sistemi fisici. Usato ampiamente anche dalla natura. Archetipo di tutti gli esperimenti di scattering: Visione Sorgente di luce Oggetto Rivelatore di luce La luce visibile, generata dalla sorgente (Sole, lampada, LED, laser,..), viene diffusa dall’oggetto e raccolta dal rivelatore (Occhio, lastra fotografica, CCD, fotomoltiplicatore,..). F. Bianchi

Scattering (2) Elemento fondamentale di ogni processo di scattering, sia corpuscolare sia ondulatorio: Collisione Es: Scattering di Onde elettromagnetiche/Fotoni Effetti della collisione dipendenti da forma, dimensione e struttura interna del bersaglio. Descrizione della collisione fortemente dipendente dal tipo di bersaglio e dal rapporto fra lunghezza d’onda e dimensioni del bersaglio. Diffrazione: Forma/Dimensioni di uno schermo/apertura Trattazione classica Scattering: Forma/Dimensioni/Struttura di un bersaglio Trattazione classica sufficiente in qualche caso (Es Antenne) Trattazione quantistica necessaria a livello microscopico F. Bianchi

Scattering di Onde Elettromagnetiche Collisione con oggetti macroscopici, risposta coerente: d/l >> 1 ottica geometrica d/l ~ 1 ottica fisica Collisione con oggetti microscopici, risposta incoerente: d ~ 0 scattering Thompson (su elettroni liberi) d/l << 1 scattering Rayleigh (su elettroni legati) d/l ~ 1 scattering Mie F. Bianchi

Scattering Thomson (1) Diffusione di un onda elettromagnetica su un elettrone libero Onda elettromagnetica incidente lungo la direzione dell’asse z: onda piana, polarizzata linearmente lungo l’asse x. L’elettrone oscilla sotto l’azione di E e B. Si puo’ trascurare B se ve << c Risultato: moto armonico -> dipolo oscillante -> emissione di radiazione sotto forma di onde sferiche F. Bianchi

Scattering Thomson (2) F. Bianchi

Scattering Thomson (3) Potenza media incidente per unita’ di superficie: Forza agente sull’elettrone: Accelerazione media dell’elettrone: Potenza mediata temporalmente irraggiata per unita’ di angolo solido da una particella accelerata non relativistica: Potenza media diffusa per unita’ d’angolo solido F. Bianchi

Scattering Thomson (4) Sezione d’urto (m2/sr) Sezione d’urto totale (m2) Raggio classico dell’elettrone sT indipendente da frequenza ed ampiezza della radiazione incidente F. Bianchi

Scattering Rayleigh (1) Scattering su atomi e molecole: Elettroni legati Nuclei pesanti, non risentono del campo elettrico dell’onda Modello supersemplificato della forza di legame: Termine elastico + Termine di smorzamento Equivale a: L’equazione del moto dell’elettrone: Con: Una possibile soluzione e’: F. Bianchi

Scattering Rayleigh (2) Sostituendo x(t) e le sue derivate nell’equazione del moto dell’elettrone: L’accelerazione quadratica media dell’elettrone e’: Potenza irraggiata dall’elettrone F. Bianchi

Scattering Rayleigh (3) La sezione d’urto (m2/sr): F. Bianchi

Scattering Rayleigh (4) L a sezione d’urto totale (m2) dipende fortemente dalla frequenza dell’onda incidente. Massimo sezione d’urto: Se Sezione d’urto di Rayleigh Il cielo appare blu perche’ le molecole dell’aria diffondono preferibilemente le lunghezze d’onda piu’ corte. Al tramonto la luce del sole appare rossa perche’ attraversa un maggior spessore d’aria F. Bianchi

Scattering Rayleigh (5) F. Bianchi

Scattering in Meccanica Classica Ogni singolo evento e’ definito in modo deterministico: Per ogni singolo urto, note le forze in gioco, gli angoli di deflessioni (q,j) sono determinati dal parametro d’urto e dalla velocita’ relativa. Caso macroscopico: conoscenza completa dei parametri che fissano le caratteristiche della collisione. Es.: cometa e sole Caso microscopico: Parametri dell’insieme dei proiettili e’ noto Fascio di particelle incidenti Stato dell’insieme dei bersagli e’ noto Parametro d’urto (ed altre caratteristiche) di ogni singola collisione non sono in generale noti. NB: in meccanica classica si tratta di una impossibilita’ pratica, in meccanica quantistica e’ una impossibilita’ di principio (Principio di Indeterminazione). E’ necessario un approccio statistico. F. Bianchi

Sezione d’Urto Grandezze misurabili: F -> flusso di particelle incidenti, si misura in particelle m-2 s-1 R -> flusso di particelle diffuse in un certo angolo solido dW , si misura in particelle sr-1 s-1 Trascurando effetti cumulativi (particelle con >1 interazioni,..): ds/dW e’ una costante di proporzionalita’ che ha le dimensioni di un’area e prende il nome di sezione d’urto differenziale. Sezione d’urto totale: F. Bianchi

Sezione d’Urto ed Attenuazione (1) Fascio di proiettili di flusso F che attraversa un volume contenente N particelle per unita’ di volume. Consideriamo perduti i proiettili che interagiscono con un bersaglio. Decremento del fascio dopo uno spessore dx (k costante): Introducendo r (densita’ di massa, g/cm3) ed A (massa molecolare, g): Naturale identificare k con s. Integrando: F. Bianchi

Sezione d’Urto ed Attenuazione (2) Quantita’ spesso usate: l-> cammino libero medio m-> coefficiente di attenuazione lineare del fascio Per un singolo proiettile (F0 =1): F. Bianchi

Ancora sulla Sezione d’Urto (1) In Meccanica Classica la sezione d’urto ci dice qual’e’ la probabilita’ statistica di osservare un’interazione se spariamo un proiettile contro un bersaglio. N.B.: non siamo in grado di dire cosa accade in ogni singolo evento per motivi pratici. La sezione d’urto totale s e’ una misura della probabilita’ totale d’interazione tra proiettile e bersaglio integrata su tutti i valori del parametro d’urto b. La sezione d’urto differenziale ds/dW e’ una misura della probabilita’ differenziale di avere un’interazione che causa una deflessione nell’elemento di angolo solido dW. Legata ad un particolare valore del parametro d’impatto b. Questi concetti si applicano anche al caso in cui il risultato dell’interazione non sia solo una deflessione del proiettile, ma anche: Ridristibuzione dell’energia cinetica tra proiettile e bersaglio. Modifiche alla struttura interna di proiettile e bersaglio. Produzione di nuove particelle (fenomeno quantistico e relativistico). F. Bianchi

Interpretazione Classica della Sezione d’Urto Fascio di particelle incidenti di flusso F che urta un centro diffusore con distribuzione continua di parametri d’urto. Particelle deflesse in dW (con angolo polare fra q e q+dq, angolo azimutale fra f e f+df): Sono quelle che incidono in ds ( con par.d’urto fra b e b+db, angolo azimutale fra f e f+df) Sezione d’urto: Superficie (totale o differenziale) trasversale alla velocita’ relativa fra proiettile e bersaglio. Parametri d’urto inferiori al raggio della superficie -> Interazione F. Bianchi

Scattering da Sfera Rigida Barriera di potenziale infinita per r<a. Per il proiettile vale la legge della riflessione. q b y F. Bianchi

Sezione d’Urto di Rutherford (1) Classico problema a due corpi con un potenziale centrale repulsivo. Per ricavare la sezione d’urto: Occorre ricavare la relazione che c’e’ tra il parametro d’impatto b della particella incidente e l’angolo di scattering q Prendiamola un po’ alla lontana… F. Bianchi

Sezione d’Urto di Rutherford (2) La Lagrangiana di un sistema a due corpi di massa m1 ed m2 che interagiscono con un potenziale centrale: e’: Introducendo le coordinate: Si puo’ riscrivere come: F. Bianchi

Sezione d’Urto di Rutherford (3) Introducendo: La Lagrangiana diventa: Non dipende dalle coordinate del baricentro (coordinate cicliche) e quindi i loro momenti coniugati (le componenti dell’impulso del baricentro) si conservano. Abbiamo ritrovato che il baricentro di un sistema in assenza di forze esterne si muove di moto rettilineo uniforme La lagrangiana del moto relativo e’: F. Bianchi

Sezione d’Urto di Rutherford (4) In coordinate polari: q e’ una coordinata ciclica, il suo momento coniugato (il momento angolare) si conserva: Anche l’energia si conserva: F. Bianchi

Sezione d’Urto di Rutherford (5) Da cui: Separando le variabili: Integrando con la condizione iniziale : Sostituendo r(t) con : F. Bianchi

Sezione d’Urto di Rutherford (6) A questo punto sono note r(t) e q(t). E’ possibile ricavare l’equazione della traettoria: Integrando: Consideriamo ora il caso: F. Bianchi

Sezione d’Urto di Rutherford (7) L’equazione della trettoria diventa: Questo e’ un integrale del tipo: Con: F. Bianchi

Sezione d’Urto di Rutherford (8) La soluzione e’: Ritornando ad r: Infine: Definendo: F. Bianchi

Sezione d’Urto di Rutherford (9) c F. Bianchi

Sezione d’Urto di Rutherford (10) Sezione d’urto totale e’ divergente Conseguenza del range infinito di V(r) F. Bianchi

Estensione a Processi Qualunque (1) Finora abbiamo discusso lo scattering elastico da potenziale: F. Bianchi

Estensione a Processi Qualunque (2) F. Bianchi