TEOREMA Se due rette, tagliate da una trasversale, formano una coppia di angoli alterni interni congruenti, allora, gli angoli esterni sono congruenti, gli angoli corrispondenti sono congruenti, gli angoli coniugati sono supplementari Considerando la figura 1, si ha: Ipotesi 2  8 Tesi 4  6; 1  7 2  6; 4  8 3 + 8 = angolo piatto 1) Sono congruenti anche gli angoli alterni interni 3 e 5 perché adiacenti e quindi supplementari ad angoli congruenti. 2) Dimostriamo che gli angoli esterni sono congruenti. Osservando la figura si ha 4  2 e 6  8 perché angoli opposti al vertice e quindi, essendo per ipotesi 2  8, per la proprietà transitiva della congruenza, si ha che 4  6. Analogamente si ha 3  1 e 7  5 perché angoli opposti la vertice e poiché 3  5 (vedi punto 1), per la proprietà transitiva della congruenza, si ha che 1  7. 3) Dimostriamo che gli angoli corrispondenti sono congruenti. Poiché 2  8 per ipotesi e 6  8 poiché angoli opposti al vertice, per la proprietà transitiva, si ha che 2  6. Analogamente possiamo dimostrare la congruenza delle altre coppie di angoli corrispondenti. 4) Dimostriamo che gli angoli coniugati sono supplementari. Consideriamo gli angoli 2 e 3, essi sono adiacenti pertanto 3 è supplementare di 2 ma, per ipotesi, abbiamo che 2  8 e quindi 3 risulta supplementare anche all’angolo 8, a esso coniugato. Analogamente possiamo dimostrare che le altre coppie di angoli coniugati sono supplementari. c.v.d.

TEOREMA Due rette di un piano, perpendicolari a una stessa retta, non hanno alcun punto in comune, cioè sono parallele tra loro Siano a e b due rette perpendicolari alla stessa retta c rispettivamente nei punti A e B (Figura 1); vogliamo dimostrare che tali rete non possono incontrarsi in un punto O. Ipotesi a  c b  c Tesi a // b Dimostriamo questo teorema procedendo per assurdo Supponiamo che le rette a e b non siano parallele e che quindi si incontrino in un punto O (Figura 2) In tal caso si formerebbe il triangolo ABO nel quale si avrebbero due angoli retti OAB e OBA. OAB deve essere retto perché formato dalle rette perpendicolari a e c (vedi ipotesi); anche OBA deve essere retto perché formato dalle rette perpendicolari b e c (vedi ipotesi) Tale condizione non può verificarsi poiché in un triangolo si dimostra che non può esserci più di un angolo retto. E’ quindi assurdo aver negato che le due rette siano parallele. c.v.d.

TEOREMA Se due rette di un piano formano con una trasversale 1) due angoli alterni interni (o esterni) congruenti, oppure 2) due angoli corrispondenti congruenti, oppure 3) due angoli coniugati supplementari, allora le due rette sono parallele Osservazione: per altro teorema abbiamo che se due rette tagliate da una trasversale formano angoli alterni interni, oppure angoli corrispondenti congruenti, oppure angoli coniugati supplementari, allora formano anche angoli alterni congruenti. Basta quindi dimostrare che la tesi è vera nel caso le due rette formino con la trasversale angoli alterni interni congruenti. Si ha quindi (figura 1): Ipotesi AEF  EFD Tesi AB // CD Dimostriamo questo teorema procedendo per assurdo Supponiamo che le rette AB e CD non siano parallele e che quindi le semirette EB e FD si incontrino in un punto O; si otterrebbe così il triangolo OEF per il quale si avrebbe che l’angolo esterno AEF è congruente all’angolo interno EFD. Ciò è impossibile in quanto sappiamo per altro teorema che l’angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti ad esso. Non è quindi possibile l’esistenza del punto O. Analogamente si dimostra che non esiste un punto O dove si incontrano le semirette EA e FC. Le due rette AB e CD sono quindi parallele. c.v.d.

TEOREMA Se due rette di un piano sono parallele, esse, tagliate da una trasversale, formano: 1) angoli alterni interni (o esterni) congruenti 2) angoli corrispondenti congruenti 3) angoli coniugati supplementari Osservazione: Basta dimostrare che le due rette formano, con la trasversale, angoli alterni interni congruenti. Infatti, per altro teorema, esse formeranno, in tal caso, anche angoli alterni esterni congruenti, angoli corrispondenti congruenti e angoli coniugati complementari. Si ha quindi: Ipotesi AB // CD Tesi AEF  DFE Dimostriamo questo teorema procedendo per assurdo Supponiamo che sia falsa la tesi e che quindi la retta AB formi con la trasversale HK un angolo AEF, alterno interno a DFE e non congruente ad esso. Allora esisterà una retta MN, passante per E e distinta da AB, che formi con HK un angolo MEF congruente all’angolo EFD alterno interno ad esso. Tale retta, per altro teorema, risulterà parallela a CD e quindi per il punto E passerebbero due rette , la AB e la MN, entrambe parallele a CD. Questo è in contraddizione con il postulato di Euclide, pertanto la tesi non può essere negata. Si ha quindi AEF  DFE c.v.d.

Due rette parallele ad una terza sono parallele tra loro TEOREMA Due rette parallele ad una terza sono parallele tra loro Ipotesi a // c b // c Tesi a // b Dimostriamo questo teorema procedendo per assurdo Supponiamo che sia falsa la tesi e che quindi la retta a e la retta b non siano parallele tra loro ma si incontrino in un punto O. Per O passerebbero quindi due rette entrambe parallele alla stessa retta c. Questo è in contraddizione con il postulato di Euclide, pertanto la tesi non può essere negata. Si ha quindi che anche le rette a e la retta b sono parallele tra loro. Questo teorema esprime la proprietà transitiva del parallelismo. c.v.d.

TEOREMA Segmenti paralleli compresi fra rette parallele sono congruenti fra loro Ipotesi a // b A e C  a B e D  b AB // CD Tesi AB = CD Uniamo A con D, otteniamo due triangoli ABD e ADC. I due triangoli ottenuti sono congruenti per il secondo criterio di congruenza avendo AD in comune, gli angoli BAD  ADC, perché alterni interni delle rette parallele AB e DC tagliate da AD, e gli angoli BDA  DAC, perché alterni interni delle rette parallele BD e AC tagliate da AD. Poiché in triangoli congruenti ad elementi congruenti si oppongono elementi congruenti, si ha AB  CD. c.v.d.