Vettori Finche’ il moto si svolge in una sola dimensione – moto unidimensionale, moto rettilineo – non abbiamo bisogno di vettori La posizione e’ individuata dato il sistema di riferimento, e cosi’ pure tutte le altre grandezze del moto. Posizione, velocita’ e accelerazione sono individuate da numeri con un segno, che indica misura (grandezza), direzione (lungo la retta del sistema di riferimento) e verso (positivo se in direzione della freccia del sistema di riferimento, negativo se in direzione opposta). Quando il moto si svolge in piu’ dimensioni – due o tre, fisicamente parlando – occorre un modo per specificare posizione, velocita’ e accelerazione, e specificarne grandezza, direzione e verso. L’uso dei vettori consente di descrivere facilmente grandezze fisiche caratterizzate da misura – grandezza – direzione e verso.

Sistema di riferimento cartesiano Come nel caso del moto unidimensionale, la prima cosa e’ avere un sistema di riferimento Una possibilita’ e’ scegliere un sistema di riferimento cartesiano, composto da tre assi perpendicolari tra di loro Non e’ l’unica scelta, ed infatti vedremo altri sistemi di riferimento – cilindrico, sferico… Ogni asse ha il suo verso, la sua direzione e la sua unita’ di misura L’origine O e’ data dal punto di congiunzione degli assi Gli assi del sistema di riferimento sono convenzionalmente chiamati “x”, “y”, “z” e sono convenzionalmente ordinati (costituiscono una “terna ordinata”) seguendo le dita della mano destra “x” pollice, “y” indice e “z” medio Si, e’ lo stesso ordine del prodotto vettoriale, non a caso… x y z O

NO SI Vettore posizione a R y y x x z z Dato un sistema di riferimento e’ possibile determinare la posizione di un corpo. Il vettore posizione x e’ rappresentato da una freccia che congiunge l’origine con il punto in cui il corpo e’ situato Non c’e’ niente di speciale nell’usare la lettera “x” per la posizione. Viene usata spesso anche la lettera “r”, ma ogni altra lettera puo’ essere usata. Invece e’ importante usare il “grassetto” o una freccettina sopra la lettera, per indicare che stiamo parlando della posizione come di una grandezza vettoriale La posizione x e’ misurata in metri. La misura della grandezza posizione e’ data dalla lunghezza del vettore posizione O viceversa, la lunghezza del vettore posizione e’ il valore della grandezza posizione x y z NO x y z SI R a

Coordinate E’ possibile definire una posizione anche come un insieme ordinato di coordinate x  (x1, x2, x3) x  (x1, x2, x3) – intendo dire che sono due modi equivalenti di indicare la stessa grandezza x1 rappresenta la proiezione ortogonale del vettore x lungo l’asse delle “x”, x2 rappresenta la proiezione ortogonale del vettore x lungo l’asse delle “y” e x3 rappresenta… Date le coordinate e’ possibile disegnare un vettore Dato il vettore disegnato e’ possibile disegnare le coordinate Un valore di x1, x2 e/o x3 uguale a zero significa che il vettore x: Non ha componenti lungo l’asse “x”, “y” e/o “z” E’ perpendicolare all’asse “x”, “y” e/o “z” Giace sul piano “y-z”, “x-z”, “y-z” oppure e’ “lungo la retta “x”, “y”, “z”, oppure e’ nullo “Con i vettori si descrive un modello, con le coordinate si fanno i conti”

Coordinate Primo conto: grandezza del vettore (posizione, ma e’ in generale) |x| = √ (x12 + x22 + x32) Secondo conto: angolo che il vettore forma con l’asse “x” tg q = √(x22 + x32)/x1 In due dimensioni diventa tg q = x2/x1 Terzo conto: somma o differenza di vettori x + y = z z  (z1, z2, z3) = (x1+y1, x2+y2, x3+y3) x - y = w w  (w1, w2, w3) = (x1-y1, x2-y2, x3-y3) Se usiamo i versori i, j, k (vettori unitari – di lunghezza “1” - lungo l’asse ‘x’, ‘y’ e ‘z’) la scrittura x  (x1, x2, x3) diventa piu’ coerentemente x = (i x1 + j x2 + k x3)

Vettore spostamento a-x a a x x-a Lo spostamento e’ sempre definito come la differenza tra due posizioni in due momenti differenti di tempo: in formule x(t2,t1) = x(t2) – x(t1) La differenza tra due vettori e’ ancora un vettore Dati due vettori posizione x e a disegnati, possiamo disegnare lo spostamento x-a (da a a x) e a-x (da x a a) I vettori x-a e a-x hanno la stessa direzione e grandezza, ma verso opposto x y z a a-x x y z a x x-a

Vettore spostamento a x-a A X-A x X Il vettore spostamento da a a x puo’ essere disegnato anche con gli estremi alle due “punte di freccia” dei vettori x-a In effetti mentre a e x dipendono dal sistema di riferimento, lo spostamento x-a non dipende dal sistema di riferimento. Mentre le coordinate dei vettori a e A sono diverse, cosi’ come sono diverse le coordinate dei vettori x e X, le coordinate dei vettori x-a e X-A sono uguali. x y z a x y z x-a A X-A x X

Traiettoria L’insieme dei punti occupati dal corpo durante il suo moto x(t) al variare del tempo e’ chiamato traiettoria. Una traiettoria rettilinea nello spazio puo’ essere scritta x(t) = x0 + a t x1 Una traiettoria circolare nel piano “x-y” puo’ essere scritta x(t) = i r sin(wt) + j r cos (wt) Una traiettoria parabolica puo’ essere scritta nel piano x-z x(t) = i (x0 + vx0 t )+ k (z0 + vz0 t + g t2 ) In generale la traiettoria puo’ essere scritta come x(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k E’ possibile una volta nota la traiettoria scomporla in piu’ moti unidimensionali – comodo per fare i conti. “proiezione” della posizione del punto sugli assi, ovvero posizione lungo l’asse x, ovvero moto lunto Ad esempio il moto con una traiettoria parabolica puo’ essere scomposto in due equazioni – sistema di equazioni – in formule: x(t) = x0 + vx0 t z(t) = z0 + vz0 t + g t2 Una traiettoria puo’ essere scritta come una serie di spostamenti. “al limite” gli spostamenti diventano infinitesimali “al limite” gli spostamenti sono tangenti alla traiettoria

Velocita’ Avendo lo spostamento possiamo definire la velocita’ istantanea vettoriale come la derivata dello spostamento rispetto al tempo In formule: v(t) = d x(t)/dt Visivamente: dx rappresenta un piccolo spostamento, e al limite e’ tangente alla traiettoria del moto. La velocita’ istantanea vettoriale e’ sempre tangente alla traiettoria. Si disegna come una freccia orientata che ha origine nel corpo – scrittura di comodo, non formale “facendo i conti” e’ possibile determinare il valore delle componenti della velocita’ derivando le componenti della traiettoria In formule v(t) = dx(t)/dt i + dy(t)/dt j + dz(t)/dt k  vx i + vy j + vz k si assume che i versori i, j, k siano costanti Come nel caso unidimensionale possiamo definire la velocita’ vettoriale media, e la velocita’ scalare media e istantanea vm = (x(t2) – x(t1))/(t2– t1) vscalarem = ∫|d(x(t))| /T vscalare = |d x(t)|/dt

Accelerazione L’accelerazione e’ la derivata della velocita’ Accelerazione istantanea a(t) = d(v(t))/dt Accelerazione media am = ∫dt d(v(t))/dt / ∫dt = (v(t2) – v(t1))/(t2– t1) “facendo i conti” abbiamo le stesse formule che abbiamo trovato per la velocita’: a(t) = dvx(t)/dt i + dvy(t)/dt j + dvz(t)/dt k Visivamente c’e’ una differenza: l’accelerazione non e’ sempre tangente alla traiettoria Si introduce il concetto di accelerazione tangenziale e accelerazione centripeta L’accelerazione tangenziale e’ orientata lungo la tangente e il suo valore e’ quello della variazione della velocita’ scalare (del modulo della velocita’). Conseguentemente se il moto si svolge a velocita’ in modulo costante – come per esempio nel moto circolare uniforme – l’accelerazione tangenziale e’ nulla. L’accelerazione centripeta’ e’ orientata perpendicolarmente alla traiettoria, lungo il raggio del “cerchio osculatore” e di modulo v2/R

Accelerazione tangenziale e centripeta La velocita’ e’ sempre orientata lungo la tangente alla traiettoria In formule: v(t) = q(t) v(t) v(t) e’ il modulo del vettore velocita’ q(t) e’ il vettore di modulo costante e unitario tangente alla Per esempio, nel caso del moto circolare uniforme, possiamo scrivere q(t) = i cos(wt) – j sin(wt) L’accelerazione formalmente si scrive come a(t) = d(q(t) v(t))/dt Ovvero: a(t) = q(t) dv(t)/dt + dq(t)/dt v(t) La componente dell’accelerazione lungo la traiettoria e’ l’accelerazione tangenziale e vale at = q(t) dv(t)/dt La variazione del vettore tangente alla traiettoria puo’ essere solo di direzione; e la variazione di direzione non puo’ essere che perpendicolare alla traiettoria Naturalmente esiste una trattazione piu’ formale… Quindi a(t) = q(t) dv(t)/dt + dq(t)/dt v(t) = atang + acentr