Il principio di interazione spaziale Valerio Cutini a.a. 2013 / 2014 Università degli Studi di Pisa insegnamento di Tecnica Urbanistica Corso di laurea triennale in Ing. Edile Ingegneria del Territorio Corso di laurea magistrale in Ing. Idraulica,Trasporti e Territorio Lezione n° 5. Il principio di interazione spaziale 1 1

Il principio di interazione spaziale valerio cutini a.a. 2013-2014 Il principio di interazione spaziale è posto alla base del funzionamento del sistema urbano I metodi e i modelli che vi afferiscono mirano a rispondere alla questione dei rapporti che intercorrono fra le attività localizzate entro un determinato sistema insediativo Come nella città? 2 2

Spazio urbano e rapporti fra attività valerio cutini a.a. 2013-2014 Ogni attività posta in un sistema sviluppa con i suoi elementi una complessa rete di relazioni: relazioni di attrazione, di repulsione, di cooperazione Reciprocamente, tutte le attività del sistema esercitano su di essa analoghe relazioni, di vario genere. Esempi: Spostamenti fisici (movimento pedonale o veicolare) Compravendita di beni o servizi Scambio di informazioni (telefono, Internet, …) 3 3

L’ipotesi gravitazionale valerio cutini a.a. 2013-2014 Questi rapporti sembrano organizzarsi sulla base di campi gravitazionali, la cui intensità appare sensibile alla dimensione delle attività e alla loro mutua distanza Ogni attività sembra subire (ed esercitare) da parte delle altre attività una influenza proporzionale all’entità delle grandezze in gioco e inversamente proporzionale alla distanza che le separa Una tale evidenza ha suggerito di studiare tali rapporti mediante modelli costruiti in analogia con le leggi newtoniane sulla fisica dei gravi, assimilando le attività a corpi fisici di massa proporzionale alla propria entità 4 4

Utilità dei modelli gravitazionali valerio cutini a.a. 2013-2014 I modelli gravitazionali si rivelano particolarmente utili per lo studio dei fenomeni urbani e territoriali Di tale modello si prospettano due possibili utilizzazioni, frequentemente praticate: una utilizzazione come modello di flusso, finalizzato a misurare l’intensità delle relazioni di interazione fra attività insediate una utilizzazione come modello di potenziale, finalizzato a misurare l’influenza determinata da tutte le attività insediate in un qualsiasi punto dello spazio 5 5

I modelli gravitazionali valerio cutini a.a. 2013-2014 Secondo la legge di gravitazione universale, due corpi A e B posti nello spazio si attraggono con una forza la cui intensità varia in ragione delle loro masse M e in ragione inversa del quadrato della distanza che li separa TAB = K (MA MB) / d² L’estensione di una tale formulazione allo studio dei fenomeni spaziali è stata da decenni sperimentata con successo in vari campi di analisi, come i movimenti pendolari, i rapporti commerciali, le spese telefoniche 6 6

I modelli gravitazionali valerio cutini a.a. 2013-2014 In tali sperimentazioni, si è assunto come valore dell’intensità di interazione fra due attività i e j insediate, di consistenza (fisica, demografica, economica, etc.) Pi e Pj quello Tij risultante dall’espressione Tij = K (Pi Pj ) / d Dove l’esponente  esprime il peso della frizione spaziale nel fenomeno in studio, ovvero il peso della specifica deterrenza che la distanza pone alla interazione nel caso in specie 7 7

VA / VB = (PA/PB ) / (dBC  / dAC ) Il modello di Reilly valerio cutini a.a. 2013-2014 Una delle prime sperimentazioni del principio di interazione gravitazionale risale agli anni ‘30, quando William Reilly presentò la sua “law of retail gravitation” È un’estensione del modello gravitazionale per l’analisi dei movimenti finalizzati all’acquisto di beni al dettaglio Secondo tale legge, dati due centri urbani A e B, con popolazione residente rispettivamente pari a PA e PB, la vendita di beni al dettaglio in A e in B effettuata nei due centri dai consumatori residenti nei diversi centri intermedi C risulta dalla espressione: VA / VB = (PA/PB ) / (dBC  / dAC )  1   1,5 - 2,5 8 8

Il modello di Reilly: un’applicazione valerio cutini a.a. 2013-2014 Un’applicazione del modello di Reilly consiste nella individuazione dei limiti delle aree di mercato di 2 centri A C B Poiché sulla frontiera fra le due aree di mercato le vendite si equivalgono (VA= VB) è possibile definire, ponendo ad es.  = 1 e γ = 2, il punto di frontiera C sul segmento AB 9 9

Il modello di Reilly: un’applicazione valerio cutini a.a. 2013-2014 VA/VB = (PA /PB )/(dBC  /dAC ) = 1 (PA/PB )/(dBC/dAC)2 = 1 A C B (PA/PB )= (dAC /dBC) (PA/PB )= (dAB- dBC) /dBC (PA/PB )= (dAB /dBC) - 1 dBC = dAB / [1 + (PA/PB )] 10 10

I modelli di interazione spaziale valerio cutini a.a. 2013-2014 Si consideri un sistema territoriale, in cui siano insediate n attività Chiamiamo Tij l’intensità della relazione di interazione fra l’attività i-esima e l’attività j-esima Naturalmente, il flusso totale in uscita dall’area di origine i è Oi = Σj Tij Mentre il flusso totale in entrata nell’area di destinazione j è Dj = Σi Tij 11 11

Tij = k Oi Dj f (dij) / k Σj Dj f (dij) I modelli di interazione spaziale valerio cutini a.a. 2013-2014 In analogia alla fisica dei gravi, l’entità dell’interazione Tij fra l’attività i-esima e la j-esima, fra loro distanti dij, è proporzionale al flusso totale in uscita da i, al flusso totale in entrata in j e ad una funzione dell‘impedenza spaziale: Tij = k Oi Dj f (dij) L’interazione fra i e j deve tuttavia tenere conto anche della presenza delle altre attività concorrenti nella ripartizione dei flussi… …e quindi sarà inversamente proporzionale alla attrazione esercitata dalle altre zone: Tij = k Oi Dj f (dij) / k Σj Dj f (dij) 12 12

I modelli di interazione spaziale valerio cutini a.a. 2013-2014 Tij = k Oi Dj f (dij) / k Σj Dj f (dij) Se in tale espressione poniamo: Ai = 1 / Σj Dj f (dij) Tij = Ai Oi Dj f (dij) Se poi sostituiamo: Tij = Oi Prij Prij = Ai Dj f (dij) Ovvero, l’interazione dell’origine Oi con la destinazione Dj può essere vista come il prodotto del flusso in uscita Oi per la “probabilità” che tale flusso sia indirizzato proprio alla destinazione Dj 13 13

I modelli di interazione spaziale a vincolo unico valerio cutini a.a. 2013-2014 Si dicono “a vincolo unico” i modelli gravitazionali progettati in modo che i risultati del modello rispettino una sola delle seguenti condizioni Σj Tij= Oi Σi Tij= Dj I modelli di interazione spaziale a vincolo unico sono finalizzati a ricavare, dato il flusso Oi in uscita, l’entità del flusso in entrata Dj (o viceversa), oltreché l’intensità delle interazioni Tij 14 14

Il modello di Lakshmanan-Hansen T.R. Lakshmanan valerio cutini a.a. 2013-2014 T.R. Lakshmanan Il modello di Lakshmanan-Hansen, studiato nel 1965 per ottimizzare la localizzazione degli shopping centers di Baltimora, è anche detto “modello di Baltimora” È un modello gravitazionale a vincolo unico che assume ad oggetto il flusso per gli acquisti al dettaglio fra le zone residenziali ed i centri commerciali Obiettivo è determinare il fatturato di ogni centro commerciale e di confrontarlo con un valore di soglia, sotto al quale non ha possibilità di prosperare 15 15

Il modello di Lakshmanan-Hansen valerio cutini a.a. 2013-2014 L’ipotesi di lavoro è che l’ammontare degli acquisti effettuati dai residenti nella i-esima zona nel j-esimo shopping center sia: proporzionale all’ammontare della spesa complessiva effettuata in ogni zona residenziale proporzionale al potere attrattivo dello shopping center inversamente proporzionale alla distanza fra la residenza e lo shopping center inversamente proporzionale al potere attrattivo degli altri shopping centers 16 16

Sij = ciPi Fj f (dij) / Σj Fj f (dij) Il modello di Lakshmanan-Hansen valerio cutini a.a. 2013-2014 Si assumono le seguenti notazioni: Pi - popolazione della i-esima zona residenziale ci - spesa media pro-capite nella i-esima zona Fj - taglia del j-esimo shopping center dij - distanza fra la i-esima zona residenziale e il j-esimo shopping center Sij - acquisti dei residenti nella i-esima zona nel j-esimo shopping center Si può scrivere: Sij = ciPi Fj f (dij) / Σj Fj f (dij) 17 17

Sij = ciPi Fj f (dij) / Σj Fj f (dij) Il modello di Lakshmanan-Hansen valerio cutini a.a. 2013-2014 Sij = ciPi Fj f (dij) / Σj Fj f (dij) Il modello di Baltimora è un modello di interazione spaziale che utilizza come fattore di attrazione, indicatore della taglia dello shopping center, la sua superficie di vendita Fj Al solito, tale espressione può essere scritta in modo conciso: Sij = CiPrij avendo posto: ciPi = Ci Fj f (dij) / Σj Fj f (dij) = Prij 18 18

Sij = CiPrij Sj = Σi Sij Sj ≥ Smin Il modello di Lakshmanan-Hansen valerio cutini a.a. 2013-2014 Sij = CiPrij Finalità del modello è determinare l’ammontare totale degli acquisti effettuati in ogni shopping center, ovvero: Sj = Σi Sij Eventualmente scartando soluzioni che comportino valori di Sj inferiori a una determinata soglia assunta come valore minimo per la sopravvivenza dello shopping center Sj ≥ Smin 19 19

Sij = ciPi Fj dij-2 / Σj Fj dij-2 Il modello di Lakshmanan-Hansen valerio cutini a.a. 2013-2014 La sperimentazione del modello su Baltimora venne condotta assumendo la seguente espressione dell’impedenza spaziale: f (dij) = dij-α E fornì risultati affidabili ponendo α = 1,5-2,5. Ovvero, in definitiva: Sij = ciPi Fj dij-2 / Σj Fj dij-2 20 20

I modelli di interazione spaziale a vincolo doppio valerio cutini a.a. 2013-2014 Si dicono “a vincolo doppio” i modelli gravitazionali progettati in modo che i risultati del modello rispettino entrambe le seguenti condizioni Σj Tij= Oi Σi Tij= Dj Tali modelli assumono pertanto come noti sia i valori dei flussi Oi che quelli dei Dj, e si usano per determinare il valore delle interazioni Tij fra le coppie di zone Un modello a doppio vincolo non è libero di fornire la localizzazione di arrivo degli spostamenti, giacché sia le origini Oi che le destinazioni Dj sono vincolate 21 21

I modelli di interazione spaziale a vincolo doppio valerio cutini a.a. 2013-2014 Un modello a doppio vincolo è così caratterizzato: Tij = K Oi Dj f (dij) (1) Σj Tij= Oi (2) (3) Σi Tij= Dj Si può dimostrare che l’unico modo per risolvere le (1) nel rispetto delle (2) e delle (3) consiste nell’utilizzare, al posto di K, 2n costanti, che chiameremo Ai e Bj: Ai = 1/ ΣjBjDj f (dij) Tij = AiBjOiDj f (dij) Si ricava: Bj = 1/ ΣiAiOi f (dij) 22 22

I modelli di interazione spaziale a vincolo doppio valerio cutini a.a. 2013-2014 Tij = AiBjOiDj f (dij) Ai = 1/ ΣjBjDj f (dij) Bj = 1/ ΣiAiOi f (dij) (1) Nelle espressioni delle interazioni Tij, notiamo che le costanti Ai contengono le Bj, e le Bj contengono le Ai Per tale motivo il calcolo di entrambi i gruppi di costanti deve essere effettuato per via iterativa Si pone, ad esempio, Ai= 1 (i = 1,2, .., n), e si ricavano i valori Bj, che, sostituiti nelle (1), forniscono nuovi valori di Ai; e così via fino a convergenza 23 23

Il potenziale economico-spaziale valerio cutini a.a. 2013-2014 Anche il concetto di potenziale economico-spaziale discende dall’analogia con la fisica dei gravi Dato un insieme di masse Mj, il potenziale gravitazionale da esso indotto in un punto a è definito come: Ea = k Σj Mj / daj L’estensione ai fenomeni territoriali è immediata l’unica differenza sta nella possibilità di apprezzare diversamente l’impedenza spaziale, in relazione alla effettiva deterrenza allo spostamento relativa a diversi fenomeni Ea = k Σj Pj / dajα 24 24

Il potenziale economico-spaziale valerio cutini a.a. 2013-2014 Il potenziale economico-spaziale può essere definito come una sorta di accessibilità generalizzata Nel principio di competizione spaziale ad ogni punto dello spazio circostante un determinato “centro” viene riconosciuto un certo livello di centralità, funzione dell’impedenza spaziale rispetto a questo Qui ogni punto di un sistema formato da attività interagenti è caratterizzato da un livello di “accessibilità generalizzata”, il cui valore dipende dall’entità delle attività e dalla frizione spaziale rispetto ad esse 25 25

Il potenziale economico-spaziale valerio cutini a.a. 2013-2014 In altri termini, la relazione localizzazione/rendita viene qui generalizzata mediante il superamento dell’unitarietà del centro e la disaggregazione dello spazio geografico nelle sue componenti elementari: le attività insediate Il centro non è un dato assunto a priori, in modo esogeno, come il luogo massimamente accessibile, ma risulta dalla presenza, dalla consistenza e dalla posizione delle attività: è il punto dello spazio con più elevato valore del potenziale economico-spaziale Per questo motivo il potenziale è detto accessibilità generalizzata 26 26

Il potenziale economico-spaziale: utilizzazione valerio cutini a.a. 2013-2014 Il concetto di potenziale economico-spaziale è utile per spiegare, comprendere e prevedere: Una scelta localizzativa (orientata al luogo a più elevato potenziale) L’insieme dei flussi diretti verso tale localizzazione e in uscita da essa Il valore posizionale di tale localizzazione (e quindi anche il valore economico del suolo) 27 27