LA CIRCONFERENZA

ARGOMENTI TRATTATI Le equazioni della circonferenza Questioni basilari Questioni relative alle rette tangenti Curve deducibili dalla circonferenza Disposizione di due circonferenze nel piano Fasci di circonferenze Discussione di sistemi di 2° grado con parametro

LE EQUAZIONI DELLA CIRCONFERENZA Definizione Si dice circonferenza C di centro C e raggio r, il luogo geometrico dei punti P del piano  aventi da C distanza uguale ad r. Da questa definizione, ponendoci in un riferimento cartesiano, possiamo ricavare l’equazione della circonferenza, o rappresentazione analitica. Iinfatti, se il centro C ha le coordinate C(;) e un generico punto P della C , le coordinate P(x;y), si ha: • Moltiplicando i due membri dell’equazione normale per una costante arbitraria k  0 si ha: kx2 + ky2 + kax + kby + kc = 0 equazione generale .

• Se il centro C(;) coincide con l’origine O(0;0) del riferimento cartesiano, cioè  = 0 e  =0 , l’equazione normale diventa: Osservazioni sulle equazioni normale e generale: 1. manca in esse il termine rettangolare in xy; 2. i coefficienti dei due quadrati x2 e y2 sono uguali (uguali a 1 nella normale); premesso che dall’equazione generale si passa immediatamente a quella normale dividendo entrambi i membri per k  0, se è nota l’equazione normale x2 + y2 + ax + by + c = 0 , allora, dal sistema (2), si determinano prontamente le coordinate del centro C e il raggio r della circonferenza:

4. non è detto che per ogni scelta dei coefficienti a, b, c, l’equazione normale rappresenti una circonferenza. Dall’espressione del raggio, scritta nel sistema (2), si hanno infatti i seguenti casi: l’equazione normale non rappresenta alcuna circonferenza reale ( r immaginario ); 2 + 2 – c = a2/4 + b2/4 – c l’equazione normale rappresenta una circonferenza (degenere) di raggio nullo, ridotta cioè al solo centro C; l’equazione normale rappresenta una circonferenza reale. 5. circonferenze particolari:

Considerazioni sul caso ‘c = 0’. Se c = 0 , il grafico della curva passa per l’origine perché l’equazione diventa x2 + y2 + ax + by = 0 , quindi una delle infinite soluzioni è sempre la coppia di numeri x = 0 e y = 0 , cioè il punto O(0 ; 0) .

QUESTIONI BASILARI Verifica se le equazioni date rappresentano circonferenze reali; in caso affermativo determinane centro e raggio. a. x2 + y2 = 4 ; a = 0; b = 0; c = - 4 ; a2/4 + b2/4 – c = 4  si, l’equazione data rappresenta una circonferenza reale di centro C( ; ) = C(-a/2 ; -b/2) = C(0;0) e di raggio r = 2. b. x2 + y2 + 9 = 0 ; a = 0; b = 0; c = 9; a2/4 + b2/4 – c = - 9  no, l’equazione data non rappresenta una circonferenza reale, bensì immaginaria. c. x2 + 2y2 + x + 3y - 5 = 0 ; non è l’equazione di una circonferenza perché i coefficienti dei termini di secondo grado, x2 e y2, sono diversi; si tratta di un’ellisse, infatti

2. Determina per quali valori del parametro reale k l’equazione 3x2 + 3y2 – 6(k-1)x + 27 = 0 rappresenta una circonferenza. 3. PROBLEMA RICORRENTE: determinare l’equazione di una circonferenza. Facendo riferimento all’equazione normale, determinare l’equaz. di una circ. significa determinare i tre coefficienti a, b, c. Pertanto il problema deve fornire tre condizioni tra loro indipendenti, da cui ricavare tre equazioni indipendenti. Alcune di tali condizioni sono, per esempio:

• conosco le coordinate del centro C(;) (sono due condizioni)  a = - 2 ; b = - 2 • conosco il raggio r  r2 = 2 + 2 – c = a2/4 + b2/4 – c • passaggio per un dato punto P(xp ; yp)  (xp)2 + (yp)2 + axp + byp + c = 0 • centro C(;) su una retta di nota equazione y = mx + q   = m + q , oppure -b/2 = -ma/2 + q • tangenza ad una retta di nota equazione y = mx +q  vedi Circonferenza tangente ad una retta . 3.a Scrivi l’equazione della circonferenza di centro C(-2; 1/2) e raggio r = 1. 3.b Scrivi l’equazione della circonferenza passante per i punti A(0 ; -2), B(0 ; 6), C(8 ; 0).

3. c Scrivi l’equazione della circonf 3.c Scrivi l’equazione della circonf. avente per diametro il segmento di estremi A(-3 ; 1) e B(2 ; 5). 3.d Scrivi l’equazione della circonferenza passante per i punti A(1 ; 2) e B(3 ; 4) e avente il centro sulla retta t di equazione x – 3y – 1 = 0 .

3.e Determina per quali valori del parametro reale k la circonferenza di equazione x2 + y2 – 2(k – 1)x + 2ky + k – 4 = 0

QUESTIONI RELATIVE ALLE RETTE TANGENTI Analizziamo questi due problemi: determinare le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza, condotte da un punto di note coordinate; determinare l’equazione della circonferenza tangente ad una retta di nota equazione. Rette tangenti ad una conica condotte da un punto P Questi problemi si possono trattare, come indicato nel capitolo 9 delle coniche, con il metodo del discriminante nullo, o con il metodo delle formule di sdoppiamento, ma anche con altri accorgimenti che, relativamente alla questione in esame, possono semplificare i calcoli (vedi esempi seguenti). In sintesi: metodi generali, validi per tutte le coniche: a. metodo del discriminante nullo, b. metodo delle formule di sdoppiamento. metodi particolari, validi solo per la circonf.: c. metodo della distanza retta-centro uguale al raggio, d. metodo della tangente perpendicolare al raggio (solo se il punto P appartiene alla circonf.) . Di solito conviene applicare il metodo ‘c’, se il punto P non appartiene alla circonferenza, il metodo ‘b’, se il punto P appartiene alla circonferenza .

Esempi 1. Determina le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione x2 + y2 - 2x = 0 , condotte dal punto P(9/4 ; 0). Verifico se P appartiene alla circonf.: 81/16 – 9/2  0  P non appartiene alla circonf., quindi posso avere due soluzioni, se P è esterno, nessuna soluzione, se P è interno alla circonferenza. Metodo ‘a’ Metodo ‘b’

Metodo ‘c’ Determino le coordinate del centro C e il raggio r : C(1;0) ; r = 1. Scrivo l’equazione del fascio di rette di centro P in forma implicita: 4mx – 4y – 9m = 0. Impongo che la distanza fra le rette del fascio e il centro C sia uguale al raggio r :

2. Determina le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione x2 + y2 - 2x - 6y - 10 = 0 , condotte dal punto P(5 ; 5). Verifico se P appartiene alla circonf.: 25 + 25 – 10 – 30 – 10 = 0  P appartiene alla circonf., quindi ho sicuramente una e una sola soluzione. Metodo ‘a’ Metodo ‘b’ Metodo ‘c’ Determino le coordinate del centro C e il raggio r : C(1;3) ; r = 201/2. Scrivo l’equazione del fascio di rette di centro P in forma implicita: mx – y – 5m + 5 = 0. Impongo che la distanza fra le rette del fascio e il centro C sia uguale al raggio r :

Metodo ‘d’ Determino le coordinate del centro C: C(1;3) . Scrivo l’equazione del fascio di rette di centro P(5;5) : y = mx – 5m + 5 . Determino il coeff. angolare m1 della retta CP perpendicolare alla tangente in P :

Esempi 2. Circonferenza tangente ad una retta di nota equazione 1. Determina l’equazione della circonferenza passante per i punti A(1;4) e B(5;0) e tangente alla retta di equazione y = – x + 1 .

Traccio il grafico. Dall’equazione x2 + y2 - 6x - 4y + 5 = 0 si ricavano le coordinate del centro C(3; 2). 2. Determina l’equazione della circonferenza passante per i punti A(1;2) e B(3;4) e tangente alla retta di equazione y = – 3x + 3 .

Esprimo b e c in funzione di a Esprimo b e c in funzione di a. Dalla combinazione lineare delle prime due equazioni si ha:

Determina l’equazione della circonferenza di centro C(-2 ; -3) e tangente alla retta di equazione y = 3x -1 . Trovo il raggio della circonferenza, sapendo che coincide con la distanza del centro C dalla retta tangente:

4. Determina l’equazione della circonferenza tangente agli assi cartesiani e passante per il punto P(3 ; 2/3) . La circonferenza si trova nel primo quadrante e il suo centro appartiene alla retta y = x , quindi  =  e a = b . Osservo inoltre che il raggio misura  = - a/2 , quindi si ha:

CURVE DEDUCIBILI DALLA CIRCONFERENZA Esplicitando l’equazione di secondo grado x2 + y2 + ax + by + c = 0 rispetto alla variabile y e rispetto alla variabile x , si ottengono quattro equazioni, due del tipo (1) e due del tipo (2), ricavate sotto. Tali equazioni sono rappresentate graficamente da semicirconferenze.

Esempi. Rappresenta graficamente le curve descritte dalle equazioni indicate.

DISPOSIZIONE DI DUE CIRCONFERENZE NEL PIANO Due circonferenze di equazione x2 + y2 + ax + by + c = 0 e x2 + y2 + a’x + b’y + c’ = 0 possono presentare nel piano le seguenti disposizioni: Determinazione degli eventuali punti comuni A, B o T. Per determinare gli eventuali punti d’intersezione o il punto di tangenza, occorre risolvere il sistema di quarto grado formato dalle equazioni delle due circonferenze. Conviene procedere come segue:

Osserva che se a = a’ e b = b’ non si ottiene l’equazione della retta ‘ asse radicale ’; in questo caso le due circonferenze sono concentriche e non hanno punti in comune o sono coincidenti. Quindi si risolve uno dei due sistemi di secondo grado fra l’equazione della retta ‘ asse radicale ‘ e l’equazione di una delle due circonferenze: Tali sistemi ammettono due soluzioni se le circonferenze sono secanti; una soluzione se le circonferenze sono tangenti; nessuna soluzione se le circonferenze non sono secanti, né tangenti.

Particolari rette ‘ asse radicale ’: se a = a’ e b  b’  le due circ. hanno i centri di uguale ascissa e l’asse radicale ha equazione y = k ; se a  a’ e b = b’  le due circ. hanno i centri di uguale ordinata e l’asse radicale ha equazione x = k. Si può concludere quindi che: se le circonferenze sono tangenti, l’asse radicale coincide con la tangente alle circonferenze nel loro punto di tangenza T; se si conosce l’equazione dell’asse radicale, si possono trovare i punti comuni delle due circonferenze.

Esempi 1. Determina gli eventuali punti d’intersezione delle due circonferenze di equazione: x2 + y2 + 2x - 4y – 11 = 0 e x2 + y2 + 2x - 16y + 13 = 0 . 2. Determina gli eventuali punti d’intersezione delle due circonferenze di equazione: x2 + y2 – 1 = 0 e x2 + y2 – 3x + 2 = 0 .

3. Determina gli eventuali punti d’intersezione delle due circonferenze di equazione: x2 + y2 – 1 = 0 e x2 + y2 – 4x – 12 = 0 .

Esercizi 1. Determina gli eventuali punti d’intersezione delle due circonferenze assegnate. 2. Determina l’equazione della circonferenza avente come diametro la corda comune alle circonferenze di equazione x2 + y2 - 12x + 4y + 6 = 0 e x2 + y2 + 4x + 4y – 10 = 0 . [ x2 + y2 - 2x + 4y – 4 = 0 ] Determina l’area del quadrilatero i cui vertici sono i centri delle circonferenze di equazione x2 + y2 - 8x + 6y + 8 = 0 e x2 + y2 + 4x + 6y – 16 = 0 e i loro punti d’intersezione. [ 6·131/2 ] Verifica che le circonferenze di equazioni x2 + y2 – 2x – 9 = 0 e x2 + y2 + 4x – 2y – 35 = 0 sono tangenti internamente e trova il punto di tangenza T. [ T(4; -1) ] Verifica che le circonferenze di equazioni x2 + y2 – 2y – 19 = 0 e x2 + y2 – 10x + 18y + 61 = 0 sono tangenti esternamente e determina l’equazione dell’asse radicale e della retta dei centri. [ x – 2y – 8 = 0 ; 2x + y – 1 = 0 ] Verifica che le circonferenze di equazioni x2 + y2 – 6x – 12y + 40 = 0 e x2 + y2 – 9x – 18y + 100 = 0 sono tangenti esternamente e determina il punto di tangenza. [ T(4; 8) ] Calcola l’area del triangolo individuato dall’asse delle y, dala retta dei centri delle circonferenze di equazione x2 + y2 + 6x – 1 = 0 e x2 + y2 + 8x – 6y + 5 = 0 e dal loro asse radicale. [ 15 ]

FASCI DI CIRCONFERENZE (a -a’)x + (b -b’)y + c -c’ = 0 Definizione Fascio di circonferenze Date due circonferenze C e C’ , di equazioni x2 + y2 + ax + by + c = 0 e x2 + y2 + a’x + b’y + c’ = 0 rispettivamente, si chiama fascio di circonferenze definito da C e C’ l’insieme avente per elementi la circonferenza C’ e tutte le circonferenze rappresentate dall’equazione: x2 + y2 + ax + by + c + k(x2 + y2 + a’x + b’y + c’) = 0 , con kR . (*) Questa equazione è l’equazione del fascio e le circonferenze C e C’ si dicono generatrici del fascio. L’equazione del fascio può essere scritta come segue: (1+k)x2 + (1+k)y2 + (a + ka’)x + (b + kb’)y + c + kc’ = 0 , con k  -1. Per k = -1 l’equazione del fascio diventa l’equazione della retta ‘ asse radicale ’ del fascio: (a -a’)x + (b -b’)y + c -c’ = 0 Osservazioni Si ottiene lo stesso fascio se le equazioni di C e C’ si combinano linearmente mediante due parametri reali qualsiasi, non entrambi nulli: (x2 + y2 + ax + by + c) + (x2 + y2 + a’x + b’y + c’) = 0 , con  e   R e  o   0. Se, per esempio, è   0, questa combinazione lineare generale può essere ricondotta alla (*) dividendo per  e ponendo / = k . Si ottiene lo stesso fascio se a C e C’ si sostituiscono altre due circonferenze del fascio, dove una delle due può essere l’asse radicale ( l’asse r. può essere considerato come una circonf. degenere di raggio infinito).

Le generatrici C e C’ possono avere uno o due punti comuni; tali punti si chiamano punti base del fascio. Il luogo dei centri delle circonferenze del fascio è una retta perpendicolare all’asse radicale e si chiama asse centrale. Si possono avere i seguenti tipi di fasci:

Esercizi 1. Determina l’equazione del fascio di circonferenze definito dalle circonferenze di equazione x2 + y2 – 10x – 6y + 24 = 0 e x2 + y2 – 4x = 0, quindi trova le equazioni dell’asse radicale e dell’asse centrale del fascio. Combiniamo linearmente le due equazioni mediante un parametro reale k: x2 + y2 – 10x – 6y + 24 + k( x2 + y2 – 4x) = 0 o anche (1+k)x2 + (1+k)y2 – (10 + 4k)x – 6y + 24 = 0 . L’equazione dell’asse radicale si ottiene per k = –1: – 6x – 6y + 24 = 0 ; y = – x + 4 . Equazione dell’asse centrale : 2. Determina l’equazione del fascio di circonferenze passanti per i punti A(-1;2) e B(3;0). A e B sono i due punti base (1° caso in figura), quindi facciamo la combinazione lineare fra i due elementi del fascio che possiamo trovare facilmente: asse radicale, cioè retta AB e circonferenza di diametro AB.

3. Studiare il fascio di circonferenze di equazione x2 + y2 – 3(2 – k)x + 4ky – 16 – 34k = 0 . L’equazione può scriversi: x2 + y2 – 6x – 16 + k (3x + 4y – 34) = 0 , quindi il fascio è generato dalla circonferenza x2 + y2 – 6x – 16 = 0 di centro C(3 ; 0) e dalla retta ‘ asse radicale ’ 3x + 4y – 34 = 0.

4 . Studiare il fascio di circonferenze di equazione x2 + y2 – 4x + 2y + k – 3 = 0 . Osservo che le coordinate del centro  = - a/2 = 2 e  = - b/2 = -1 sono costanti , indipendenti dal parametro k , quindi si tratta di un fascio di circonferenze concentriche di centro C(2 ; -1). Il fascio rappresenta circonferenze reali per 4 + 1 – k + 3  0 , cioè per k  8 . Per k = 8 si ha la circonferenza degenere, che coincide con il punto C(2 ; -1). Infatti, per k = 8 si ha: x2 + y2 - 4x + 2y + 5 = 0, equazione che rappresenta una circonferenza di centro C(2; -1) e raggio = 4 + 1 – 5 = 0. Conclusione: l’equazione data rappresenta, per k  8, un fascio di circonferenze concentriche, di centro C(2 ; -1) .

DISCUSSIONE DI SISTEMI DI 2° GRADO CON PARAMETRO CASO CIRCONFERENZA – RETTA Il parametro del sistema è il parametro che caratterizza il fascio di rette o di circonferenze. Discutere un sistema del tipo (1) o (2), significa determinare, compatibilmente alle eventuali limitazioni, per quali valori del parametro le rette intersecano la circonferenza nel caso (1), o la retta interseca le circonferenze nel caso (2). Esempi

Le limitazioni 0 < x  4 e y  0 individuano l’arco di circ Le limitazioni 0 < x  4 e y  0 individuano l’arco di circ. utile per trovare i valori di k, per i quali si hanno intersezioni rette – circonferenza. Dal grafico si evince che si devono individuare i valori di k per le rette tangenti e per le rette passanti per A(4;0) e per O(0;0). • Retta per O: è la retta generatrice y = x , alla quale non corrisponde alcun valore di k. • Retta per A: 4k - 3 = 0 ; k = 3/4 . • Rette tangenti:

La limitazione y  0 individua l’arco di circ La limitazione y  0 individua l’arco di circ. utile per trovare i valori di k, per i quali si hanno intersezioni rette – circonferenza. Dal grafico si evince che si devono individuare i valori di k per la retta tangente in T e per le rette passanti per A(-2;0) e per B(2;0). • Retta per A: - 2 + k – 2 = 0 ; k = 4 . • Retta per B: 2 + k – 2 = 0 ; k = 0 . • Retta tangente in T:

La limitazione -2 x  6 individua sulla retta x + 2y + 2 = 0 il segmento utile per trovare i valori di k, per i quali si hanno intersezioni retta – circonferenze. Il segmento utile ha come estremi A(-2 ; 0) e B(6 ; -4) . Dal grafico si evince che si devono individuare i valori di k per le circonferenze tangenti e per le circonf. secanti il segmento AB. • Circ. per A: 4 + 4 + k – 3 = 0 ; k = - 5 . • Circ. per B: 36 + 16 – 12 + 16 + k – 3 = 0; k = -53. • Circ. tangente: