Il metodo Singapore nella risoluzione di Problemi assegnati ai Giochi Matematici Claudio Marchesano

Andrea,Beatrice,Chiara,Davide,Enea e Federico sono molto amici. La loro età media è 14 anni. Se si uniscono 3 amici di Enea, l’età media dell’intero gruppo diventa di 16 anni. Qual è l’età media degli amici di Enea ? Questa domanda è stata posta ai Giochi di Archimede del 2015/2016 I Giochi di Archimede si svolgono a fine novembre in tutte le scuole superiori d’Italia ed, in genere, partecipano circa 300.000 studenti

Provate a rispondere voi !! Andrea,Beatrice,Chiara,Davide,Enea e Federico sono molto amici. La loro età media è 14 anni. Se si uniscono 3 amici di Enea, l’età media dell’intero gruppo diventa di 16 anni. Qual è l’età media degli amici di Enea ? Provate a rispondere voi !! Agli alunni del biennio vengono assegnate 16 domande in due ore (quindi meno di otto minuti a domanda) Agli alunni del triennio , invece, vengono assegnate 20 domande in due ore (quindi 6 minuti a domanda) Questa domanda (con dati diversi) era presente nei testi di entrambe le categorie

Andrea,Beatrice,Chiara,Davide,Enea e Federico sono molto amici. La loro età media è 14 anni. Se si uniscono 3 amici di Enea, l’età media dell’intero gruppo diventa di 16 anni. Qual è l’età media degli amici di Enea ? Una soluzione proposta con il metodo tradizionale Posto x=Età media amici di Enea X=20

Proposta di soluzione con metodo a barre E’ una proposta …. Probabilmente migliorabile Il metodo a barre si presta benissimo anche per essere “adattato” alla situazione

Andrea,Beatrice,Chiara,Davide,Enea e Federico sono molto amici. La loro età media è 14 anni. Se si uniscono 3 amici di Enea, l’età media dell’intero gruppo diventa di 16 anni. Qual è l’età media degli amici di Enea ? ? 84 84 = 14 x 6 144 Età media amici Enea 144=16*9 60=144-84 20 Gli amici di Enea hanno una età media di 20 anni

Ha percorso la stessa strada. Qual è la media oraria complessiva ? Felice affronta la salita dello Stelvio in bicicletta e mantiene una media di 21 km/ora in salita e 42 km/ora in discesa. Ha percorso la stessa strada. Qual è la media oraria complessiva ? Questa domanda è risultata la più difficile alla Prima edizione della matema…ti.ca…ttura cat. Biennio Conviene “ragionare” pensando, ad esempio, che la salita sia di 21 km , proprio perché , con la media oraria, si vuole sapere quanti km si percorrono in un ora

Felice affronta la salita dello Stelvio in bicicletta e mantiene una media di 21 km/ora in salita e 42 km/ora in discesa. Ha percorso la stessa strada. Qual è la media oraria complessiva ? 42 1h 30’ per fare 42 km 42 ÷ 3 = 14 ? totale Ogni 30’ percorre in media 14 km una parte Numero di blocchi da 30’ (parti)

Felice affronta la salita dello Stelvio in bicicletta e mantiene una media di 21 km/ora in salita e 42 km/ora in discesa. Ha percorso la stessa strada. Qual è la media oraria complessiva ? 42 1h 30’ per fare 42 km 14 x 2 = 28 km/ora Ogni 30’ percorre in media 14 km

Pierino ha 200 macchinine . 5/8 di esse sono Ferrari e il restante di altre case automobilistiche. Ha dato 1/5 delle Ferrari ad un suo amico. Quante macchinine ha in tutto? 200 macchinine Ferrari ? Altre marche 7/8 x 200 = 7 x (1/8 x 200) = 7 x 25 = 175 Pierino ha ancora 175 macchinine.

Il rapporto cercato è in termini di frazione 5:15 Aldo ha 3/7 delle caramelle che ha Teresa . Se Aldo da 1/6 delle caramelle a Teresa , quante caramelle ha rispetto a Teresa . Esprimere il risultato come una frazione Aldo Teresa Il rapporto cercato è in termini di frazione 5:15 oppure 1:3

Problemi con equazioni di primo grado Andrea, Bruno e Carlo pesano in tutto 111 kg Andrea pesa 15 kg più di Bruno.Carlo pesa 3 kg più di Bruno. Quanto pesa ciascuno dei tre amici ? Andrea 15kg 111 kg Bruno Carlo 3kg

Il concetto di Unità In questo caso il peso di Bruno può essere tranquillamernte utilizzato come unità… Andrea 15kg 111 kg Bruno Carlo 3kg

Con il MODELLO a BARRE l’Equazione la …vediamo 3X+18 =111 X Andrea 15kg 111 kg Bruno X X Carlo 3kg

Perimetro 162 cm Problema: L’ area di un rettangolo è 1620 cm² . La base è i 5/4 dell’altezza. Trova Perimetro 4 unità 5 unità Ci sono 20 unità quadrate. Ciascuna è 81 cm² Unità lineare è 9 cm. Base 45 cm. Altezza 36 cm Perimetro 162 cm

Problema: Il perimetro di un triangolo isoscele è 360 cm . Il lato e la base stanno in rapporto 7:4. Trova Base 7unità 7unità 4 unità 18 unità lineari formano il perimetro . Ciascuna è 20 cm. Base 80 cm. Lato 140 cm

Posso pensare di costruire triangolo simile. Problema: . I due cateti di un triangolo rettangolo misurano rispettivamente 108 m e 144 m. Trova Perimetro ? 144 m 108 m Il MCD tra 144 e 108 è 36 . Posso pensare di costruire triangolo simile.

Applico il teorema di Pitagora , considerando I lati 3m e 4m. . Problema: . I due cateti di un triangolo rettangolo misurano rispettivamente 108 m e 144 m. Trova Perimetro 5m x 36 =180 m 144m:36=4m 108m :36 = 3m Applico il teorema di Pitagora , considerando I lati 3m e 4m. .

Ho pagato un cappotto (scontato del 40%) 98.40 Euro Quanto costava il cappotto prima dello sconto ? Prezzo scontato Prezzo prima delo sconto Ogni blocco vale 98.40 Euro :6 =16.40 Euro Il cappotto perciò costava 164 Euro

Area = (2.5 + 35 + 2.5) unità quadrate Area Figura (senza conoscere ancora formule) Area = (2.5 + 35 + 2.5) unità quadrate Area = 40 unità quadrate

Area Figura

Area Figura

Area Esagono regolare

Circonferenza Л=3.14… minore di 4 .. E si vede pure La Comparazione è immediata Lato x Lato= 4 unità x 4 unità= 16 unità quadrate Raggio x Raggio x л = 4 л unità quadrate Л=3.14… minore di 4 .. E si vede pure

Area della regione di colore giallo . Area del cerchio Area Quadrato meno

Trovare area sezione grigia.

Somma tra frazioni con metodo a barre

Differenza tra frazioni

Probabilità … esempio 1 Esempio 1: Scegli una carta da un mazzo di 52 carte francesi. Qual è la probabilità che sia un asso?

probabilità: Esempio 2 Esempio 2. Qual è la probabilità di scegliere due assi da un mazzo di 52 carte?

Probabilità: Esempio 2 Altro metodo per risolvere il problema proposto Numerator:e AA, AA, AA, AA, AA, AA, AA, AA, AA, AA, AA, or AA = 12 .   52 carte 51 carte Denominatore = 52x51 = 2652 -- cioè

Permutazioni con ripetizioni   “Qual è la probabilità di avere due teste lanciando due volte una moneta? T C Lancio 1 : due possibilità Lancio 2: due possibilità T T :

Permutazioni con ripetizioni Probabilità di avere tre teste con tre lanci? TTT TTC TCT TCC CTT CTC CCT CCC

Permutazioni con ripetizioni Probabilità di avere due 6 lanciando due dadi non truccati? Qual è la probabilità di avere un 3 ed un 6?

Permutazioni senza ripetizioni  Anagrammi di una parola formata da cinque lettere (tutte diverse tra loro): A B C D E A B C E D A B D C E A B D E C A B E C D A B E D C .

Permutazione senza ripetizioni B A C D ……. 1 scelta: 5 possible 2 scelta solo 4 possibilità Etc…. Numero di permutazioni = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! Ci sono 5! Modi per formare anagrammi con 5 lettere diverse

Permutazioni senza ripetizioni In quanti modi si possono formare parole di tre lettere diverse pescando da cinque lettere (due lettere rimangono fuori) ? E B A C D

Permutazioni senza ripetizioni Nota che la regola vale anche con 5 lettere in 5 posti:

Combinazioni 1.   2. 3. …. Quanti sono in totale ?

Combinazioni 1.   2. 3. …. ad esempio, in quanti modi diversi si possono disporre 5 carte prelevandole da un mazzo di 52?

Combinazioni… la prossima volta? 1.   2. 3. ….