2. Meccanica Fisica Medica – Giulio Caracciolo

2.1 Cinematica

Traiettoria e Legge oraria Il moto di un corpo Un corpo è in movimento quando la sua posizione rispetto ad altri corpi, considerati fissi, varia nel tempo. Da questa definizione scaturisce l’esigenza di introdurre un sistema di riferimento per individuare la posizione di un corpo. La condizione più generale è che il moto avvenga nelle tre dimensioni dello spazio. zP yP xP P r x y z O r: Vettore posizione (xP,yP,zP ): Coordinate del punto nel sistema di riferimento (xyz): si ottengono proiettando il vettore r lungo le direzioni degli assi dei riferimento

In casi più semplici, quando il moto avviene in due dimensioni è sufficiente introdurre un sistema di riferimento bidimensionale yP xP P r x y O r: Vettore posizione (xP,yP): Coordinate del punto nel sistema di riferimento (xy): si ottengono proiettando il vettore r lungo le direzioni degli assi dei riferimento

P: generica posizione del punto materiale lungo la traiettoria Si definisce traiettoria del moto la curva descritta da un corpo durante il suo moto. Per semplicità, ma senza perdere in generalità, ci restringiamo al caso in cui il corpo sia un punto materiale P P P: generica posizione del punto materiale lungo la traiettoria Nel caso in cui la traiettoria sia nota, per descrivere completamente il moto del corpo è sufficiente conoscere la posizione occupata in ogni istante. Se si indica con s il tratto di traiettoria percorsa al tempo t, il moto del corpo è completamente noto quando si conosca la relazione tra s e t. Questa relazione, s=s(t), prende il nome di LEGGE ORARIA.

La posizione del corpo viene definita, come già detto, in un sistema di riferimento x y O S (t2) S (t1) Se P1 e P2 sono le posizioni del corpo lungo la traiettoria al tempo t1 e t2 rispettivamente e i relativi spostamenti si ndicano come s(t1) e s(t2), si definisce una quantità scalare che viene definità VELOCITA’ SCALARE MEDIA

Se assumiamo che l’intervallo di tempo considerato, Dt=t2-t1, tenda a zero possiamo definire la velocità istantanea. La velocità istantanea è una grandezza vettoriale la cui direzione è sempre tangente alla traiettoria nel punto considerato. P2 P1 x y O S (t2) S (t1) V(P1) Velocità istantanea

Rovesciamo il punto di vista: Costruzione della traiettoria dai vettori velocità y x O P1 . P2 P0 . v sempre tangente alla traiettoria

Velocità: dimensioni e unità di misura Dimensioni Fisiche [v] = [L][T-1] Unità di misura: [SI] m/s [CGS] cm/s Fattore di ragguaglio: 1 m/s = 100 cm/s 1 km/h=1000m/3600 s=0.28 m/s Fisica Medica – Giulio Caracciolo

Alcune velocità caratteristiche 109 _ 106 _ 103 _ 1 _ 10-3 _ Luce nel vuoto (3.108 m/s) Sangue nell’aorta 0,35 m/s Suono nell’aria (330 m/s) m/s Impulso nervoso (25m/s) V impulso nervoso da articolo di Liquori

Accelerazione Se la velocità istantanea varia nel tempo, è possibile definire l’accelerazione media y P2 P1 x O v(t2) v (t1)

Se assumiamo che l’intervallo di tempo considerato, Dt=t2-t1, tenda a zero possiamo definire la accelerazione istantanea. Per costruire il vettore a è necessario fare la differenza tra i vettori velocità al tempo t2 e il vettore velocità al tempo t1. Di seguito viene mostrata la costruzione vettoriale. v (t1) y P2 P1 x O v(t2) - v (t1) a

y x O at: accelerazione tangenziale an: accelerazione normale at an a L’accelerazione istantanea è una grandezza vettoriale ma la sua direzione, a differenza della velocità istantanea, non è sempre tangente alla traiettoria. Per questo è in genere individuato da una componente tangente alla traiettoria e da una componente normale alla traiettoria y n: direzione normale alla traiettoria ne punto P at t: direzione tangente alla traiettoria nel punto P an a x O at: accelerazione tangenziale an: accelerazione normale

Accelerazione: dimensioni e unità di misura Dimensioni [a] = [L][T-2] Unità di misura: [SI] m/s2 [CGS] cm/s2 Fattore di ragguaglio: 1 m/s2 = 100 cm/s2 Effetti sula circolazione del sangue: brusco cambiamento di posizione, Tilt test, picchiata in aereo, centrifuga. Costruzione di acceleratori di particelle finalizzati alla emissione di luce di sincrotrone. Accelerazione di gravità: g≈ 9.8 m/s2

Moto Rettilineo e uniforme Un corpo si muove di moto rettilieno e uniforme quando la traiettoria è rettilinea e vengono percorsi spazi uguali in tempi uguali: Ne segue che la velocità istantanea è sempre costante in modulo direzione e verso. v t t1 t2 v0 t1 t2 s t s1 s2 a

Esempio: Un’automobile viaggia alla velocità costante di 130 km/h Esempio: Un’automobile viaggia alla velocità costante di 130 km/h. Il guidatore distoglie lo sguardo dalla strada per 2 s per sincronizzare una stazione sull’autoradio. Quanto spazio percorre l’automobile in questo intervallo di tempo? Soluzione

Siamo tentati di dire che Velocità media Supponiamo che un’automobile durante un viaggio di 60 km, viaggi a 20 km/h per i primi 30 km e a 60 km/h per gli altri 30 km. Qua’è la velocità media? La velocità media è definita rispetto al tempo e non rispetto alla distanza. Siamo tentati di dire che Poiché

Esempio: Un’automobile percorre 11 km alla velocità media di 75 km/h, ma poi viaggia per il successivo 1 km a una velocità media di 15 km/h a causa di lavori stradali in corso. Calcolare la velocità media per l’intero viaggio. Soluzione: perché il viaggio si svolge per la maggior parte del tempo alla velocità maggiore

Moto uniformemente accelerato: Un corpo si muove di uniformemente accelerato quando l’accelerazione istantanea è sempre costante in modulo direzione e verso. La velocità istantanea ha sempre la stessa direzione e verso dell’accelerazione e, esssendo quest’ultima costante, ne segue che la traiettoria è rettilinea.

Moto uniformemente vario: Diagramma orario s s0 t t v t v0 b

Moto circolare uniforme Il moto circolare uniforme è il moto di un punto che si muove lungo una circonferenza con velocità costante in modulo (ma non in direzione e verso perché la tangente alla traiettoria circolare cambia da punto a punto). La velocità con la quale si muove il punto lungo la circonferenza si dice velocità tangenziale mentre quella con cui ruota il raggio della circonferenza si definisce velocità angolare. P2 v1 P1 v2 v1 e v2 sono uguali in modulo (v1=v2=v), ma differiscono in direzione e verso R R Dθ O v = R

Nel limite per Dt che tende a zero sinq~q v1 v2 Dθ P1 P2 O Ds Esprimiamo lo spostamento in termini dell’angolo spazzato dal raggio R quando il corpo si sposta da P1 a P2 Nel limite per Dt che tende a zero sinq~q

Vettore accelerazione nel moto circolare uniforme v1 = v2 = v r v1 v2 Dθ P1 P2 O Δv v2 v1 v2 Δv Dθ/2 E’ utile sapere che, anche se v non cambia, ci può essere accelerazione. Ciò spiega l’ emissione di luce di sincrotrone nelle macchine acceleratrici di particelle. Accelerazione radiale

Vettore Accelerazione Dvn Dvt Dvt=v2-v1 Dvt vettore parallelo a v1 v2 v1 P1 P2 Dv v2 L’utilità dei vettori è anche quella di poterli scomporre e ricomporre. Ciò è molto utile nei moti in più dimensioni (immagine successiva) accelerazione tangenziale accelerazione normale. v = velocità nel punto P e R = raggio di curvatura istantaneo della traiettoria in P