segmenti e punti notevoli dei triangoli

Le altezze e l’ortocentro L’altezza di un triangolo è il segmento di perpendicolare condotto da un vertice alla retta cui appartiene il lato opposto. Il lato, in tal caso, prende il nome di base. Osservando la figura possiamo dire che: • CH è l’altezza relativa al lato AB; • BK è l’altezza relativa al lato CA; • AL è l’altezza relativa al lato BC. ortocentro Le tre altezze di ogni triangolo (o i loro prolungamenti) si incontrano in un unico punto, detto ortocentro.

Posizione dell’ortocentro nei triangoli acutangoli e rettangoli Nel triangolo acutangolo le tre altezze sono interne al triangolo e così anche l’ortocentro è interno al triangolo. Osserviamo il disegno qui a lato: • CA è l’altezza relativa al lato AB; • AB è l’altezza relativa al lato CA; • AL è l’altezza relativa al lato BC. Nel triangolo rettangolo l’ortocentro coincide con il vertice dell’angolo retto e si trova sul contorno del triangolo.

Nel triangolo ottusangolo l’ortocentro è esterno al triangolo. Posizione dell’ortocentro nei triangoli ottusangoli Nel triangolo ottusangolo alcune altezze “cadono” fuori. Osserviamo la figura: • CH è l’altezza relativa al lato AB (prolungato); • BK è l’altezza relativa al lato CA (prolungato); • AL è l’altezza relativa al lato BC. Nel triangolo ottusangolo l’ortocentro è esterno al triangolo.

congiunge il punto medio del lato con il vertice opposto. Le mediane e il baricentro La mediana relativa a un lato di un triangolo è il segmento che congiunge il punto medio del lato con il vertice opposto. Osserviamo la figura: • CM è la mediana relativa ad AB; • AN è la mediana relativa a BC; • BR è la mediana relativa al lato AC. baricentro Le tre mediane si incontrano in un unico punto, detto baricentro, che è sempre interno al triangolo.

Posizione del baricentro Il baricentro di un triangolo divide ciascuna mediana in due parti, una doppia dell’altra. AB′ = 2 B′N BB′ = 2 B′R CB′ = 2 B′M

Le bisettrici La bisettrice di un angolo, in un triangolo, è il segmento di bisettrice compreso tra un vertice e il lato opposto. Nel triangolo disegnato a lato i segmenti AG, BS e CK si dicono bisettrici del triangolo. Le tre bisettrici si incontrano in un unico punto, detto incentro. incentro In qualsiasi triangolo l’incentro è equidistante dai lati. Nel triangolo ABC, dove l’incentro è I: IK = IS = IG

Gli assi asse L’asse di un triangolo relativo a un lato è la retta perpendicolare al lato nel suo punto medio. I tre assi di un triangolo si incontrano in un punto detto circocentro. • Nei triangoli acutangoli il circocentro è interno. • Nei triangoli rettangoli il circocentro è sull’ipotenusa ed è il suo punto medio. • Nei triangoli ottusangoli il circocentro è esterno.

Alcuni esempi Disegniamo su un foglio tre triangoli isosceli: uno acutangolo, uno rettangolo, uno ottusangolo. Ritagliamo i triangoli e pieghiamoli lungo le altezze. In ciascun triangolo le due parti si sovrappongono e quindi sono congruenti. Abbiamo così verificato che in ogni triangolo isoscele l’altezza relativa alla base AB è anche mediana perché AH = HB, è bisettrice perché , e appartiene all’asse della base AB perché è perpendicolare a essa nel suo punto medio H. A B C Prova tu Sul triangolo equilatero ABC traccia le altezze e le mediane relative ai lati BC e CA. In tal modo puoi dire di aver verificato che ogni altezza è anche .......................... mediana

Riassumendo ... Particolari elementi di un triangolo CH è l’altezza relativa ad AB: CH ⊥ AB CM è la mediana relativa ad AB: AM = MB CD è la bisettrice dell’angolo : a è l’asse relativo al lato AB: a ⊥ AB in M Punti notevoli di un triangolo

Esercitati • Completa le frasi scegliendo tra i termini punto medio, retta, vertice, retta perpendicolare, segmento di perpendicolare, segmento, uno, due, tre. L’altezza di un triangolo è il ........................................... condotto da un vertice alla ..................... cui appartiene il lato opposto. La mediana di un triangolo relativa a un lato è il ................................ che congiunge un ................................ del triangolo con il ................................... del lato opposto. La bisettrice di un angolo di un triangolo è il segmento di bisettrice che congiunge un ...................... con il lato opposto. L’asse di un triangolo relativo a un lato è la ...................................... al lato nel suo .................................... . retta perpendicolare punto medio vertice segmento segmento di perpendicolare retta • Scrivi il nome dei segmenti tracciati in colore nei quattro triangoli disegnati sotto: mediana asse bisettrice altezza

Esercitati • Completa le definizioni trovando la corrispondenza corretta tra le colonne A e B. c b d a A B C • Traccia la mediana relativa al lato AB del triangolo acutangolo ABC. Il baricentro del triangolo è esterno o interno? .................. interno • Individua i punti notevoli rappresentati nelle figure. baricentro ortocentro