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Le proiezioni e la prospettiva
Daniele Marini
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Proiezioni piane Albrecht Dürer: la prospettiva da un punto di proiezione, la griglia come guida
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La prospettiva Rinascimentale
Piero della Francesca e la costruzione geometrica della prospettiva piana. Sistematizzata anche da Leon Battista Alberti: La costruzione legittima
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Hans Holbein: Gli Ambasciatori
non ci sono solo le proiezioni piane, questo e’ un esempio di proiezione obliqua anamorfica proiezioni cartografiche (la sfera sul piano): proiezione di piani su superfici parametriche (il texturing)
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Schemi costruttivi
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Classificazione delle proiezioni piane
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prospettica parallela
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Esempi di proiezioni sul piano
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Proiezioni ortogonali
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Proiezioni assonometriche
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Proiezioni oblique Al variare dell’angolo tra proiettori e piano si hanno: 63,5° CABINET 30° o 45° CAVALIERA
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Proiezioni prospettiche
a 3 punti di fuga a 2 punti di fuga a 1 punto di fuga - prospettiva centrale prospettive accidentali
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Frames Il frame è un contesto di:
sistema di riferimento e trasformazioni geometriche associate Usualmente si distinguono due frame principali: World frame, nel quale si descrivono e rappresentano gli oggetti modellati Camera frame, nel quale si definisce il sistema di riferimento necessario alla creazione della proiezione
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Camera frame Quasi tutti gli ambienti e le librerie adottano la metafora della macchina fotografica: la formazione dell’immagine piana a partire dal modello 3D avviene con un principio di proiezione simile a quello della fotografia L’obiettivo non è modellato (foro stenopeico) Il sistema di riferimento del camera frame si assume fisso: Origine al centro del fotogramma X crescente a destra Y crescente in verticale Z entrante o uscente dalla macchina fotografica
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Prospettiva canonica Camera frame orientato come il world frame
Asse ottico coincidente con asse z, entrante nell’obiettivo Per portare una scena nella configurazione canonica è necessaria una catena di trasformazioni da applicare conoscendo i parametri principali
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La prospettiva risolta analiticamente
y P(x,y,z) P(xv,yv) z x Piano di proiezione
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P(x,y,z) yv Piano di proiezione y/yv = z/d x/xv = z/d da cui: da cui:
yv = y/(z/d) x/xv = z/d da cui: xv = x/(z/d)
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I parametri di controllo
PRP Projection Reference Point (si chiama anche centro di proiezione COP) View Plane VPN View Plane Normal VUP View UP DOP Direction of Projection (parallela) VRP View Reference Point CW center of the window
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Orientare il piano di proiezione
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Definire la viewport e la window
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Definire il centro di proiezione
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Camera model Con questi parametri si può modellare il comportamento di una macchina fotografica professionale con obiettivo e piano della pellicola basculanti
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Se la proiezione è parallela
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Proiezioni e matrici Per risolvere con matrici le proiezioni ambientiamo sempre il problema nello spazio di coordinate omogenee 4D La configurazione chiamata canonica prevede: piano di proiezione sul piano xy centro di proiezione sull’asse z positivo
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Trasformazioni normalizzate
Dati VPN, VUP si ottiene la view orientation matrix V La forma della V è ottenuta componendo: V=TR con T traslazione nel VRP, R rotazione opportuna per orientare la view rispetto alla configurazione canonica
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Matrice canonica di proiezione parallela ortogonale
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Matrice canonica di trasformazione prospettica
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Dalle coordinate omogenee allo spazio 3D
costruz. matrice trasformaz. divisione
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P(x,y,z) yv Piano di proiezione y/yv = z/d x/xv = z/d da cui: da cui:
yv = y/(z/d) x/xv = z/d da cui: xv = x/(z/d)
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Proiezione parallela generica
Ricondursi alla configurazione canonica: normalizzazione Convertire il volume di vista in una configurazione standard Proiettare il volume deformato Il volume canonico di vista (canonical view volume) per la proiezione parallela è normalizzato in -1,+1 usando una trasformazione di scala Il volume canonico definisce lo spazio entro il quale si trovano gli oggetti da trasformare e proiettare Traslare per portare la DOP sull’asse z
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traslazione al centro del view volume scalatura
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Trasla origine del view volume nell’origine del view volume canonico
Riscala il view volume P è la matrice di proiezione si introducon piani frontali e di sfondo per il clipping 3D: zmax = far zmin = near
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Proiezioni parallele oblique
, Angoli del fascio di proiettori con la normale al piano di proiezione y DOP x z
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Proiezioni parallele oblique
portare la direzione di proiezione parallela a z, con trasformazione di shear relativa agli angoli , rinormalizzare il view volume con scala e traslazione (come sopra) proiettare con la matrice ortografica
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Matrice per la proiezione obliqua parallela
si introduce una trasformazione di shear:
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Altri schemi Lo schema illustrato permette di predisporre le matrici per librerie grafiche come OGL OGL offre un altro approccio: lookAt Nei simulatori di volo si adotta lo schema “roll, pitch, yaw”
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Angolo di visione e frustum
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LookAt E’ un metodo più diretto e più naturale:
la camera è localizzata in un punto e (eyepoint - o punto di vista) specificato nel world frame La camera è orientata nella direzione individuata dal vettore congiungente e con il punto a (at point - punto osservato) specificato sempre nel world frame I punti e ed a individuano il VRP e la VPN
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Camera Model
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Roll (rot. z), Pitch (rot. x), Yaw (rot. y)
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