11/05/20161/37 Corso di ELETTROTECNICA I metodi delle correnti cicliche e dei potenziali ai nodi Presentazione a cura del Prof. Alvise Maschio Dipartimento.

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1 11/05/20161/37 Corso di ELETTROTECNICA I metodi delle correnti cicliche e dei potenziali ai nodi Presentazione a cura del Prof. Alvise Maschio Dipartimento di Ingegneria Elettrica Università di Padova

2 11/05/2016 2/37 Eliminazione delle tensioni - 1 Sia data una rete lineare, in cui tutti i lati sono sede di bipoli riconducibili a generatori affini di tensione. In particolare, in nessun lato si trova un generatore ideale di corrente. Come esempio, si prenda la rete di figura.

3 11/05/2016 3/37 Eliminazione delle tensioni - 2

4 11/05/2016 4/37 Eliminazione delle tensioni - 3 La rete di figura è caratterizzata dai seguenti parametri: Si possono quindi scrivere n – 1 equazioni applicando la LKC ed m equazioni applicando la LKT.

5 11/05/2016 5/37 Eliminazione delle tensioni - 4 Le LKC ed LKT vengono scritte per gli insiemi di taglio e le maglie fondamentali individuabili, ad esempio, nel grafo di figura.

6 11/05/2016 6/37 Eliminazione delle tensioni - 5 Nelle equazioni sono sottolineate le correnti relative ai lati di albero (rami) e le tensioni relative ai lati di coalbero (corde).

7 11/05/2016 7/37 Eliminazione delle tensioni - 6 Alle l equazioni precedenti vanno aggiunte le l equazioni tipologiche dei bipoli presenti nei vari lati.

8 11/05/2016 8/37 Eliminazione delle tensioni - 7 Si possono ora eliminare le tensioni: ci si riduce ad un sistema di l equazioni nelle l correnti.

9 11/05/2016 9/37 Eliminazione delle tensioni - 8 Vi sono m equazioni del tipo: e n - 1 equazioni del tipo:

10 11/05/2016 10/37 Eliminazione delle correnti di albero - 1 Nel grafo corrispondente alla rete si individuino un albero ed il relativo coalbero. Si eliminano le n -1 correnti nei rami I rh e ci si riduce ad un sistema di m equazioni nelle correnti sulle corde I ck. Si utilizzano quindi i vincoli sulle correnti degli insiemi di taglio fondamentali.

11 11/05/2016 11/37 Eliminazione delle correnti di albero - 2 Sostituendo nel sistema di l equazioni scritto in precedenza si ottiene: cioè m equazioni del tipo:

12 11/05/2016 12/37 Correnti di maglia - 1 Si consideri adesso un sistema di maglie fondamentali, basate sulle corde del grafo. Si scelga come verso di percorrenza della maglia quello individuato dalla corrente nella corda rispettiva. Le correnti nelle corde non sono altro che le m correnti cicliche (di maglia) di un sistema di maglie fondamentali, I Mk, dove:

13 11/05/2016 13/37 Correnti di maglia - 2 Le correnti nei lati della rete sono in generale somma di più correnti di maglia. Nel caso di figura si ha ad esempio:

14 11/05/2016 14/37 Correnti di maglia - 3 Le LKT per le maglie fondamentali possono essere riscritte in funzione delle m correnti di maglia. Si ottiene un sistema di m equazioni indipendenti: cioè m equazioni del tipo:

15 11/05/2016 15/37 Correnti di maglia - 4 Il termine R Mkk è la somma di tutte le resistenze dei lati che formano la maglia k-esima. R Mkk è detto autoresistenza (o resistenza totale) della maglia k. Il termine R Mkh è la somma di tutte le resistenze dei lati in comune alle maglie h-esima e k-esima. R Mkh è detto mutua resistenza (o resistenza comune) fra le maglie h e k.

16 11/05/2016 16/37 Correnti di maglia - 5 Il termine E Mk è la somma algebrica di tutte le f.e.m. dei lati che formano la maglia k-esima. Le f.e.m. sono prese con segno positivo se, dato il verso di percorrenza della maglia, si entra dal morsetto negativo del generatore, con segno negativo nel caso opposto. E Mk è detto f.e.m. (o tensione impressa) totale della maglia k.

17 11/05/2016 17/37 Correnti di anello - 1 In alternativa, nel caso di rete piana, si considerano gli m anelli interni (vedi figura). Si può dimostrare che questi m anelli costituiscono un sistema di maglie indipendenti. Si definiscono pertanto m correnti cicliche di anello (dette correnti di anello - I ak di figura), scelte in modo che tutti gli anelli siano percorsi nello stesso verso (orario o antiorario).

18 11/05/2016 18/37 Correnti di anello - 2 Le correnti nei lati della rete sono costituite da una corrente di anello o dalla differenza tra due correnti di anello. Nel caso di figura si ha ad esempio: Le correnti di anello sono per definizione solenoidali

19 11/05/2016 19/37 Correnti di anello - 3

20 11/05/2016 20/37 Correnti di anello - 4 Le LKT per i vari anelli possono essere riscritte in funzione delle m correnti di anello. Si ottiene un sistema di m equazioni indipendenti: cioè m equazioni del tipo:

21 11/05/2016 21/37 Correnti di anello - 5 Il termine R Akk è la somma di tutte le resistenze dei lati che formano l’anello k-esimo. R Akk è detto autoresistenza (o resistenza totale) dell’anello k. Il termine R Akh è la somma di tutte le resistenze dei lati in comune agli anelli h-esimo e k-esimo. R Akh è detto mutua resistenza (o resistenza comune) fra gli anelli h e k.

22 11/05/2016 22/37 Correnti di anello - 6 Il termine E Ak è la somma algebrica di tutte le f.e.m. dei lati che formano l’anello k-esimo. Le f.e.m. sono prese con segno positivo se, dato il verso di percorrenza dell’anello, si entra dal morsetto negativo del generatore, con segno negativo nel caso opposto. E Ak è detto f.e.m. (o tensione impressa) totale dell’anello k.

23 11/05/2016 23/37 Eliminazione delle correnti - 1 Sia data una rete lineare, in cui tutti i lati sono sede di generatori affini di corrente e, in particolare, in nessun lato si trova un generatore ideale di tensione. Come esempio, si prenda la rete di figura.

24 11/05/2016 24/37 Eliminazione delle correnti - 2

25 11/05/2016 25/37 Eliminazione delle correnti - 3 La rete di figura è caratterizzata dai seguenti parametri: Si possono quindi scrivere n - 1 equazioni alla LKC ed m equazioni alla LKT

26 11/05/2016 26/37 Eliminazione delle correnti - 4 Le LKC ed LKT vengono scritte per gli insiemi di taglio e le maglie fondamentali individuabili, ad esempio, nel grafo di figura.

27 11/05/2016 27/37 Eliminazione delle correnti - 5 Nelle equazioni sono sottolineate le correnti relative ai rami e le tensioni relative alle corde.

28 11/05/2016 28/37 Eliminazione delle correnti - 6 Alle l equazioni precedenti vanno aggiunte le l equazioni tipologiche dei bipoli presenti nei vari lati.

29 11/05/2016 29/37 Eliminazione delle correnti - 7 Si possono ora eliminare le correnti; ci si riduce ad un sistema di l equazioni nelle l tensioni.

30 11/05/2016 30/37 Eliminazione delle correnti - 8 Vi sono n - 1 equazioni del tipo: e m equazioni del tipo:

31 11/05/2016 31/37 Eliminazione delle tensioni di coalbero - 1 Nel grafo corrispondente alla rete si individuino un albero ed il relativo coalbero. Si eliminano le m tensioni nelle corde V ch, riducendosi ad un sistema di n - 1 equazioni nelle tensioni sui rami V rk. Si utilizzano quindi i vincoli sulle tensioni delle maglie fondamentali.

32 11/05/2016 32/37 Eliminazione delle tensioni di coalbero - 2 Sostituendo nel sistema di l equazioni scritto in precedenza si ottiene: cioè n - 1 equazioni del tipo:

33 11/05/2016 33/37 Potenziali ai nodi - 1 In alternativa (vedi figura) si sceglie un nodo comune (di massa) a cui si assegna potenziale nullo, e si esprimono tutte le tensioni in funzione degli n -1 potenziali degli altri nodi che sono tra loro indipendenti:

34 11/05/2016 34/37 Potenziali ai nodi - 2

35 11/05/2016 35/37 Potenziali ai nodi - 3 Operando le opportune sostituzioni nel sistema (**), si ottiene un sistema di n - 1 equazioni indipendenti negli n - 1 potenziali di nodo: cioè n - 1 equazioni del tipo:

36 11/05/2016 36/37 Potenziali ai nodi - 4 Il termine G Nkk è la somma di tutte le conduttanze che si appoggiano al nodo k-esimo. Esso è detto autoconduttanza (o conduttanza totale) del nodo k. Il termine G Nkh è la conduttanza del lato che si appoggia alla coppia di nodi h e k. Esso è detto mutua conduttanza (o conduttanza comune) fra i nodi h e k.

37 11/05/2016 37/37 Potenziali ai nodi - 5 Il termine J Nk è la somma algebrica di tutte le correnti impresse dei lati che si appoggiano al nodo k. Le correnti sono prese con segno positivo se il riferimento di corrente è diretto verso il nodo, con segno negativo nel caso opposto. Esso è detto corrente impressa totale del nodo k.